1、幂级数的敛散性,2、收敛半径R的求法、柯西—阿达马公式,3、幂级数和的解析性,,§2 幂 级 数,或,形式的复函数项级数称为幂级数,,1、幂级数的敛散性,定理4.10,(阿贝尔Abel定理),对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种:,(1) 对所有的正实数都收敛.,则由阿贝尔定理知:,级数在复平面内处处绝对收敛.,(2) 对所有的正实数除 外都发散.,此时, 级数在复平面内除 z=a 外处处发散.,例如,级数,通项不趋于零,,如图:,故级数发散.,,,,,,.,.,,,,收敛圆,,,收敛半径,,,例如, 级数:,,,,收敛圆周上无收敛点;,在收敛圆周上处处收敛.,在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.,注意,2、收敛半径的求法、柯西—阿达马公式,比值法,根值法,或,因为,所以收敛半径,,所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.,级数,(2),原级数成为,交错级数,,收敛.,说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有级数的发散点.,发散.,原级数成为,调和级数，,3、幂级数和的解析性,故收敛半径,解,解,所以,作业：,。