概率论第一章习题解答 00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”； (3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？ 解：5个人从第二层开始走出电梯，有5 10种等可能结果，记A 为“5个人在不同楼层 走出”，则A 有510 P 种结果，于是510 5()10 P p A =. 10、n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率？ 解：设甲已坐好，只考虑乙的坐法，则乙有1n -种坐法，记A 为“甲乙两人相邻而坐”，则A 有2种坐法，于是2 ()1 p A n = -. 11、甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是可能的，若甲船的停泊时间为一小时，乙船的停泊时间为两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率？ 解：设x 、y 分别为甲、乙两艘轮船到达码头的时间，则{(,)|0,24}x y x y Ω=≤≤， 其面积2 24S Ω=，记A 为“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”，于是 {(,)|12} A x y y x x y =-≥-≥或，其面积 221 (2322) 2 A S =+，从而 22 2 2322()0.879224A S p A S Ω+===?. 12、在区间(0,1)中随机地取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率？ 解：设x 、y 分别为取出的两个数，则{(,)|0,1}x y x y Ω=≤≤，其面积1S Ω=，记A 为“两数之和小于6/5”，于是6 {(,)|}5A x y x y =+，有任意两数x 、y ，且0,x y a . 证明：由于()()()()()()1()()p AB p A p B p A B p A p B p A p B =+-≥+-=- ()()()() (|)1()()() p AB p A p B p B p B A p A p A p A -= ≥=-. 27、设A 、B 为任意两个事件，且A B ?、()0p B >，证明：()(|)p A p A B ≤. 证明：由A B ?得 ()() (|)()()() p AB p A p A B p A p B p B = =≥. 28、甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.7，已知目标被击中， 求它是甲击中的概率？ 解：记A 为“目标被击中”、1B 为“甲击中目标”、2B 为“乙击中目标”，则 121212()()()()()0.60.70.60.70.88p A p B B p B p B p B B ==+-=+-?= 再由1B A ?可得所求概率为 111()()0.6 (|)0.682()()0.88 p B A p B p B A p A p A = ===. 29、设电路由A 、B 、C 三个元件组成，若元件A 、B 、C 发生故障的概率分别是0.3、 0.2、0.2，各元件独立工作，求下列三种情况下电路发生故障的概率. (1) A 、B 、C 三个元件串连； (2) A 、B 、C 三个元件并联； (3) B 与C 并联后再与A 串联？ 解：记A 、B 、C 分别表示元件A 、B 、C 发生故障. (1) 所求概率为 ()1()1()()()10.70.80.80.552p A B C p ABC p A p B p C =-=-=-??=； (2) 所求概率为 ()()()()0.30.20.20.012p ABC p A p B p C ==??=； (3) 所求概率为 (())()()()()()()()()()p A BC p A p BC p ABC p A p B p C p A p B p C =+-=+- 0.30.20.20.30.20.20.328=+?-??=. 30、若()0.4p A =、()0.7p A B =，在下列情况下求()p B . (1) A 、B 不相容； (2) A 、B 独立； (3) A B ?？ 解：(1) 由于A 、B 不相容，从而()()()p A B p A p B =+，于是 ()()()0.70.40.3p B p A B p A =-=-=； (2) 由于A 、B 独立，从而()()()()()p A B p A p B p A p B =+-，于是 0.70.4()0.4()p B p B =+- ()0.5p B ?=； (3) 由于A B ?，从而A B B =，于是 ()()0.7p B p A B ==. B 组 1、一个书架上有6本数学书和4本物理书，求指定的3本数学书放在一起的概率？ 解：6本数学书和4本物理书在书架上有10!种等可能放法，记A 为“指定的3本数学书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 2、设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任一间去住()n N ≤，求下列事件的概率. (1) 指定的n 间房间里各有一个住； (2) 恰有n 间房各住一人？ 解：将n 个人分配到N 个房间中去住，有n N 种等可能分法. (1) 记A 为“指定的n 间房间里各有一个住”，则A 有!n 种分法，于是!()n n p A N = ； (2) 记B 为“恰有n 间房各住一人”，则B 有!n N C n 种分法，于是! ()n N n C n p B N =. 3、公安人员在某地发现一具尸体，经分析认为凶手还在该地的概率为0.4，乘车外逃的概率为0.5，自首的概率为0.1，现派人追捕，在该地抓到凶手的概率为0.9，若外逃则抓到凶手的概率为0.5，问此次凶手在该地或外逃被抓到的概率是多少？ 解：记1A 为“凶手还在该地”、2A 为“凶手已乘车外逃”、B 为“凶手被抓到”，则 1()0.4p A =、2()0.5p A 。