2) (2) 单位阶跃响应的超调量单位阶跃响应的超调量单位阶跃响应的超调量单位阶跃响应的超调量 和调和调和调和调节时间节时间节时间节时间 解:[题意分析]这是一道典型二阶系统求性能指标的练习题，通过该练习题数值计算，加深理解开环放大系数K值的改变，对系统参数,及性能指标的影响 (1) 系统闭环传递函数为 与二阶系统传递函数标准形式 相比较，可得 或 当K=10/s时, =10（弧度／秒）, =0.5K=20/s时， =14.14（弧度／秒）, =0.354(2) 当 K=10/s时， =16.3% , =0.362(秒), (秒) K=20/s时， =30.4% , =0.237(秒) , (秒) 由此可见，开环放大系数增大，使减小，增大，超调量增大，峰值时间减小，调节时间基本不变。
3.4 代数稳定判据n n线性系统稳定的充分必要条件是：系统特征系统特征方程式所有的根（或极点）全部为具有负实方程式所有的根（或极点）全部为具有负实部，也就是所有的根均分布在平面虚轴的左部，也就是所有的根均分布在平面虚轴的左面n n劳斯判据，首先将系统的特征方程式写成标劳斯判据，首先将系统的特征方程式写成标准形式，并检查各项符号是否相同和缺相准形式，并检查各项符号是否相同和缺相若符号不同，或者缺相系统不稳定如果符若符号不同，或者缺相系统不稳定如果符号相同又不缺相，这是系统稳定的必要条件，号相同又不缺相，这是系统稳定的必要条件，但系统是否稳定，需要列劳斯表判断但系统是否稳定，需要列劳斯表判断 2.劳斯稳定判据劳斯稳定判据特征方程式写成如下标准式： 把特征方程式的系数排列成如下形式的劳斯表： 第一行与第二行的系数向右展开，分别别到为止第三行以第一行与第二行的系数向右展开，分别别到为止第三行以第一行与第二行的系数向右展开，分别别到为止第三行以第一行与第二行的系数向右展开，分别别到为止第三行以后的各系数，分别根据前两行系数求得，这些行称为导出行后的各系数，分别根据前两行系数求得，这些行称为导出行后的各系数，分别根据前两行系数求得，这些行称为导出行后的各系数，分别根据前两行系数求得，这些行称为导出行或计算行。
或计算行或计算行或计算行 系数的计算，一直进行到其余的值全部等于零为止 依此类推一直计算到 为止在计算过程中，为了简化数值运算，可以用正整数去除或乘某一行的各项，并不改变稳定性的结论列出劳斯表后，就可以分成以下三种情况阐述劳斯稳定判据：（1）第一行所有系数均不为零时，劳斯稳定判据如下，如果劳斯表中第一行各系数均为正数，则系统稳定如果第一列有负数，则第一列数符号改变的次数等于特征根中具有正实部根的个数系统不稳定2）某一行的系数为零，其余不为零，或部分为零 当出现这种情况时，可用一无穷小量 代替该零相，然后按照通常方法计算劳斯表中其余各项如果零 上面的 系数符号与零下面的系数符号相反，表明有两次符号改变 （3）某行所有项系数均为零的情况 如果劳斯表中某一行（k行）所有系数均为零，这往往表明系统是不稳定 的 因为造成这一情况的原因是由于特征根对称于[s]平面的原点，如 。
为了写出下面各行，可按下述步骤处理：利用(k-1)行的各项为系数构成辅助方程式，式中s各项均为偶次将辅助方程式对s求导，用求导得到的各项系数来代替原来（k行）为零的各项，然后继续计算特征方程式对称原点的根，可由方程式等于零求得 例3-4-1 设系统的特征方程式为设系统的特征方程式为试判别系统的稳定性试判别系统的稳定性试判别系统的稳定性试判别系统的稳定性解：特征方程符号相同，又不缺相，故满足稳定的必要条件劳斯判别由于第一列各系数均为正数，故系统稳定也可以将特征方程式因式分解为 根均有负实部，系统稳定 例例3-4-2 3-4-2 设系统特征方程式为设系统特征方程式为设系统特征方程式为设系统特征方程式为试判别系统的稳定性试判别系统的稳定性试判别系统的稳定性试判别系统的稳定性 列劳斯表第一列符号改变两次，因此该系统有两个正实部根系统不稳定 当出现这种情况时，可用一无穷小量 代替该零相，然后按照通常方法计算劳斯表中其余各项如果零 上面的系 数符号与零下面的系数符号相反，表明有两次符号改变。
例如，特征方程式：例如，特征方程式：例如，特征方程式：例如，特征方程式： 劳斯表第一列各项系数，当趋近于零时， 的值是一个很大的负值，因此可认为第一列中各项系数值符号改变了两次，该系统具有两个正实部根，系统不稳定 如果零上面的符号和下面的符号相同，则说明存在一对虚根如果零上面的符号和下面的符号相同，则说明存在一对虚根例如： 列劳斯表将特征方程式因式分解为 根为 所以：系统等幅振荡，所以系统也不是渐近稳定 例例3-4-3 3-4-3 系统特征方程式为系统特征方程式为系统特征方程式为系统特征方程式为判断其稳定性判断其稳定性判断其稳定性判断其稳定性 列劳斯表由表的第一列可以看出，各项符号没有改变，说明在右半部没由极点，但是由于 的各项都为零，这表明有共轭虚根，所以系统是等幅振荡的，虚根的值可由辅助方程求得： 或 解得 3.用劳斯判据确定系统参数的临界值代数稳定判据除了可以用来判定系统是否稳定之外，还可代数稳定判据除了可以用来判定系统是否稳定之外，还可以用来分析系数变化对系统稳定性的影响，从而给出使系以用来分析系数变化对系统稳定性的影响，从而给出使系统稳定的参数范围。
统稳定的参数范围例例3-4-4 单位反馈系统的开环传递函数为,试求的稳定范围解：系统的闭环特征方程： 列劳斯表系统稳定的充分必要条件 得 所以保证系统稳定，的取值范围为 3.5 稳态误差3.5.1 稳态误差及误差系数稳态误差及误差系数控制系统的典型结构如图控制系统的典型结构如图3-5-1所示所示系统的稳态误差有两种定义方法系统的稳态误差有两种定义方法3-5-1 典型结构图典型结构图输入端定义：输入端定义：这个误差是可测量的，但是这个误差并不一定反映实际值与期望值的偏差输出端定义：系统输出量的实际值与期望值的偏差，用表示 对于非单位反馈系统两种方法定义的误差关系为，证明如下：由图3-5-1可知 等效结构图如图3-5-2所示 其中表示等效单位反馈系统的输入信号，也就是输出的期望值，因而 是从输出端定义的 非单位控制系统的误差 （3-5-1）由前面分析可知，从系统输入端定义的系统误差，可以直接地或间接地表示从系统输出端定义的系统误差 以后的叙述中，均采用从系统输入端定义的误差进行分析和计算。
如果有必要计算输出端的误差，则可利上式进行换算依据输入端误差定义方法，可得误差传递函数为式中，Gk(s)=G(s).H(s) ——开环传递函数 误差的拉氏变换为应用终值定理可求稳态误差为 （3-5-2）由此可知，系统的开环传递函数Gk(s)和输入量X(s),这两个因素决定稳态误差下面讨论这两个因素对稳态误差的影响为了便于讨论，可按开环传递函数Gk(s)中所串联的积分环节的数目对系统进行分类系统的开环传递函数经过整理一般可表示为： （3-5-3）式中 N——开环传递函数中串联积分环节的个数，或称无差度数 N=0时的系统，称为0型系统，又称为有差系统；N=1时的系统，称为1型系统，又称为一阶无差系统；N=2时的系统，称为2型系统，又称为二阶无差系统；依此类推。
N愈高，系统稳态精度越高，但系统的稳态性越差一般所采用的是0型、1型和2型系统 下面讨论不同型别的系统，在不同输入信号下面讨论不同型别的系统，在不同输入信号形式作用下的稳态误差形式作用下的稳态误差1) 单位阶跃函数输入X(s)= 稳态误差为令,——称为位置误差系数，则对于0型系统，N=0位置误差系数： 因此0型系统的稳态误差：0型系统的位置误差由开环放大系数决定，K越大，越小对于1型或2型系统，N=1或N=2，位置误差系数为因此位置误差为由此可知，对于单位阶跃输入 ，1型以上各型系统的稳态误差均为零 （（2）、单位斜坡函数输入）、单位斜坡函数输入 因此稳态误差为令，——称为速度误差系数，则对于0型系统，N=0速度误差数为则 对于1型系统 =K； 对于2型系统 ； (3) 单位抛物线（加速度）函数输入 因此稳态误差为 令 ， ——称为加速度误差系数，则 对于0型和1型系统对于2型系统 由此可知，0型和1型系统都不能跟踪加速度输入，只有2型系统，可以跟踪加速度输入，但是有稳态误差。
现将各型系统在不同输入情况下的误差下的误差系数和稳态误差列于表3-5-1中输入输出特性线如图3-5-3所示 ☆☆表表3-5-1 不同输入不同类型系统的稳态误差不同输入不同类型系统的稳态误差 例例3-5-1 已知开环传递函数分别为 和 的两个系统，试求它们的静态误差系数和动态误差系数以及输入为 时的稳态误差（其中 均为正常数） 解：（1）两个系统均为1型系统，其稳态误差系数为 例例3-5-23-5-2 单位反馈控制系统的开环传递函数为，试单位反馈控制系统的开环传递函数为，试单位反馈控制系统的开环传递函数为，试单位反馈控制系统的开环传递函数为，试求在输入信号为作用时的稳态误差求在输入信号为作用时的稳态误差求在输入信号为作用时的稳态误差求在输入信号为作用时的稳态误差解：[题意分析]该题是求稳态误差的基本题目，可采用不同的方法求解在这里需用系统的迭加原理，及系统的类型方法1：依据定义用终值定理求稳态误差 由题可知系统闭环传递函数为 输入信号的拉氏变换为 根据误差的定义，误差信号的拉氏变换为 由终值定理 方法方法2：用静态误差系数法：用静态误差系数法 由于系统是Ⅰ型系统，因此根据迭加原理当时 当时 故故 3.5.2 扰动稳态误差控制系统除了输入信号作用外，还经常受各种扰动作用，如负载的波动；电源控制系统除了输入信号作用外，还经常受各种扰动作用，如负载的波动；电源电压和频率的波动；环境变化而引起的元件参数变化等，均属于对系统扰动或电压和频率的波动；环境变化而引起的元件参数变化等，均属于对系统扰动或干扰。
在这些扰动信号的作用下，系统也将产生稳态误差称为扰动稳态误差，干扰在这些扰动信号的作用下，系统也将产生稳态误差称为扰动稳态误差，扰动稳态误差的大小反映了系统抗干扰的能力一般希望扰动误差越小越好扰动稳态误差的大小反映了系统抗干扰的能力一般希望扰动误差越小越好在理想情况下，系统对于任意形式的扰动作用其稳态误差总应为零在理想情况下，系统对于任意形式的扰动作用其稳态误差总应为零 设扰动量为如图3-5-4所示当输入量为零时，扰动量输出的拉氏变换为 式中 ——扰动误差传递函数由于在有扰动时希望输出值应为零，系统误差依据定义应是希望输出与实际输出之差因此误差信号的拉氏变换应为根据拉氏变换的终值定理，可求出扰动作用下的稳态误差为当 时， (3-5-4) (3-5-5) 例例3-5-3 设控制系统如图3-5-4所示，其中 , 输入信号 ，扰动信号 ，试计算该系统的稳态误差。
解： 令 输入信号为单位斜坡信号：令 ，得在扰动作用下的误差传递函数： 扰动作用的拉氏变换为 所以 根据线性迭加原理：本例，应取 3.5.3 减小稳态误差的方法减小稳态误差的方法 在控制系统设计和实现时，都要根据实际工作需要对系统提出稳态误差的要求，如何保证系统的稳态误差不超过要求值，可采用以下几种方法减小稳态误差1.增大系统的开环放大系数提高系统对参考输入的跟踪能力，增大扰动作用点以前的前向通道的放大系数以降低扰动引起的稳态误差增大开环放大系数是一种简单有效的办法，但是放大系数的增加将会降低系统的稳定性，故增大放大系数受稳定性的限制2.增加积分环节，提高无差度，从而可以消除不同输入信号量的稳态误差，但是当积分环的个数超过2时，要使系统稳定就非常困难所以实际的工作系统串联积分环节数不能超过23.除上述方法外，可以采用补偿的方法补偿是指作用于被控对象上的控制精度，减小误差这种控制称为复合控制或前复合控制或前馈补偿控制馈补偿控制 （（1）输入作用的复合控制）输入作用的复合控制图3-5-5 所示的控制系统中，输入信号X(s)通过补偿装置Gc(s)对系统进行开环控制。
引入补偿信号Xb(s)与偏差信号E(s)一起，对被控对象进行复合控制等效结构图3-5-6所示系统的闭环传递函数为系统的误差传递函数为图3-5-5复合控制系统的结构图 图3-5-6复合控制系统的等效结构图则误差信号的拉氏变换为（3-5-7） 如果选择补偿装置的传递函数为 （3-5-8）则系统补偿后误差为 E(s)=0闭环传递函数为 即Y(s)=X(s)这时系统的误差为零，输出量完全复现输入量这种将误差完全补偿的作用称为全补偿式（3-5-8）称为按输入作用的不变性条件 （（2）扰动作用的复合控制）扰动作用的复合控制图3-5-7是按外部扰动补偿的复合控制系统该系统由扰动引起的误差就是输入量为零时系统输出量等效结构图如图3-5-8所示图3-5-7按扰动补偿的复合控制图3-5-8按扰动补偿的复合控制等效结构图 系统输出的拉氏变换为 （3-5-9）如果选取： （3-5-10） 则得 Y(s)=0 这就是对外部扰动作用的全补偿式（3-5-10）称为按扰动的完全不变性条件，在实际工程中，实现完全不变性条件是困难的但是，即使能实现部分补偿也可以取得显著效果 例例3-5-4 已知单位反馈二阶系统，补偿前的开环传递为 （1）未加补偿时，当x(t)=t时系统的稳态误差；（2）加入如图3-5-9所示补偿时，且x(t)=t时系统的稳态误差，并分析其稳定性；图3-5-9 补偿后的结构图（1）补偿前的稳态误差闭环传递函数为误差传递函数为当输入信号x(t)=t时，X(s)= ，稳态误差为 系统将产生速度稳态误差，其大小决定于开环增益K值的大小。
2）补偿后的稳态误差为了补偿速度误差，引进输入信号的微分信号，如3-5-9所示闭环传递函数为误差传递函数为当选 时，误差传递函数为 误差的拉氏变换为 在输入信号为斜坡函数的情况下，X(s)= ,系统的稳态误差为由此可见，在引入补偿 (也称为前馈控制)后，可使系统的速度误差为零将原来的1型系统提高为2型系统此时等效单位反馈系统的开环传递函数：由 可得 由前面的分析可知，引入前馈控制装置不影响系统的稳定性因为这两个系统的特征方程式相同最后再一次指出，引入适当的前馈控制装置，可以提高系统稳态精度，但不改变系统的稳定性 3.6 用用MATLAB解决时域分析的问题解决时域分析的问题3.6.1 时域响应时域响应曲线的绘制曲线的绘制3.6.2二阶系统二阶系统性能指标的计算性能指标的计算3.6.3 代数代数幻灯片幻灯片 11稳定判据稳定判据MATLAB的实现的实现3.6.4稳态误差稳态误差的计算的计算 3.6.1 时域响应曲线的绘制时域响应曲线的绘制1.单位阶跃响应的函数step()调用格式： step(sys) step(sys,t) [y,t,x]=step(sys)step(sys,t)函数用于计算系统的阶跃响应，函数中t可以指定为一个仿真终止时间，此时t为一标量；也可以设置为一个时间向量(如用t=0：dt：Tfinal命令). 若是离散系统，时间间隔dt必须与采样周期匹配。
函数中t也可以没有[y,t,x]＝step(sys)函数为带有输出变量引用的函数; 可计算系统阶跃响应的输出数据，而不绘制出曲线输出变量y是系统的输出响应值向量；输出变量t为取积分值的时间向量；输出变量x是系统的状态轨迹数据2. 单位冲激响应函数impulse()impulse(sys)impulse(sys,t)[y,t,x]=impulse(sys) 例例3-6-1已知单位负反馈系统前向通道的传递函数为 解：sys=tf(8,[1 2 0]);closys=feedback(sys,1);step(closys)impulse(closys)运行程序可得系统的单位阶跃给定响应曲线与单位冲激响应曲线略试作出其单位阶跃响应曲线 例例3-6-2 用MATLAB仿真函数命令绘制一阶系统 的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线、单位斜坡响应曲线与等加速度响应等曲线解：(1)运行以下语句可得一阶系统的单位阶跃响应：ys=tf([0 1],[1 1]);step(ys) 程序运行后得到如图3-6-1所示的单位阶跃响应曲线2)运行以下语句可得一阶系统的单位脉冲响应：sys=tf([0 1],[1 1]);impulse(sys) 程序运行后得到如图3-6-2所示的单位脉冲响应曲线。
(3)运行以下语句可得一阶系统的单位斜坡响应：sys=tf([0 1],[1 1 0]);step(sys) 程序运行后得到如图3-6-3所示的单位斜坡响应曲线 (4)运行以下语句可得一阶系统的等加速度响应：sys=tf([0 1],[1 1 0 0]); step(sys) 程序运行后得到如图3-6-4所示的等加速度响应曲线.图3-6-1 一阶系统的单位阶跃响应 图3-6-2单位脉冲响应曲线 图3-6-3 单位斜坡响应曲线 图3-6-4 等加速度响应曲线 例例3-6-3典型二阶系统如下所示： 试绘制出当 分别为0.1、0.2、 、1.0、2.0时系统的单位阶跃响应 解解:编写MATLAB程序如下：wn=6;kosi=[0.1:0.1:1.0,2.0];figure(1)hold onfor kos=kosinum=wn.^2;den=[1,2*kos*wn,wn.^2];step(num,den)endtitle(’Step Response’)hold off 执行后可得如图3-6-5所示的单位阶跃响应曲线图3-6-5 单位阶跃响应曲线 3.6.2二阶系统性能指标的计算二阶系统性能指标的计算 在这里，我们自定义一个MATLAB函数perf()，用于求系统单位阶跃响应的性能指标：超调量、峰值时间和调节时间。
在今后的设计中，我们可以直接调用该函数，从而方便快捷地得到系统的性能指标该函数M文件原程序参见附录2 例例3-6-4设控制系统的开环传递函数为： 试绘制出该闭环系统的单位阶跃响应曲线，并用函数perf()分别计算系统的性能指标解: (1)执行以下程序clears1=tf(1.25,[1 1 0]); sys=feedback(sl,1);step(sys)程序执行后绘制出该解: (1)执行以下程序3-6-6 三条单位阶跃响应曲线闭环系统的单位阶跃响应曲线 (2)采用函数peft()计算性能指标： global y ts1=tf(1.25,[1 1 0]); sys=feedback(s1,1);[y,t]=step(sys);perf(2,y,t); 程序执行结果为： sigma =0.2091tp =3.0920ts =4.9693例例3-6-5已知一个单位负反馈系统为： 试绘制该系统当k分别为1．4，2.3，3.5时的单位阶跃给定响应曲线(绘制在同一张图上)，并计算当k=1．4时系统的单位阶跃给定响应性能指标 解：(1)程序文件方式下执行以下程序clearnum=1;den=[0.5 1.5 1 0];rangek=[1.4 2.3 3.5];t=linspace(0,20,200)';for j=1:3sl=tf(num*rangek(j),den);sys=feedback(sl,1);y(:,j)=step(sys,t);endplot(t,y(:,1:3)),gridgtext('k=1.4'),gtext('k=2.3'),gtext('k=3.5') 这是带鼠标操作的程序，必须采用程序文件执行方式。
其操作方法是：在MATLAB命令窗口里回车后，曲线区域有纵横两条坐标线，其交点随鼠标而移动将交点指在相应曲线附近，3次单击左键分别将“k=1.4”、“k=2.25”、“k=3.5” 标注在曲线旁.执行程序后，得到如图3-6-6所示标注有其对应参数的三条单位阶跃响应曲线由曲线可以看出，当k=1.4时，阶跃响应衰减振荡，系统稳定；当k=2.25时，响应等幅振荡，系统临界稳定；当k=3.5时，响应振荡发散，系统不稳定 (2)执行以下程序clearglobal y t sysn1=1.4;d1=[0.5 1.5 1 0];s1=tf(n1,d1);sys=feedback(s1,1);step(sys);[y,t]=step(sys);perf(2,y,t)执行程序后，计算出阶跃给定响应的指标如下：sigma =0.5303tp =3.5126ts =16.9776ans =0.5303 3.6.3 代数稳定判据代数稳定判据MATLAB的实现的实现求解控制系统闭环特征方程的根，用函数roots(p)来实现，格式如下：roots(p)p是降幂排列多项式系数向量例例3-6-6己知系统的开环传递函数为： 试对系统闭环判别其稳定性。
解：k=100;z=[-2];p=[0,-1,-20];[nl,d1]=zp2tf(z,p,k);G=tf(nl,d1);P=nl+d1;roots(P)ans =-12.8990 -5.0000 -3.1010闭环特征方程的根的实部均具有负值，所以闭环系统是稳定的 例例3-6-7已知系统闭环传递函数为： 试对系统闭环判别其稳定性 解：p=[0.001 0.502 6 200];roots(p)ans =1.0e+002 * -4.9060 -0.0570 + 0.1937i -0.0570 - 0.1937i例例3-6-8 已知系统的动态结构图模型如图3-6-7所示,试对系统闭环判别其稳定性nl=[10];d1=[1 1 0];s1=tf(nl,d1);n2=[0 2 0];d2=[0 0 1];s2=tf(n2,d2);s12=feedback(s1,s2);n3=[0 1 1];d3=[0 1 0];s3=tf(n3,d3);sysl=s12*s3;sys=feedback(sysl,1);roots(sys.den{1})图3-6-7系统结构图模型ans = -20.5368 -0.2316 + 0.6582i -0.2316 - 0.6582i解:图3-6-7系统结构图模型 3.6.4稳态误差的计算稳态误差的计算例3-6-8两个单位负反馈系统的闭环传递函数分别为 试求两系统的稳态位置、速度 与加速度误差系数 ,,解: (1)系统a的计算对系统a判稳p=[1 2 3 7];roots(p)ans = -2.1325 0.0662 + 1.8106i 0.0662 - 1.8106i②根据代数稳定判据，有一对共轭复根的实部是正的，那么系统a是不稳定的，故不能定义稳态误差系数。
(2)系统b的计算 ①对系统b判稳 P=[5 5 6];roots(P)ans = -0.5000 + 0.9747i -0.5000 - 0.9747i ②计算系统b的稳态位置、速度与加速度误差系数clearsyms s phib Gk kp kv ka;phib=5/(5*s^2+5*s+6);[Gk]=solve('5/(5*s^2+5*s+6)=Gk/(1+Gk)',Gk);kp=limit(Gk,s,0,'right')kv=limit(s*Gk,s,0,'right')ka=limit(s^2*Gk,s,0,'right')执行结果如下： kp =5kv =0 ka =0 例例3-6-9已知系统结构图如图3-6-8所示试求局部反馈加入前后系统的静态位置、速度与加速度误差系数 ,,解: (1)局部反馈加入前 ①求系统的传递函数syms s G1 G2 H2 G phi1 phi;G1=(2*s+1)/s;G2=10/(s*(s+1));H2=0;phi1=G2/(1+G2*H2);G=factor(G1*phi1)phi=factor(G/(1+G)) 执行结果如下G =10*(2*s+1)/s^2/(s+1) phi =10*(2*s+1)/(s^3+s^2+20*s+10)②对系统判稳P=[1 1 20 10];roots(P)图3-6-8系统结构图ans = -0.2468 + 4.4372i -0.2468 - 4.4372i -0.5063 图3-6-8系统结构图 ③计算系统的稳态位置、速度与加速度误差系数。
syms s G Kp Kv Ka;G=10*(2*s+1)/s^2/(s+1);Kp=limit(G,s,0,'right')Kv=limit(s*G,s,0,'right')Ka=limit(s^2*G,s,0,'right')执行结果如下Kp =InfKv =InfKa =10 [说明] 求极限的语句中，必须指明是‘right’即从右趋向于0，否则计算出错 (2)局部反馈加入后 ①求系统的传递函数syms s G1 G2 H2 G phi1 phi;G1=(2*s+1)/s;G2=10/(s*(s+1));H2=2;phi1=G2/(1+G2*H2);G=factor(G1*phi1)phi=factor(G/(1+G))执行结果如下G =10/s*(2*s+1)/(s^2+s+20)phi =10*(2*s+1)/(s^3+s^2+40*s+10) ②对系统判稳P=[1 1 40 10];roots(P)ans = -0.3744 + 6.2985i -0.3744 - 6.2985i -0.2512 ③计算系统的稳态位置、速度与加速度误差系数syms s G Kp Kv Ka;G=10/s*(2*s+1)/(s^2+s+20);Kp=limit(G,s,0,'right')Kv=limit(s*G,s,0,'right')Ka=limit(s^2*G,s,0,'right')执行结果如下Kp =InfKv =1/2Ka =0 例例3-6-10已知r(t)=1(t)， ．且指定e(t)=r(t)-c(t)。
试求如图3-6-9所示系统总的稳态误差 解: (1)对系统判稳系统有闭环特征方程：D(s)=0.5s2+s+200=0.p=[0.5 1 200];roots(p)图3-6-9负反馈控制系统ans = -1.0000 +19.9750i -1.0000 -19.9750i图3-6-9负反馈控制系统 (2)仅在r(t)=1(t)作用下(n(t)=0)，求essr的公式对本系统有 其稳态误差为 syms G1 G2 H r R Cr Er t s essr;G2=200/(s*(0.5*s+1));G1=1;H=1;r=sym('Heaviside(t)');R=laplace(r);[n,d]=numden(G1*G2/(1+G1*G2*H));phi=n/d;Cr=phi*R;Er=simple(R-Cr);essr=limit(s*Er,s,0)执行结果如下essr =0 (4)仅在n(t)=1(t)作用下(r(t)=0)，essn的公式对本系统有 其稳态误差为 (5)仅在n(t)=1(t)作用下，求essnsyms G1 G2 H r R n N Cr Er t s essn;G1=1;G2=200/(s*(0.5*s+1));H=1;R=0;n=sym('-0.1*Heaviside(t)');N=laplace(n)[num,den]=numden(G2/(1+G1*G2*H));phin=num/den;Cn=phin*(-N);En=simple(R-Cn);essn=limit(s*En,s,0)执行结果如下N =-.10000000000000000000000000000000/s^1.essn =-.10000000000000000000000000000000即： essn=-0.1ess=essr + essn =0-0.1=-0.1 3.7设计实例：望远镜指向控制系统的设计设计实例：望远镜指向控制系统的设计 哈勃太空望远镜是一种非常复杂和昂贵的科学仪器，它的2.4m镜头拥有所有镜头中最光滑的表面，其指向系统能在400英里以外将视场聚集在一个硬币上。
如图3-7-1所示是望远镜指向系统的数学模型设计的目标是选择K1和K，使得：①在阶跃输入下，系统超调量小于或等于10％；②斜坡输入下稳态误差最小；③减少阶跃干扰的影响将图3-7-1 (a)简化得图3-7-1 (b)1)由σ％≤10％，可得 (2)由图3-7-1 (b)可得，单位斜坡输入下系统稳态误差为 其中 则 若使稳态误差满足要求， 越大越好 (a)望远镜指向系统框图；(b)简化框图图3-7-1望远镜指向系统 (3)单位阶跃扰动(即N(s)= )下，系统输出为 在单位阶跃扰动下，系统稳态误差为 由此可知，为了减少阶跃扰动的影响，K越大越好为了完成设计，需要选择K系统的特征方程为 可得 如果k=100时，则 k1=6, 若选则k=100，则k1 =12， 实际系统中，我们必须限制K，使系统工作性区当K=100时系统的结构图如图3-7-2所示系统的阶跃响应如图3-7-3所示，可见超调量满足要求此时，斜坡输入下的稳态误差 ess= =0.12 由此可见，当K=100时，得到一个很好的系统图3-7-2所设计的系统 图3-7-3系统的阶跃响应 小小 结结1.时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时间响应。
从而可以很直观的分析系统的性能好坏2.常用的典型输入信号有阶跃函数、斜坡函数、抛物线函数和正弦函数阶跃输入函数为条件较恶劣的输入信号如果一个系统受到阶跃输入后的输出响应能满足性能指标的要求，则受到其它输入信号后，输出响应一般都能满足性能指标的要求，所以时域分析最常用的典型输入信号是阶跃输入函数正弦输入函数是频域法分析系统的主要输入信号，这将在第五章中详细介绍3.时域性能指标有动态性能指标 等；稳态性能指标为稳态误差 4.许多自动控制系统，经过参数整定和调试，其动态特性可以近似为一阶、二阶系统所以一阶、二阶系统的分析结果，常常可以作为高阶系统分析的基础 5.对于高阶系统，如果能找到一对(或一个)主导极点，则高阶系统可以近似用二阶(或一阶)系统进行分析主导极点是控制理论中重要的概念之一6.稳定性是系统正常工作的先决条件，闭环系统的零、极点在根平面(s平面)上的分布，完全确定了系统的稳定性，系统稳定的充分必要条件是：闭环极点全部位于s平面的左半平面掌握劳斯稳定判据的应用7.系统的稳态误差也是重要的性能指标稳态误差分为给定值(参考输入)稳态误差和扰动稳态误差。
前者根据系统的类型(0型、1型、2型…)及典型输入信号的不同，用稳态误差系数( )求取后者应按扰动稳态误差的定义求取8. 可采用如下三种减小稳态误差措施1) 增大系统的开环放大系数2) 增加积分环节；(3)采用补偿的方法9.用工具软件MATLAB解决控制系统时域性能指标的计算、判控制系统的稳定性，计算控制系统的稳态误差等时域分析问题。