第4章图形处理技术基础4.1图形的几何变换-图形几何变换的基本原理-二维图形的基本变换 二维图形的组合变换 三维图形的变换、工程图的生成4.L1图形几何变换的基本原理-图形：无论二维或图形，都是由组成图形的点、点之间的连线、连线构成的面、以及点、线、面之间的关系表达的图形变换：只是改变图形顶点的坐标，不改变它们的拓扑关系从原理上讲：图形的几何变换，实际上位点的变换4.L2二维图形的基本变换设T 一个点的坐标可以用矩阵形式X y标变换的矩阵表示形式为：AT=B,T为变换矩阵a bc da baxy x c加或 表 示，坐步bxxy变换类型(1)比例变换当b=c=O,a、d0,X*y X中)等比例变换a=d时2)不等比例变换a#d时Aax*x ax cyV*bx dydy（2）对称变换1）对X轴a=1,d=1；2）对Y轴a=1,d=1 ；3）对原点A=1,d=-1x*ax c yy*bx dy（3）错切变换1）沿X方向b=0,d=L a=L c#0时，x*ylx+cy y练习：对如图所示的边长为10的正方向进行c=2的错切变换oOO11KO148cD)001O1OO11O1O3O20*Z5C。
)000O11Y2）沿Y方向a=l,c=0,d=L b#0 时，x*y=x bx+y练习：对如图所示的边长为10的正方向进行b=-0.5的错切变换X*A 0 0 05 10 0 1 0.5 10C 10 10 0 1 10D O 10 005y*axbxcydy50B*GD*3）沿X、Y两个方向错切a=d=l,b，0,c W O时，x*/=*+bx+y举 例：对如图所示的边长为10的正方向进行b=c=0.5的错切 变 换x*ax cyy*bx dy（4）旋转变换当d cos,b sin.c sin,x*y xcos j/silii xsm绕原点的旋转，转角逆时针为正x*ax cyy*bx dyycos（5）平移变换无论变换矩阵中的即b,c,d为何值，均不能实现图形的平移，为此需要图形的另一种表示坐标一齐次坐标x*axy*bx dy齐次坐标zHx Hy Hz H齐次坐标将一个11维空间的点用n+1维坐标来表示口如在直角坐标系中，二维点 xy的齐次坐标通常用三维坐标 HxHyH表示；口一个三 维 点 x y z 的齐次坐标通常用四维坐标 Hx Hy Hz H表示口最后一维坐标H称为比例因子，H为不为零的任意实数。
直角坐标与齐次坐标的关系x=Hx/Hy=Hy/Hz=Hz/H 任一点可用多个齐次坐标表示例如二维点(20,1 0)用齐次坐标可表示为：(20,10,1)、(40,20,2)或者(30,15,1.5);同理三维点(2,3,5)的齐次坐标可表示为(2,3,5,1)或 者(20,30,50,1 0)一般，总是将H 设 为“产，以保持两种坐标的一致_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _a b变换矩阵:T ft d qI m s当a=d=s=l,b=c=p=q=O,I、而不全为0时,1 0 0 Ix*y 1 x y 1 0 1 0 x加 11 I m/为x方向的平移因子,1%为丫方向的平移因子齐次变换矩阵对于二维坐标系上的点，齐次坐标为 H x H y H ；齐次坐标变换矩阵的形式是：可以实现图形的比列、对称、错切、旋转等S4.L3二维图形的组合变换 工程应用中，仅用基本变换不能实现图形的变换；必须采用两种或两种以上的基本变换组合才能完成，即组合变换。
设各次变换的变换矩阵分别为TL T2,T n,则组合变换矩阵是各次变换矩阵的乘积绕任意一点对图形实施旋转变换例1：三角形a b c,坐标分别为a(6,4),b(9,4),c(6,6),绕A(5,3)点逆时针旋转90图形变换由如下步骤组合：(1)平移变换(2)旋转变换(3)平移变换(1)将图形平移(5,3),使得旋转中心在原点1 0 0n o 1 o5 3 10-0(2)三角形绕原点旋转变换(3)将图形平移(/,阳)，得到满足要求的几何变换组合变换矩阵H1 o oT T T2 T 0 1li|l5 Jl3 1则，变换后的顶点：0 I 0 I 00 I 0 0 00 0 I 5 30I 0III744442696JV-Ja，Q，aXX1X思考：当图形要对画面中的某一点A(X o，y)作放大时，通过哪些基本变换复合而成？(1)首先将图形平移，使点A与坐标原点(0,0)重合；然后图形以(0,0)为中心作放大；(3)最后将图形平移，使点A回原处则 以 点（1y j为中心,S的组合变换矩阵为：VL L I1 o oT T T T 0 1 01 2 T1放大系数分别为XSsx o o h o oo,s 0 0 11 0 0 1U n%nU Jy4.L4三维图形的几何变换三维点坐标三维点齐次坐标(x,y,z)(x,y,z,1)三维图形的几何一变换矩阵/in比例变换0 0 00 00T=0 0 i 00 0 0 1等比例变换1 0 0 00 1 0 0T=0 0 1 00 0 0 s平移变换10T=00 0 01 0 00 1 0m n 店z 三维图变换及其变换矩阵变换名称变换柜库 图 例说 明旋转变换cos fi0-smO0100sin fi0cos fl00001_。
一绕渤的旋转角,逆时针为正，顺时针为负4Z0P 绕Y轴的旋转角,逆时针为正，顺时针为负 cos ysinx0o-sin ycos y0000100001店:包7-绕Z轴的旋转角,逆时针为正，顺时针为负三维图变换及其变换矩阵变换名称变换矩阵T1 0 0 00 1 0 00 0-1 00 0 0 1图例乂咛Y说 明对XOY平面的对称变换对称变换1 0 0 00-1 0 0T 0 0 1 00 0 0 1对XOZ平面的对称变换-1000010000100001对YOZ平面的对称变换三维图变换及其变换矩阵蠹矩阵 变 换 图 例说 明错切变换0 0 01 0 00 1 00 0 1沿X含Y的错切，d 错切因子,1 0 0 0,0100T=g 0 1 00 0 0 1沿X含Z的错切，g错切因子,1 6 0 00 1 0 0T=0 0 1 00 0 0 1沿丫含X的错切，b 错切因子,三维图变换及其变换矩阵（3）二维图形变换及其变换矩阵变换名称变换矩阵图 例1 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1投登变换T1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 1水平面投影变换图形在XOY平面的投影，即Z坐标的比例因子为零。
说 明正面投影变换,图形在XOZ平面的投影，即Y坐标的比例因子为零图形在YOZ平面的投影，即挫标的比例因子为零00T=000 0 01 0 00 1 00 0 1应用举例：(1)对称变换四棱锥S-ABCD对XOZ平对称变换B 6 3 0 100100001,42=56、34.L5三维图形的组合变换原理同于二维图形的组合变换度”，求旋转后的矢量设旋转后的矢量为如图：V=c+n*(Z*h)c=n XZXn*cosa+n X Z*sinaI”4.1.6投 影 变 换投影变换是各类变换中最重要的一种，是 把n维坐标系中的点交成才、于n维坐标系的点投影中心：投影线的汇聚点，或投影参考点投影线：物体发出的光线与投影中心的连线观察平面：也称投影面，投影图所在的平面平行投影：投影中心与投影面距离无限远透视投影：投影中心与投影面距离有限投 影 变 换 过 程：建立观察坐标系；将世界坐标系中的物体变换到观察坐标系中;通过正投影变换将场景投影到观察平面Pref：注视点；P0：观察原点；N：观察平面法向量;观察方向为N 的反方向；思考题：1.如何确定X M部的方向？规定向上方向V=0 1 0,再通过矢量叉乘建立观察坐标系。
2.如何实现将世界坐标系中的物体变换到观察坐标系中？1.平行投影 按投影方向是否垂直投影面，分为正平行投影和斜平行投影正平行投影的投影方向垂直于投影面正投影可测量实体的距离、角度，可度量性好，在工程制图中应用广泛工程图的生成三维图形转化为二维工程图的变换Z主视图的生成取XOZ面为主视图的投影面，变化矩阵为o011OoooOooO11俯视图的生成俯视图：取XOY面为投影面，然后绕x轴顺时针旋转90度，然后平移一定的距离d俯视图变换矩阵为L管1 0 00 1 00 0 00 0 00 1 00 0 cos(90)0 0 sin(90)1 Io o0 0sin(90)0cos(90)0 0ooooodO1o1ooo左视图的生成左视图：取YOZ面为投影面,然后绕Z轴逆时针旋转90 度，然后平移dooo1oo0 cos90 sin900 sin90 cos90ooOO1OOOOOO11OO OoOdo11ooooooo1ooooo2.轴测投影C A D/C A M 设计的图形大多数为三维，轴测图的显示需要用到轴测投影变换轴测投影变换实质是三维组合变换，先 绕 2个轴旋转，在向一个平面投影例如先绕y轴旋转（P角，再绕x轴旋转。
角，最后向X O Y 平面投影O OO1OO1Oooo.smoc o sOOmsO OOOOc oOOOOc o sOCOnOs is i nOOOOOOOO O轴间角：Z X1O1Yi Z x q 不、/Y1 O1 Z1轴向变形系数：O iX/ox=%/0丫=小 O1 Z1/OZ=r|z正二轴测投影变换 当=2%=1=1时，为正二轴测投影；先绕y轴旋转（p=1928”,再绕x轴旋转20 4 2”变换矩阵为：0.935 0.118 0 00 0.943 0 0T0.354 0.312 1 0o o o r正等轴测投影变换 当1=%=%=0 82时，为正等轴测投影；轴间角120先绕y轴旋转 p=45再绕x轴旋转16 变换矩阵为：0.707 0.408 0 00 0.816 0 00.707 0.408 1 0八0 0 13.透视变换 通过投影中心将三维形体投影到投影面的变换投影线从投影中心出发，投影线不平行比轴测图更富立体感，投影面位于投影中心和实体之间小ZP=(x,y,z)投影中心/投影参考点(Projection reference point)口为了简化计算，一般情况下取：(1)观察平面位于观察坐标原点；(2)投影中心在Z眼能方向，即x yprp=0 o则经过坐标变换，使观察坐标系与世界坐标系重合X y Z10 1 000 10 01/4 0 0 0 010 0 0 1透视投影观察体落在近、远裁剪平面之间的棱台体内的物体才能被显示。
OpenGL中，投影面与近裁剪平面重合，投影参考点位于观察坐标系原点OpenGL实现透视变换实例#include stdafx.h#define GLUT_DISABLE_ATEXIT_HACK#include GLint winWidth=600,winHeight=600;/Initial displaywindow size.GLfloat xO=0.0,yO=0.0,zO=100.0;/Viewingcoordinate originGLfloat xref=0.0,yref=0.0,zref=0.0;/Look-at point.GLfloat Vx=0.0,Vy=10,Vz=0.0;/View-up vector./*Set coordinate limits for the clipping window:*/glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);/Show the dolor withdisplay window color/*Set parameters for a cube.*/glColor3f(0.0,1.0,0.0);/Set object color to green.glutWire。