实验16 连续函数、可微函数与振荡函数数观察实验目的 通过观察图像特征，加深理解一元连续函数连续与可微的区别通过观察函数的振荡现象，学习从无序中寻找、发现规律，利用高等数学中的极限理论对规律的成因进行分析，猜想和验证从而加强学生对理论知识的灵活应用能力，提高学生的分析问题、解决问题的能力培养学生的创新意识和研究习惯预备知识 极限、连续、可微的概念实验内容【项目1】连续函数、可微函数观察选定两个函数，如，在点处连续，而连续可微，观察它们在点附近的图像的区别方法：分别作出函数在包含的一系列区间上的图像，并进行对比Matlab程序】：参见Exm16Demo01.m输出】：见图16-1项目2】 处处连续处处不可微的函数例子---魏尔斯特拉斯函数魏尔斯特拉斯函数是 （1）级数（1）在中一致收敛，所以在上连续，它是无穷多个余弦曲线叠加而成的，记第n+1条曲线为其周期为，振幅为余弦曲线的斜率（按绝对值计算）的最大值出现在它的零点处，我们用这个最大值来刻画它陡峭的程度，故不妨称为的陡度，即得的陡度就是现令 为一整数，且，所以的陡度又比的陡度大（ab）倍，所以构成函数（1）的正弦波就越来越窄，越来越陡，其振幅也越来越小。
图1就b=1/2，a=5画出了级数（1）的三个部分和（程序参见Exm16Demo02.m）短划线是部分和：；虚线是部分和：；实线：图16-2（2）—（5）显示的是a=5,b=0.5，n=100时的部分和函数在点0.7附近的图像观察图像，我们可以想象由无穷多项正弦波叠加而成的函数的图像会成为一条“毛茸茸“的曲线，而有可能是一个不可求导的函数的图像事实上可以从理论上证明它在任一点处均不可微图16-2 函数Sn(x)的图形：a=5；b=0.5；n=100【项目3】 函数在时的性质观察作出函数的图形，考察在x=0附近函数的振荡现象步骤1】 振荡现象观察首先作出函数在区间[-1，1]，[-0.1,0.1]，[-0.01，0.01]，[-0.005，0.005]上的图形见图16-3-1无论区间多么小，在x=0附近总是模糊一片，看不出任何有规律的变化程序】：参见Exm16Demo03.m输出】：见图16-3-1图16-3-1 函数sin(1/x)在x=0附近的图形【步骤2】 寻找振荡中的规律考察离散点列，其中画出这些离散点，见图16-3-2，发现点列有明显的规律，一条条离散的曲线形成网格状图16-3-2 散点列（1/n,sin(n)）图16-3-2中每一条离散曲线是由哪些离散点形成的呢？由于是周期为的函数，先求出自然数n从1到100除以2p之后的余数，再将其由小到大排列，并求出该序列对应的自然数序列，我们猜想，这个序列应该很有规律，试试看。
步骤3】 振荡规律探索为探索图16-3-2所显示规律性，我们来分析的数值变化情况考察自然数在模意义下的余数，编写程序求出是自然数1到200除以的余数按由小到大排列的数列m，以及该数列的序号列i，输出的m=0.0177 0.0354 0.0531 0.0708 0.1504 0.1681 0.1858 ……；i=44 88 132 176 19 63 107 151 195 …… 序列i很有规律，前面四个单增元素是等间隔的，公差为44接下来的五个单增元素也是公差为44的等间隔数，后面的每个单增小节（四个或五个数）的公差均为44因此，我们将以44为步长，作出离散点对i取固定的值，这些离散点应该就是图4中的一条离散曲线取i=0时输出的图形见图16-3-3（1）,作出了一条离散曲线，再分别取i=1, 2, 3, 4, 5，6，7， 又可作出7条离散曲线，见图16-3-3（2）由上述规律类推，当i取遍从500到543的所有自然数时，就可作出图16-3-2中的全部离散曲线，共44条程序】：参见Exm16Demo03_2.m输出】：见图16-3-3（3）输出的图形正好是图16-3-2，与我们的预想一致。
图 16-3-3 探索规律【步骤4】 实验总结 从高等数学中知道函数, 当时的极限不存在，在x=0附近函数是振荡的通过这次实验，不仅直观看见这个振荡现象，同时经过深入探索，发现当x沿着x=1/n,（n为自然数）趋于零时，的分布呈现明显规律进一步实验、分析发现（n=1,2,…，i为一固定自然数）形成一条离散曲线，当i取遍500到543中所有自然数后，（n=1,2,…，）便形成44条离散曲线，正好是的分布图形。