第五章 离散模型离散模型是 将实际问题直接抽象成离散的数、符号或图形，然后以离散数学为主要研究工具来解决的数学模型连续模型进行离散化所得到的数学模型不在此讨论一、过河问题问题 有三名商人各带一名随从要乘一条小船过河，这条船每次最多只能容纳两个人，并且由于某种原因，商人们总是提防着随从们，预感到一旦在任何地方只要随从人数多于商人数，就会对商人构成危害但是由于商人们控制着如何乘船的指挥权，所以商人们就可以制定一个过河方案，以确保商人们的安全试求出这个方案建模设在渡河过程中，此岸的商人个数为 随从个数为以 表示此岸的状态向量，即在 中有一部分对商人是安全的，称为容许状态集合，记为 即有在上图中, 实点即表示为容许状态的集合.乘船的方案称为决策，仍然用向量 来表示，即 名商人和 名随从同坐一条船. 在这些决策中, 有是符合条件的，称为容许决策容许决策的全体组成集合构成容许决策的集合，记为在这个问题中，容许决策的集合为小船从此岸到彼岸的一次航行，会使两岸的状态发生一次变化，此称为状态的转移用表示状态的转移其中 用表示在状态 下的决策。
当 为奇数时，表示从此岸到彼岸，当 为偶数时，表示从彼岸到此岸所以⑴公式⑴称为状态转移公式所以，该问题转变成寻找一系列的决策 使状态 按⑴由初始状态经过有限次的转移达到建立坐标系统，并在坐标平面上建立的刻度单位做网格线，网格线上的每一个交点代表一个状态（用实点表示）黄色曲线弧表示向彼岸渡人，绿色曲线弧表示从彼岸返回容许决策 表现为从一个实点向另一个实点的转移当 为奇数时，容许决策表现的是向下及向左的移动，当 为偶数时容许决策表现的是向上及向右的移解模动整个状态的转移用下面的表格来表示序号状态态决策序号状态态决策172839410511612分析 从上表中可以看到，该方案是可行的二、差分方程本节介绍离散模型中的一种重要类型——差分方程及相应的解法.1.差分方程离散模型的基本形式是: 下一变量为由当前值、先前值及 构成的函数, 即 ⑴方程⑴称为差分方程.例1 某产品当年的产量与前一年的产量关系为: 当年产量在去年产量增加 则相应的差分方程为一类比较简单的差分方程为⑵具体形式为:在差分方程⑴中, 若仅有 的值, 即方程⑴具有形式⑶则方程称为一阶差分方程. 若只有 的值, 则方程称为二阶差分方程. 一般差分方程的阶定义为出现在方程中最高阶与最低阶的差值. 例如一个二阶线性方程为所谓同类线性差分方程指的是方程具有形式⑷而方程则不是同类方程.例2 设在一场战斗中, 交战双方为 军和 军, 军的一个单位一次可摧毁 军的 个单位, 军的一个单位可摧毁 的 个单位. 设经过 次战斗后, 所剩下的人数, 则有此是由两个变量关连的差分方程, 经过转化, 方程可变为由此得到的是一个二阶的差分方程. 对与给定的初始值经过若干次的迭代, 最终能求出应用 拥有10000人的 军和拥有5000人的 展开一场战斗, 军的杀伤力为 军的杀伤力为 用上式预测战斗结果.分析 为使问题简化, 以1000人为一个单位, 即代入上式, 有结果-0.160.611.397.557.657.8686542.213.08458.198.659.25103210当战斗进行到第6次时, 已经没有意义了, 此时 军还有7550人.问题: 如果有俘虏产生, 该问题又该如何?2.矩阵表示由若干个变量构成的线性差分方程, 在很多情况下可通过矩阵西形式表现出来. 例如在上面的两军交战的模型中, 相应的矩阵形式为而相应的进程关系可表达为其中, 矩阵 又称为状态转移矩阵.应用 设有某种生物, 一年后成熟并有繁殖能力. 此种生物在状态 时, 有状态年龄在1岁之前的幼虫总数;年龄在1—2岁之间的壮年虫总数;年龄在2岁以上的老年虫总数;不同年龄段的此种生物的繁殖和死亡率有下表所示:组别组别繁殖率死亡率00.10.30.20.10.3由此得到状态转移矩阵及关系表达式是否进入稳定状态, 看矩阵的最大特征值 若 则总数将无限制增长, 总数将趋于稳定, 总数将逐渐减少. 在Matlab下, 求出特征值, 值为此说明基本进入稳定状态.造成这一现象的主要原因是繁殖率偏低. 事实上, 若将繁殖率改为 则特征值为3.模型应用问题1 定期存款的计算某人在银行存款, 设期初为 之后在每年的年底再存入定额为 的钱. 年息为 若 是存款 年后的总额,则有记 则有此方程为一阶线性差分方程, 其数值解为在Matlab下, 编写如下程序, 运行后得: 15年后存款总额为 元.例如: 某人期初存入2万元, 计划每年年底再存入5000,年利息为 求15年后在银行的存钱总额.如果要让存款达到20万元, 求出年数.存款曲线图示问题2 贷款还款计划问题的提出 当今人们消费, 经常会遇到分期付款消费等现象. 对实际贷款额和银行利率, 该如何制定相应的还款计划.模型分析 设 为 年后所欠的钱数, 为每月偿还的钱数, 为还清所需的年数, 是与欠款有关的年利息率. 则 表示欠款总额, 由条件, 知下一年的欠款钱数为其中: 模型建立 由上式, 得当 时则有, 即由此得应用:设某人贷款20万元, 年利率为 计划15年还清, 求每月应还的钱额. 解 将数据代入上式, 即得 元.还贷曲线图讨论: 当利率改变时, 还贷计划应该做怎么样的调整.例如当利率下降 还款是否也下降 当利率上升而你又不想改变每月支付的金额, 则还款年数将 增加到多少 ?解 在求解公式中, 将年利率改为 得 元, 降幅为 若利率上升 则每月的还款额为涨幅为 若不想增加还款额的话, 则还款期限为18年.进一步的讨论: 是否存在一辈子都还不清的可能?在上面的情况下, 假设贷款者仍然每月还款 元,则当年利率上升到多少, 还款者要永远还下去?在关系式取 则有问题3 生物种群的生长问题某种生物群种的增长情况遵从著名的Logistic方程:其中 是该种第 代的个体总量与该群体所能达到的最大个体容量之比. 为比例系数.注意到该方程是一个一阶的非线性差分方程.在Matlab下, 对初始值 的不同取值, 得到如下的结果:⑴⑵⑶⑷问题4 减肥与饮食问题 一个女子每天摄入2500卡的食物,,其中1200卡用于基本的新陈代谢, 并用每公斤体重16卡为每日锻炼的消耗,其它剩余的转换成脂肪. 设10000卡等效为1公斤脂肪. 在星期六上午, 她的准确体重为57.1526公斤. 在周三她饱餐了一顿, 摄入了3500卡的食物. 试建立一个数学模型求第 天的体重 并用它来作以下预测:⑴到星期六时她的体重⑵为保持体重不变, 每日应摄入的热量;⑶ 周后她可减轻到的最小体重;⑷若她想在8周后减轻到50.802344公斤, 每天摄入量应如何限制.模型分析我们不考虑由于吸入氧气而产生的热量. 由于新陈代谢及锻炼所需的热量为 故每天能转化成脂肪的热量为 因而相应的脂肪增加值为从而第 的体重为 ⑴设周六的体重为 则在下周二的体重为 但当天多摄入了1000卡的热量, 故周三的实际体重为以它为初始值,可计算出周六的体重为⑵设每天的摄入量为常数 则模型为, 欲使体重不变,即有若要维持体重不变, 则 卡.⑶若完全拒绝饮食, 但基本的新陈代谢需要维持及锻炼照常, 因而有从而有关系代入 周所需要的天数, 则可得到那时的体重.⑷使用⑵中的模型, 或改写成另一个形式欲使体重8周后成为 代入上式, 得代入 即可得到每天应摄入的热量数.下表给出了当 时体重在第 周时的情况. 第三列表示希望在第 周时体重为某值的热量摄入量变化值表.周 （卡）549.952501043.1411562030.6116093019.411759409.41833500.451877问题5 数列与黄金分割问题的提出 提出了这样一个问题: 一对小兔子二个月后可以生兔子, 而成熟兔子每月可生一对小兔子. 假如去年12月底养一对小兔子, 问到今年年底共有多少对兔子.13个月份中的兔子的对数如下表所示:12123456112358137891011122133558914423313个月份中的兔子的对数以 表示各月份中兔子的对数, 则有关系 定义 称数列为 为 数列, 若数列有关系:法国数学家奇拉特在 死后400年时证明了从而证明了黄金分割与斐氏数列黄金分割据说是由达芬奇首先提出的. 所谓黄金分割指的是按中外比割的. 即在下图中满足关系记则有即有 解此方程得三、马氏链及其应用1.一个简单的例子我们知道，人寿保险公司最为关心的是投保人的健康与疾病以及相应的风险。
通过下面的例子我们来看保险公司是如何处理这类问题的问题的提出设 表示年龄的时段，假定在一年中，今年健康而明年患病的概率是 而今年患病明年转为健康的概率为 假设一个人在投保时处于健康状态，我们来研究若干年之后他分别处于这两种状态的概率建模用随机变量 表示第 年的状态， 表示健康，表示疾病以 表示第 年状态为 的概率即⑴以 表示今年状态处于 明年状态处于 的概率，即由全概率公式得到：⑵即由假设，⑶再由于投保人处于健康状态，即由此得到若投保人在开始时处于疾病状态，即则有从两张表中可以看到，无论投保人在初始时处于什么状态，当时间趋于无穷大时，该时刻的状态趋于稳定，且与初始值无关即两种状态的转移概率意义 若将众多投保人处于两种状态的比例，视为投保人处于两种状态的概率，例如健康人占3/4，病人占1/4，即 则同样可计算出由上面的分析可以看出，对于给定的状态转移概率， 时的状态概率， 趋向于稳定值，该值与初始值无关，这是马氏链的重要性质把人的死亡看作第三种状态，用 来表示，相应的转移概率如下图表示。
三种状态的转移概率仍以 表示状态为 时的概率， 表示状态转移概率，即有平行于⑴式，有设投保人在期初处于健康状态，则由⑷可计算出若干年后他处于各个状态的概率⑷表中最后一列数据是通过预测得到的从表中的数据又可以看到，无论投保人在期初处于什么状态，当时，总有2.马尔可夫链假设 1.系统是随时间的发展而离散为2.在任何时刻，系统的状态为有限多个在时间 时，系统的状态的 的取值为3.在时刻 时系统处于各状态的概率只与时刻 时系统所处的概率与转移概率有关满足以上三个假设的系统的随机发展过程称为马尔可夫过程或马氏链设在时刻 时系统处于状态 的概率为 行向量称为状态概率向量，由概率的意义，向量应该满足⑸及⑹⑺设在时刻 处于状态 的系统转移到 时刻处于 的概率为 它应该满足 1.2.⑻引如概率转移矩阵由假设3，再由全概率公式得⑼用矩阵的方法来表示的话，⑼可以写成简单地可以写成由此可得系。