第1届1 求证(21+)(1对每个自然数都是最简分数2 设V(x+V(2x1))+V(xV(2x1))=A试在以下种情况下分别求出x的实数解:(a)A=V2；()A=1()A=2a、都是实数，已知的二次方程试用a作出一个关于a==2时比较的二次方程，使它的根与原来的方程一样当和X的方程式试作一直角三角形使其斜边为已知的，斜边上的中线是两直角边的几何平均值段A上任意选取一点，在A的同一侧分别以A、为底作正方形A、E这两个正方形的外接圆的圆心分别是、，设这两个外接圆又交于、，(a)求证A、相交于点；(求证不论点如何选取直线都通过一定点；(当在A与之间变动时，求线断的中点的轨迹两个平面、交于一线，A为上给定一点，为上给定一点，并且这两点都不在直线上试作一等腰梯形AD平行于D使得它有一个内切圆，并且顶点B分别落在平面和上第2届1找出所有具有下列性质的三位数：能被11整除且等于的各位数字的平方和2寻找使下式成立的实数x：直角三角形的斜边的长为，将它分成等份(为奇数)，令为从点向中间的那一小段线段所张的锐角，从到边的高长为，求证：已知从、引出的高线长度以及从引出的中线长，求作三角形正方体(上底面，下底面C是对角线上任意一点，是上任意一点。
求中点的轨迹；求(中轨迹上的、并且还满足2的点的轨迹6.一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上令为圆锥的体积，为圆柱的体积12()求证：不等于；12()求的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般12等腰梯形，平行于，令，梯形的高为，点在对称轴上并使得角、都是直角试作出所有这样的点并计算到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的点确实存在第届1 设、是常数，解方程组x+y+z=，;2+yx2+z2=2b;xy2=并求出若使x、y是互不相同的正数，、应满足什么条件？2 设、、是某三角形的边，是其面积，求证：a+2+2>=4V3A.并求出等号何时成立3. 解方程xx=1其中是一个自然数4. 是三角形A内部一点，胶于，交A于，交A于，求证A//中至少有一个不大于2,也至少有一个不小于2作三角形A使得A=Ab锐角A其中是线断、的中点求证这个三角形存在的充要条件是/2(=又问上式何时等号成立•三个不共线的点A、、、平面不平行于A，并且A、、在的同一侧在上任意取三个点A,A设分别是边AA的中点，是三角形A的重心问，当A变化时，的轨迹是什么？第4届1. 找出具有下列各性质的最小正整数：它的最后一位数字是6如果把最后的去掉并放在最前面所得到的数是原来数的4被。
2. 试找出满足下列不等式的所有实数x：V(3x)J(x+1)>1/2.3. 正方体AA(A、A分别是上下底)一点x沿着正方形A的边界以方向A作匀速运动；一点以同样的速度沿着正方形的边界以方向运动点、在同一时刻分别从点A、开始运动求线断的中点的轨迹4.解方程2xs+22sx+23sx=1在圆上有三个不同的点A、C试在上再作出一点使得这四点所形成的四边形有一个内切圆一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为，求证这两个圆的圆心的距离是V（R（R2））求证：正四面体有个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体第5届找出下列方程的所有实数根（其中I是实参数）:V(x2-p)+2V(x2-1)=x上有一点满足角2给定一点及线断，设空间中一点使得存段是直角，试求出所有这样的点的轨迹在一个边形中，所有内角都相等，边长依次是12求证：所有边长都相等设是一个参数，试找出方程组x+xx（的所有解xii+2i+11x求证2pi/7+cos3p五个同学A、、、参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如，，、、两位同学名次不是（1,2、）（2,3、）（3,、4）（4,5中）的任何一种）。
还有一种猜测说结果会是的顺序实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学（4个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连试讨论最后的名次如何？第6届1.（、）求所有正整数n使得2n-1能被7整除；（、）求证不存在正整数n使得2n+1能被7整除2.假设a、C是某三角形的三边长,求证：、2(、+c-、)2+(c、+、-、)2+(ac+、-c).三角形的三边长为别为、、C分别平行于的各边作三角形内切圆的切线，每条切线都在中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和（用表示）4. 十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信在他们的信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的5. 平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目四面体的中心是，分别过A、作的平行线，这些线分别交平面、A于点、、，求证：的体积是的三分之一；再问如果为三角形内的任意一点，结果是否仍然成立？第届1. 试找出所有位于区间2的x使其满足2cosxW|V（1+sin2x）V（1sin2x）|WV2.2. 如下方程组的系数、ij，ij满足：、、是正数，其余是负数;每个方程中的系数之和是正的。
求证：该方程组的有唯一的解四面体被平行于、边的一个平面分割成两部分，并且该平面到边的距离是该平面到边距离的倍试求出这两部分的体积比4.四个实数，它们中的任何三个的乘积再加上第四个数都等于、，求出这四个数的所有可能值三角形中的角是锐角，是边上任意一点，从向、边引垂线，垂足分别为、设三角形的垂心为，求出当在边上移动时点的轨迹；若在三角形内部移动是的轨迹又是什么？平面上给定了个点，任何两点之间都有线断相连，这些线断长度中的最大值被定义为这个点集的直径，求证：长度为直径的线断至多有条第8届在一次数学竞赛中共有A、三道题，名参赛者每人至少答对了一题在所有没有答对的学生中，答对的人数是答对的人数的两倍，只答对问题的人数比既答对又至少答对其他一题的人数多又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对、请问有多少学生只答对？三角形、如果，+AC=tanC/anA+ACta则该三角形为等腰三角形3. 求证：从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其他点到各顶点距离之和对任何自然数以及满足s不为的实数，求证:+AC=tanC/anA+ACta+AC=tanC/anA+ACta1/s+1/sin4，+...+n1，/si=nco2t，-nc，ot.a（1）是互不相同的实数，解方程组（1）3+|aa|，+33a-a|1。
AC=tanC/anA+ACta+AC=tanC/anA+ACta.在三角形A的边、AA上分别任选三内点、、，求证三角形Al之中至少有一个的面积小于活等于三角形A的四分之一第9届1. 平行四边形A,边长AaA角A已知三角形A是一个锐角三角形，求证以A为圆心半径为1的四个圆能够覆盖此平行四边形的充要条件是3.cosA+V3sA..若四面体有且仅有一边大于1，求证其体积＜1/8.是自然数且+是1一个大于+1的素数，令css+1求证s可被乘积c1cc整除cm+1c)c+2c)c-c)+nk4.任意两个锐角三角形A角形A的所有三角形AAB11A相似且外接于三1111考虑所有与三角形1边包含A,A边包含，A边包含）,试构造出满足此条件的面积最大的三角形5. a,..,.a是不全为0的实数，令c=an+an+..+.an(n=1,2,3,..).，18n128如果数列中有无穷多项等于，试求出所有使二的自然数在一次运动会中，连续天内()1一共颁发了块奖牌在第一天，颁发了一块奖牌以及剩下个中的1/7在第二天颁发了两块奖牌以及剩下的1/7依此类推在最后一天即第天，剩下的块奖牌全部颁发完毕问该运动会共进行了几天，一共颁发了多少块奖牌？第1届1 求证有且仅有一个三角形，它的边长为连续整数，有一个角是另外一个角的两倍。
2 试找出所有的正整数，其各位数的乘积等于21223.a,b,是不全为的实数xx12是满足下述方程组的未知数:ax2+bx+c=x,对于i=1,2,.ii+1..；,，-1ax2+bx+c=x，1；若设M=(-21-)4ac，求证：a若＜，，则方程组无解；若=，，则方程组恰有一解；若＞，，则方程组不止有一个解4. 求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形的三边令f是定义在所有实数并取值实数的函数，并且对于某个a及任何x有f(x+a)=1/2+V[f(x)f(x)求证f是周期函数，并且当a=1时请给出一个非常值函数的例子对任何自然数，，试计算下式的值其中表示不超过的最大整数第11届对任意正整数，求证有无穷多个正整数使得不是质数令其中是实数常量，是实数变量现已知0求证是n的整数倍对每一个，试找出应满足的充要条件使得存在一个四面体，其中个边长均为，其余个边的长度均为以为直径的半圆弧,是三角形的内切圆,相切求证：圆、、是其上不同于、的一点，是向圆与、以及半圆都相切，圆除外还有一条公切线作垂线的垂足与、及半圆平面上已给定了个点，无三点共线求证至少有个凸四边形,其顶点都是已给点集中的点。
6.给定实数证：满足，求W并给出等号成立的充分必要条件第1,届x1是三角形的边上的任何一点，、、分别是三角形、、的12内切圆的半径，是外旁切圆的半径（即与边相切，与、的延长线上相切的圆），类似的，、分别是12外旁切圆的圆心求证：12=122已知0Wx，bxxx表示了1n-2010在a实数a,a,a,.满.足.1=a<=a<=a<=..，.并定义012012=工(1a/a),/Va其中求和是从1到a求证0W<2；设c满足OWc<2，求证可找到a使得当足够大时（成立4.试找出所有的正整数n使得集合{个子集合，每个子集合的元素的乘积相等12可被分拆成两四面体，角是直角，向平面作垂线的垂足恰好是三角形的垂心求证：（2W（222）并问何时等号成立？6.平面上给定100个点，无三点共线，求证：这些点构成的三角形中至多70%是锐角三角形第13届1.令+（an自然数。