山东高考真题圆锥曲线(08 年 ) (22)(本小题满分14 分) 如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M 为 直线 y=-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A，B. （Ⅰ）求证： A，M，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为（ 2，-2p）时，410AB，求此时抛物线的方程；（Ⅲ） 是否存在点M，使得点 C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)xpyp＞上，其中，点C 满足 OCOAOB（O 为坐标原点） .若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）证明：由题意设221212120(,),(,),,(,2). 22xxA xB xxxMxp pp＜由22xpy得22xy p，则,xy p所以12,.M AM Bxxkk pp因此直线MA 的方程为1 02(),xypxx p直线 MB 的方程为2 02().xypxx p所以211102(), 2xxpxx pp①222 202(). 2xxpxx pp②由①、②得212 120,2xxxxx因此212 02xxx，即0122.xxx所以 A、M、B 三点的横坐标成等差数列. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2 时，将其代入①、②并整理得：22 11440,xxp2222440,xxp所以x1、 x2是方程22440xxp的两根，因此212124,4,xxx xp又22210122122, 2ABxxxxxpp k xxpp所以2.ABk p由弦长公式得2221212241()411616.ABkxxx xp p又4 10AB，所以 p=1 或 p=2，因此所求抛物线方程为22xy或24.xy（Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2), 则 CD 的中点坐标为123123(,), 22xxxyyyQ设直线 AB 的方程为011(),xyyxx p由点 Q 在直线 AB 上，并注意到点1212(,) 22xxyy也在直线AB 上，代入得033.xyx p若 D（ x3,y3）在抛物线上，则2 330322,xpyx x因此x3=0 或 x3=2x0. 即 D(0，0)或20 02(2,).xDx p（1）当 x0=0 时，则12020xxx，此时，点M(0,-2p)适合题意 . （2）当00x，对于 D(0，0)，此时2212 22221212 0002(2,),, 224CDxxxxxxpCxk pxpx又0,ABxk pAB⊥CD，所以222201212201, 44A BC Dxxxxxkk ppxp即222 124,xxp矛盾 . 对于2002(2,),xDx p因为22120(2,), 2xxCx p此时直线CD 平行于 y 轴，又00,ABxk p所以直线 AB 与直线 CD 不垂直，与题设矛盾，所以00x时，不存在符合题意的M 点. 综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意 . (09 年 )（ 22） （本小题满分14分）设椭圆 E: 22221xyab（a,b>0）过 M（2，2 ），N(6,1)两点， O 为坐标原点，（I）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OAOB ？若存在，写出该圆的方程，并求| AB | 的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: 22221xyab（ a,b>0）过 M（2，2 ） ，N(6,1)两点 , 所以2222421611abab解得22118114ab所以2284ab椭圆 E 的方程为221 84xy（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且 OAOB, 设 该 圆 的 切 线 方 程 为yk xm解 方 程 组221 84xyykxm得222()8xkxm,即222(12)4280kxkm xm, 则△ =222222164(12)(28)8(84)0k mkmkm,即22840km12221224122812kmxx kmx x k,222222 22212121212222(28)48()()() 121212kmk mmky ykxmkxmk x xkm xxmm kkk要使OAO , 需使12120xxyy, 即222222880 1212mmkkk, 所以223880mk, 所 以22380 8mk又22840km, 所 以22238mm,所 以283m,即263m或263m,因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 21m r k,22 222838131 8mmr mk,263r,所求的圆为2283xy,此时圆的切线ykxm都满足263m或263m,而当切线的斜率 不 存在 时切 线为263x与 椭 圆221 84xy的 两个 交点 为2626(,) 33或2626(,) 33满足 OAOB ,综上 , 存在圆心在原点的圆2283xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且 OAOB . 因为12221224122812kmxx kmx x k, 所以222 22212121222224288(84)()()4()4 1212(12)kmmkmxxxxx x kkk, 22 22222121212228(84)||()(1)()(1) (12)kmABxxyykxxk k42242423245132[1] 34413441kkkkkkk, ①当0k时22321||[1]1344ABk k因为221448k k所以221101844k k, 所以2232321 [1]1213344k k, 所以46||23 3AB当且仅当22k时取 ” =” . ②当0k时 ,46|| 3AB. ③当 AB的 斜率不存在时 , 两个交点为2626 (,) 33或2626 (,) 33,所以此时46|| 3AB, 综上 , | AB | 的取值范围为46||23 3AB即: 4||[6 ,23 ] 3AB【命题立意】 :本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系. （ 10 年） （ 21） （本小题满分12分）如图，已知椭圆22221(0)xy ab ab＞＞的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,FF为顶点的三角形的周长为4(21).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF和2PF与椭圆的交点分别为BA、和CD、. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF、2PF的斜率分别为1k、2k，证明12·1kk；（Ⅲ）是否存在常数，使得·ABCDABCD恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为ca22，得2ac ，又22ac4(21)，所以可解得22a，2c，所以2224bac，所以椭圆的标准方程为221 84xy；所以椭圆的焦点坐标为（2，0） ，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为221 44xy。
命题意图】 本题考查了椭圆的定义、离心率、 椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系， 是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力其中问题（ 3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，(11 年 )22. （本小题满分12分）已知动直线l与椭圆C：221 32xy交于1122,,,PxyQxy两不同点， 且OPQ的面积62OPQS，其中O为坐标原点．（Ⅰ）证明：2212xx和2212yy均为定值；（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求 OMPQ 的最大值；（Ⅲ） 椭圆C上是否存在三点,,D E G，使得62O DEO D GO EGSSS？若存在， 判断D EG的形状；若不存在，请说明理由．解析： （Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，,P Q两点关于x 轴对称，则1212,xxyy，由11,P xy在椭圆上，则22111 32xy，而1162O PQSx y，则116,1 2xy于是22123xx，22122yy. 当直线l的斜率存在，设直线l为ykxm，代入221 32xy可得2223()6xkxm，即222(23)6360kxkmm，0，即2232km2121222636, 2323kmmxxx x kk22212121211()4PQkxxkxxx x22 2226321 23kmk k21m d k，222112632622232PO QkmSdPQm k则22322km，满足02 22221212122263(2)()2()23 2323kmmxxxxx x kk，222222121212222(3)(3)4()2 333yyxxxx，综上可知22123xx，22122yy. （Ⅱ） ）当直线l的斜率不存在时，由（Ⅰ）知1626 ; 2O MxPQ当直线l的斜率存在时，由（Ⅰ）知12322xxkm，2121231() 222yyxxkkmm mm，2 22212122229111()()(3) 2242xxyykom mmm222 22222224(32)2(21)1(1)2(2) (23)kmmPQk kmm22221125(3)(2) 4O MPQ mm≤，当且仅当221132 mm，即2m时等号成立，综上可知OMPQ 的最大值为52。
Ⅲ）假设椭圆上存在三点,,DE G，使得62O D EO D GO EGSSS，由（Ⅰ）知2222223,3,3DEEGGDxxxxxx，2222222,2,2DEEGGDyyyyyy. 解得22232DEGxxx,2221DEGyyy，因此,,DEGxxx只能从62中选取，,,DEGyyy只能从1中选取，因此,,D E G只能从6(,1) 2中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与62O DEO D GOEGSSS相矛盾，故椭圆上不存在三点,,DE G，使得62O D EOD GO EGSSS12 年 )（21） （本小题满分13 分）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点，M是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点，过,,MFO三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线 C 的准线的距离为34. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）是否存在点M， 使得直线M Q与抛物线 C 相切于点M？若存在， 求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M的横坐标为2 ， 直线1: 4lykx与抛物线 C 有两个不同的交点,A B，l与圆Q有两个不同的交点,DE，求当12 2k时，22 ABDE的最小值 . 。