《高等代数》课程教学大纲一．课程教学目的与任务本课程是我院数学系数学教育专业的一门重要基础课程其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等方面的系统知识它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的抽象思维、辑推理及运算能力，开发学生智能，加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）和培养学生创造性能力等起到重要作用二．与各课程的联系本课程是数学专业的后继课程：如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析等的先导课程和基础课程三．教学时数及分配总学时198,其中课堂讲授 151学时,习题课（包括复习课）47学时各学期教学时数安排情况：第二学期：108学时，自第一章至第五章，周学时6第三学期：90学时，自第五章至第九章，周学时5学时分配表如下：章节标 题学时分配讲授实验习题第一章基本概念93第二章多项式289第三章行列式165第四章线性方程组166第五章矩阵124第六章向量空间206第七章线性变换206第八章欧氏空间164第九章二次型144合计：146合计：52四．讲授内容与要求：第一章 基本概念（12学时）一．教学目的和要求：1. 正确理解集合的概念，明确集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系。
2．掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件3．理解和掌握数学归纳法原理，能熟练运用数学归纳法4．理解和掌握整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质5．掌握数环，数域的概念，能够判别一些数集是否为数环、数域，懂得任意数域都包含有理数域二．教学内容：1.1 集合（ 2学时）1.2 映射（ 3学时）1.3 数学归纳法（ 2学时）1.4 整数的一些整除性质（ 3学时）1.5 数环，数域（2学时） 第二章 多项式（37学时）一．教学目的和要求：1．掌握数域上一元多项式的概念、运算以及多项式的和与积的次数2．正确理解多项式的整除概念和性质理解和掌握带余除法3．掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质4．理解不可约多项式的概念，掌握多项式唯一因式分解定理5．理解多项式的导数及重因式的概念，掌握多项式有无重因式的判别方法6．掌握多项式函数及多项式根的概念7．掌握复数域和实数域上多项式因式分解定理8．熟练地掌握有理系数多项式的有理根的求法二．教学内容：2.1 一元多项式的定义和运算（3学时）2.2 多项式的整除性（5学时） 2.3 多项式的最大公因式（6学时）2.4 多项式的分解（6学时）2.5重因式（3学时）2.6 多项式函数 多项式的根 （4学时）2.7 复数域和实数域上多项式（4学时）2.8 有理数域上多项式（6学时）第三章 行列式（21学时）一．教学目的和要求：1．掌握n阶行列式的概念与性质。
2．会运用行列式的性质，通过降阶和三角化的方法，较熟练地计算行列式3．掌握克莱姆法则二．教学内容：3.1 线性方程组和行列式（3学时）3.2 排列（3学时）3.3 n阶行列式的定义和性质（6学时）3.4 子式和代数余子式 行列式依行依列展开 Laplace定理（不证明）（6学时）3.5 克莱姆法则 （3学时）第四章 线性方程组（22学时）一．教学目的和要求：1．理解消元法与矩阵初等变换的关系，能熟练的运用矩阵的初等变换解一般线性方程组2．理解和掌握矩阵的秩的概念，能熟练的用矩阵的初等变换求矩阵的秩3．掌握线性方程组有解的判定定理及其应用4．掌握n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件二．教学主要内容：4.1 消元法（4学时）4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法（8学时）4.3 线性方程组的公式解（5学时）4.4 结式和判别式（5学时）第五章 矩 阵（16学时）一． 教学目的和要求：1．掌握矩阵的加法，数乘、乘法、转置及其运算规律，并能熟练的运用2．掌握逆矩阵的概念、矩阵可逆的判定3．熟悉矩阵乘积的行列式及秩的定理4．掌握初等矩阵的概念、初等矩阵与初等变换的关系以及用初等变换求逆矩阵的理论与方法。
二．教学主要内容：5.1 矩阵的运算（4学时）5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式 （6学时）5.3 矩阵的分块运算（6学时）第六章 向量空间（26学时）一． 教学目的和要求：1．掌握向量空间的概念及其简单的性质，初步了解公理化的思想方法2．理解和掌握向量空间的子空间的概念和判别方法，子空间的交与和的概念3．正确理解和掌握向量空间中向量组的线性相关性的概念和性质4．掌握有限维向量空间的基与维数的概念及其求法，理解基在向量空间理论中所起到的重要作用5．掌握向量空间中向量坐标的概念及其意义，基变换及坐标变换公式，过度矩阵的概念及其性质6．理解向量空间同构的概念、性质及其重要意义，掌握有限维向量空间同构的充要条件7．进一步加深对线性方程组有解判别定理、矩阵秩的概念的理解，掌握齐次线性方程组的基础解系概念、求法以及一般线性方程组解的结构二．教学主要内容： 6.1 定义和例子（3学时） 6.2 子空间（3学时） 6.3 向量的线性相关性（4学时） 6.4 基和维数（4学时） 6.5 坐标（4学时）6.6 向量空间的同构（4学时） 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程的解空间（4学时） 第七章 线性变换（26学时）一．教学目的和要求：1．理解线性变换的概念，掌握它的运算及其简单性质。
2．掌握矩阵的相似、特征根、特征向量等基本概念，掌握特征根、特征向量的求法和矩阵对角化的条件及其化法二．教学主要内容：7.1 线性映射（4学时）7.2 线性变换的运算（4学时）7.3 线性变换和矩阵（4学时）7.4 不变子空间（4学时）7.5 本征根和本征向量 （5学时）7.6 可对角化的矩阵（5学时）第八章 欧氏空间（20学时） 一．教学目的和要求：1．理解内积、欧氏空间、向量的长度、两个向量的夹角、距离等概念2．掌握标准正交基的概念及求法，理解标准正交基的作用3．理解欧氏空间同构的概念及欧氏空间同构的充要条件4．理解和掌握正交变换与正交矩阵的概念、性质及其关系5．理解和掌握对称变换的概念及其与实对称矩阵的关系二．教学主要内容：8.1 向量的内积（3学时）8.2 正交基（4学时）8.3 正交变换性（4学时）8.4 对称变换与对称矩阵（4学时）8.5 酉空间（2学时）8.6 酉变换和对称变换（3学时）第九章 二次型（18学时）一．教学目的和要求：1．掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵的一一对应关系2．掌握矩阵的合同概念及其性质3．了解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的方法。
4．理解复数域和实数域上二次型的标准形的唯一性5．掌握正定二次型的概念和判别法二．教学主要内容：9.1 二次型和对称矩阵（4学时）9.2 复数域和实数域上二次型（4学时）9.3 正定二次型（4学时）9.4 主轴问题 （3学时）9.5 双线性函数 (3学时)7《高等代数》课程考试大纲一．课程任务：学习集合、映射的基本知识、多项式理论、行列式、线性方程组理论、矩阵理论、向量空间，线性变换，欧氏空间、二次型等知识及其应用除多项式理论外其余内容为线性代数内容它们相互联系、自成体系、缺一不可通过考试的手段不仅要考查学生对基本概念及性质、计算方法的掌握、理解的是否准确、全面、熟悉，而且要考查学生运用这些知识处理具体问题的综合、创造、归纳、概括等能力，以检查是否达到教学要求，完成了教学大纲所提出的目标、任务二．教材与参考书目： 1．教材：《高等代数》张禾瑞 郝炳新编，第四版， 高等教育出版社，1999年5月2．参考书目1）《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，第二版，高等教育出版社，1995年2月2）《高等代数》丘维声编，第二版，高等教育出版社，2002年7月3）《Linear Algebra》彭国华 李德琅编，高等教育出版社，2006年5月。
4）《高等代数解题方法与技巧》李师正主编，高等教育出版社，2004年2月三． 课程考核方法与命题要求：本课程考核以笔试为主，一般采用闭卷形式，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力计算能力以及综合应用能力平时成绩占30%，期末成绩占70%考试大纲根据教学目标，划分标准为 “识记、领会、简单应用、综合应用”四级，其中识记占20%，领会占30%，简单应用占40%，综合应用占10％，考试的试题应按照这四个层次，按比例命题本课程考试题型分为客观题和主观题两部分，其中客观题目有选择题（判断题）、填空题，主观题有解答题（计算题）、证明题等第二学期考核第一至第五章部分；第三学期考核第六至第九章部分）四．课程内容与考核要求：第一章 基本概念1．知识范围：本章主要介绍集合，映射，数学归纳法，整数的一些整除性质，数环和数域的基本知识2．考核要求：深入理解集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系，掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件，理解和掌握数学归纳法原理，整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质能够判别一些数集是否为数环、数域。
3．考核知识点：映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射，映射可逆的充要条件，数学归纳法原理，整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质，数环、数域的概念第二章 多项式1．知识范围：本章主要讨论了多项式的整除性，最大公因，因式分解及在常见数域（有理数域、实数域、复数域）上多项式的约性，多项式根的一些性质，属多项式代数的基本知识，是对中学所学知识的加深和推广2．考核要求：深入理解多项式的概念及性质，掌握几类特殊的多项式 ，一元多项式，多项式函数，有理系数多项式等，熟练掌握多项式的因式分解法以及整除、互素的判定方法，会求多项式的最大公因式3．考核知识点：一元多项式，多项式的相等，整除，带余除法理论，因式分解，互素，最大公因式，有理系数多项式，最大公因式，多项式函数的根与因式分解理论，重因式，是否有重根的判定，综合除法，实数域复数域上的多项式可约性，重因式，重根，单因式多项式有理根的确定，是否有有理根的判定第三章 行列式1．知识范围：本章主要从二、三阶行列式的特点出发引出n阶行列式的定义，并介绍了计算n阶行列式的两类方法，一类是利用行列式的性质简化行列式的计算，另一类是采用降阶法(依行(列)展开及其推广形式拉普拉斯定理)简化行列式的计算，最后介绍了行列式的克莱姆法则，利用行列式来求一类方程组的解。
2．考核要求：深入理解行列式的定义、性质及计算，熟练掌握克兰姆法则, 拉普拉斯定理3．考核知识点： 。