1.2 质点系统的功能原理质点系的内力可以分为保守内力和非保守内力例如，质点系内各质点的万有引力是保守内力；质点间的摩擦力是非保守内力因而，质点系内力的功A内可以写成保守内力的功（用符号A内保表示)和非保守内力的功(用符号 A 表示)之和内非保A 二 A + A (1-8)内 内保 内非保 由系统内保守内力所作的功，数量上等于相应势能增量的负值(或相应势能的减少量)李乃伯， 1994 )A =—(E -E ) (1-9)内保 P2 P1把(1-9)代入上式，得A = —(E -E ) + A (1-10)内 P2 P1 内非保再有在有限的路程上，一切外力和内力作功的代数和，在数量上等于质点系动能的增量用符号A外 表示所有外力作的功的代数和， A 表示所有内力作功的代数和，则：内A + A — E — E (1-11)外 内 K 2 K1把(1-10)代入(1-11)并整理得：A + A —(E +E )-(E +E ) (1-12)外 内非保 K 2 P2 K1 P1在上式中，E和E 表示质点系初、末两状态的动能；E和E表示质点系初、末两状态的势能K1 K2 P1 P2系统内有几种保守力， E 就包含有几种势能。
P 动能和势能是力学意义下的能量通常把系统中所有动能和势能之和称为质点系的机械能，用 符号 E 表示：mE — E +E (1-13)m K P于是，式( 1-12)可表示为：A +A — E —E (1-14)外 内非保 m2 m1式(1-12)和(1-14)表明，质点系中，所有外力和保守内力作功的代数和，在数量上等于质点系机 械能的增量这就是质点系的功能原理功能原理指出，质点系力学的范畴的能量——机械能的增多或减少，取决于系统外物体作功和 系统中非保守力作功的代数和外力作功，系统内机械能和系统外物体的某种能量发生相应的转换； 非保守内力作功，在系统内则产生机械能和非机械能的转换1.3 系统在动惯性系中的功能原理设地面参照系(静参照系)为s，相对于s以恒速U(U《C)运动的动惯性系为s，物体在s , s 两系中的位矢分别r,r；s'系的坐标原点在s系中的位矢为r，贝1」：0r — r + r' d r — d r + d r (1-15)00(dr可称为动惯性系的位移)设物体与地球这一系统内保守力为F内保，非保守内力F内非保并不受外力 在s，s'两系中分别运用有定理得到：在s系中有内保守力和非内保守力做功的下式：J F Ed r + J F Ed r — E — E内保 内非保 k2 k1在s '系中有内保守力和非内保守力做功的下式：J F Ed r +J F Ed r — E' — E'内保 内非保 k2 k1(1-15)式代入(1-16)式并考虑到(1-17)式得到:Ed r — ( E — E ) — ( E' — E')J F Ed r + J F内保 0 内非保 0讨论(1-16)式；若在s系中非保守内力不做功，J F Ed r — 0内非保k2 k1k2k1即由保守内力作的功等于势能的减少，(程守洙、江之永， 1998)即J F Ed r — E — E内保 P1 P2考虑到s，s'两系中系统势能变化相同，(程守洙、江之永，1998)(1-16)(1-17)(1-18)(1-19)E — E 二 E — E （1-20）p1 p2 p1 p2将（1-19）（1-20）两式综合代入（1-17）式得到：J F Cdr +J F Ddr = （E' + E' ）-（E' + E' ） = E'-E （1-21）内保 0 内非保 0 p1 k1 p2 k2 1 2即我们推导得到的动惯性的功能原理，可叙述为：如果系统在静惯性系中仅有保守内力对物体作功， 那么，内力在动惯性系的位移上作的功等于系统在动惯性系中的机械能的减少。
郑理，2002） 显然，如此在静，动惯性系中结合研究，结论简明，应用也就自然简便最主要的是要弄清内 保守力，内力，静惯性中物体的位移dr动惯性的位移dr,动惯性系物体的位移dr力在动惯性系 的位移上作的功等概念1.4 系统在非惯性系中的功能原理如图所示，如果参照系K是以匀加速直线运动的非惯性系,在此参照系上选一点0为坐标原点， 水平向右为X轴正向，使0X轴方向与a的方向一致，在此坐标系中有一质量为m的物体，在外力F 作用下，沿曲线从A运动到B要在此坐标中沿用牛顿运动定律处理运动物体的运动问题，必须假想 物体除受真实力F作用外，还受一个惯性力f的作用：|f| （即f的大小）=ma，其方向与非惯性参照 系加速度a的方向相反,因此在此坐标系里，由m与地球组成的系统，其功能原理就写成JFDds+Jf Dds +J f Dds = E '— E ' = (E' + E' ) — (E' + E' ) (1-22)惯 内非保 B A PB KB PA KA式子中EB'、EA‘为系统在非惯性系中，末初两态的机械能哺、EJ为系统在非惯性系中末初B A PB PA两态的势能，E'、E '为系统在非惯性系中未初两态的动能。
许艳，2002）KB KA2 应用举例例1 一汽车的速度v = 36km/h，驶至一斜率为0.01的斜坡时，关闭油门设车与路面间的摩 0 擦力为车重G的0.05倍，问汽车能冲上斜坡多远？解：取汽车和地球这一系统为研究对象，则系统内只有汽车受到f和N两个外力的作用，斜 阻面与地面的夹角为Q运用系统的功能原理有：—f s = （0+Gssina ） —（士 mv2+0）阻2即 卩 G s = 士 mv2—G ssina2上式说明，汽车在上坡前动能和势能（设为零）的总和大于上坡后动能（为零）和势能的总和，汽 车在上坡中机械能减少了，它所减小的能量等于反抗摩擦力所作的功代入已知数字，解得s = 85m例2.如右图所示，质量为M的斜面装置，可在水平桌面上无摩擦地滑动，斜面倾角为a，斜面受一 水平向右的力F0勺作用，斜面上放一质量为m的木块，与斜面之间的滑动摩擦系数为p，求:木块从 斜面顶点以初速度为V下滑到斜面底部的瞬时速率NAL0B图 2-1(a)图 2-1(b)解:选m和地球为一系统，并选斜面为参考系，因斜面向右以a =F/(m + M)作匀加速运动，所以斜 面参考系为一非惯性系系统受的外力有摩擦力f、支持力N。
重力属保守内力质量为m的木块 共受三个真实力:支持力N、摩擦力f、重力mg和一个虚拟力f惯的作用(如图(b)),因支持力不做功, 重力是保守内力，做功不必考虑，所以系统只有f和f惯做功系统在A 态时的机械能：EA= m vA2/2+ mgh ( vA= vO, h = Lsin a )系统在B态时的机械能：E = m v 2/2 (选B点为势能0点)BB由非惯性系中的功能原理有:Af+ Af惯=E B芯即：-pmgcosa工-mF DOB / (M+ m) = m V2/2- m v2 /2- mgh0 B A式中：0B = Lcosa , v为所求，v二v有：B A 0-pmgcosa 工-mF 工cosa / (M+ m) = m v2/2- m v2 /2- mgLsina 解得：0 B A2F L cos a=.v 2 + 2 gL sin a - 2pL cos a -——o—即为所求.° M + m例3如下图所示，一物体质量为2kg，以速度3.0m/s从斜面A点滑下它与斜面间的摩擦力为 8N,到达B点时，压缩弹簧20厘米至C处，然后再被弹送上去，求弹簧的屈强系数K和物体最后能 回到多高处。
图2-2 (a) 图2-2 (b) 图2-2 (c)解：选择物体m、地球、弹簧三个物体为系统，则此系统受外力有斜面支持力N、摩擦力fp (将 斜面看成是地球的一部份时为非保守内力)，而重力mg和m与弹簧接触时受到的弹性力均为保 守内力物体A的受力情况如图2-2( b)所示因支持力N不做功，保守内力做功不必考虑，只有摩擦 力对系统做功 A = - f DAC ， 选择 C 点为重力势能零点， 系统在 A 态的机械能：f 卩1E =一 mv 2 + mgh (式中 h = AC Esin 0 = 5sin 0 )A 2 A A A1 1 1系统在C态的机械能：E =戸mv2 + kx2 = kx2 (因为v =0)C 2 c 2 2 c系统从A-C的过程中，由功能原理得：11A + A = E — E，即 A = — kx2 - (— mv 2 + mgh ) = 一 f DAC外卜 非内 C A f 2 2 A A 卩代入数据计算得 K=1390Nm-1若再求物体的回弹高度时，系统和中立势能零点的选取仍与前面相同但运动过程可选为由 C点开始弹出至物体能回到的高度h止则在此过程中（见图2-2 （C））hA 二—f □L 二—f □" m m sin UE= kx20 2E= mgh摩擦力 f 做功：C 处的（始态）机械能：机械能：D 处的（终态）对系统在Cf D过程中列出功能关系式为:A = E — E 即:f0—f □ h = mgh - 1 kx 2卩 sin U 2得：i kx2C mg +隹sinU将已知量 x = 0.2m, k = 1390N / m, f = 8N,U = 36.9。
m = 2kg 代入可求得：h = 0.85m3.结语通过本文对功能原理的。