单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,3.2,矩阵范数,,矩阵范数的概念,,,,1,,1.,矩阵范数的概念,设,A,∈,C,m,×,n,，定义一个实值函数||,A,||，若满足：,(1) 非负性,：||,A,||≥0，且||,A,||=0当且仅当,A,=0；,(2) 齐次性：||,a,A,||=|,a,| ||,A,||，,a,∈,C,；,(3) 三角不等式：||,A,+,B,||≤||,A,||+||,B,||，,A,,,B,∈,C,m,×,n,;,则称||,A,||为,A,的,矩阵范数,4),相容性,：||,AB,||≤||,A,|| ||,B,||，,例1,设,A,=(,a,ij,)∈,C,n,×,n,，则,都是矩阵范数2,,对于,C,m,×,n,上的矩阵范数||,A,||,M,和,C,m,与,C,n,上的同类向量范数||,x,||,v,，如果满足,则称矩阵范数||,A,||,M,和向量范数||,x,||,v,是,相容的,2.,相容范数,例2,设,A,=(,a,ij,)∈,C,m,×,n,，则,是矩阵范数，且与向量的2-范数相容。
该范数称为,Frobenius范数,，或简称为,F,-范数,3,,例3,设||,A,||,M,是,C,n,×,n,上矩阵范数，任取,C,n,中的一个非零向量,y,，则函数,是,C,n,上的向量范数且矩阵范数||,A,||,M,和向量范数||,x,||,v,相容4,,定理1,：已知,C,m,与,C,n,上的同类向量范数||,x,||,v,，设,A,∈,C,m,×,n,，则按如下方式定义的的函数,是矩阵范数，并且与已知的向量范数||,x,||,v,相容3.,从属范数,定理1中给出的矩阵范数称为,由向量范数诱导出的矩阵范数,，简称为,从属范数,对于任意从属范数，||,I,||=1，,但对于一般的矩阵范数，只有||,I,||≥15,,定理2,：由向量的1-范数、2-范数和∞-范数分别诱导出的矩阵范数分别是,通常依次称为,列和范数,、,谱范数,和,行和范数,定理3,：,谱范数和,F,-范数都是酉不变范数,，即对于任意酉矩阵,P,和,Q,，有||,PAQ,||=||,A,||。