微波技术基础微波技术基础 地点：清水河校区科研楼地点：清水河校区科研楼C305 ：：61831024 电邮：电邮：mzzhan@ 本课内容本课内容l模式 波型——正规模（定义）l正规模的特性l对称性对称性l正交性正交性l完备性完备性l不均匀性引起的模式耦合（边界条件的改变）l奇偶禁戒规则奇偶禁戒规则（模式能否被激励的准则）（模式能否被激励的准则）作为联系习题加以证明作为联系习题加以证明 2.6 波导正规模的特性波导正规模的特性l模式：模式即波型模式：模式即波型l导波系统中，能够导波系统中，能够独立存在独立存在的一种的一种导波场导波场分布分布l不同模式不同模式之间彼此之间彼此相互独立相互独立，，可以单独存在可以单独存在，也可，也可同时同时并存并存l——满足麦克斯韦方程和边界条件的任何一个满足麦克斯韦方程和边界条件的任何一个独立特解独立特解都可以称为是一种都可以称为是一种模式l同轴线：同轴线：TEM，，TEmn，，TMmn ，都是，都是模式模式l矩形波导：矩形波导： TEmn，，TMmn l某些导波系统中（部分介质填充的金属波导）：某些导波系统中（部分介质填充的金属波导）：EHmn ，，HEmn 2.6 波导正规模的特性波导正规模的特性l正规模：所有模式的集合总称。
正规模：所有模式的集合总称l以金属波导为例：以金属波导为例：l金属波导的正规模包括金属波导的正规模包括无穷多无穷多个个结构不同结构不同的的TETEmnmn和和TMTMmnmn模式l正规模的重要特性：正规模的重要特性：l对称性、正交性、完备性对称性、正交性、完备性 Ø对称性对称性 ：正规模的正规模的电场电场和和磁场磁场对对时间时间具有具有对称对称和和反对称性反对称性1.1.正规模的正规模的电场电场和和磁场磁场波函数对时间波函数对时间t分别为分别为对称函数对称函数和和反对称函数反对称函数，即有：，即有： 或或2.2.正规模的电场和磁场的波函数关于正规模的电场和磁场的波函数关于纵坐标纵坐标z z的对称性的对称性横向电场横向电场E Et t与纵向磁场与纵向磁场H Hz z是坐标是坐标z z的对称函数；的对称函数；横向磁场横向磁场H Ht t与纵向电场与纵向电场E Ez z是坐标是坐标z z的反对称函数，即有的反对称函数，即有2.6 2.6 波导正规模的特性波导正规模的特性下标下标1为＋为＋t 的场，的场，下标下标2为－为－t 的场，的场， 如果时间如果时间t t和传播方向（即坐标和传播方向（即坐标z z）同时变换符号，则电）同时变换符号，则电场和磁场应同时满足以上几式，对称性则变成：场和磁场应同时满足以上几式，对称性则变成：2.6 2.6 波导正规模的特性波导正规模的特性下标下标1为＋为＋z方向方向 的场，的场，下标下标2为－为－z方向方向 的场，的场，下标下标m为模式指数，为模式指数，m＝＝{m, n}实数实数虚数虚数 结论：结论：正规模的电场和磁场的横向分量正规模的电场和磁场的横向分量或或纵向分量相互纵向分量相互同相，而横向分量同相，而横向分量与与纵向分量成纵向分量成90°90°相位差（相位差（系数系数j j）。
对于正规模，对于正规模， 是传输能量是传输能量对于截止模，对于截止模，不存在变换不存在变换z z的符号问题的符号问题，只有时间对称，只有时间对称关系：关系： 可见可见EmEm是实数，而是实数，而H Hm m是虚数，两者相位差是虚数，两者相位差90°90°体现能量的量的交替交替转换，故对于截止模或消失模，转换，故对于截止模或消失模， 不是不是传输能量，而是虚功，是传输能量，而是虚功，是储能储能2.6 2.6 波导正规模的特性波导正规模的特性 研究对称性的用途研究对称性的用途l缘由：麦克方程自身的对称特性和规则波导本身的对称性l波导激励、不连续性等问题会用到l思考：用对称性再次证明第一章的1.1习题 2.6 波导正规模的特性波导正规模的特性l正交性正交性l一般而言，波方程都具有一定正交性一般而言，波方程都具有一定正交性l当把场的一般解表示成模式的叠加时，当把场的一般解表示成模式的叠加时，尤其实在考虑功率问题时，模式的正尤其实在考虑功率问题时，模式的正交性尤为重要交性尤为重要 Ø正交性正交性 两个模式之间有能量交换称为两个模式之间有能量交换称为““耦合耦合””，没有能，没有能量交换为量交换为““无耦合无耦合””或或““正交正交””。
一般而言，若以一般而言，若以i i和和j j代表两个特定的模式，则波代表两个特定的模式，则波导正规模的正交性可以表示成如下五种形式导正规模的正交性可以表示成如下五种形式: :(1)(1)纵场正交纵场正交本征函数具本征函数具有正交特性有正交特性本征函数表征波导的正规模本征函数表征波导的正规模也就具有正交特性也就具有正交特性2.6 2.6 波导正规模的特性波导正规模的特性在波导截面在波导截面S上上积分积分 (2)(2)横场正交横场正交(3)(3)模式间正交，其实也属于横场正交模式间正交，其实也属于横场正交(4)(4)功率正交功率正交1 12.6 2.6 波导正规模的特性波导正规模的特性在波导截面在波导截面S上积分上积分在波导截面在波导截面S上积分上积分在波导截面在波导截面S上积分上积分 l（6）横纵场正交l不同模式的横纵场也正交l多种模式能够并存的依据2 (5)(5)模式函数正交性模式函数正交性功率正交性推广为功率正交性推广为 （归一化）（归一化）2.6 2.6 波导正规模的特性波导正规模的特性本证方程的本振函数具有正交性，本证方程的本振函数具有正交性， 任何本征值不同的本征函数的乘积在波导任何本征值不同的本征函数的乘积在波导横截面积分为零横截面积分为零——数学基础。
数学基础不同模式的电场和磁场不能产生功率、模式的独立不同模式的电场和磁场不能产生功率、模式的独立性，无相互作用性，无相互作用——同时还提供了可以多模共存的同时还提供了可以多模共存的依据依据 证明功率正交性证明功率正交性abcd有两个不同模式有两个不同模式i和和j用 点乘点乘 a 减减 点乘点乘b得到，得到，用用 点乘点乘 c 减减 点乘点乘d得到，得到， l两个星式相加得到l现考虑两种波，ij均为正向波，得到 lij为一正向波和一反向波，得到加和减加和减之后之后功率正交性得证功率正交性得证其他正交性请根据麦克斯韦方程组和格林恒等式，散度定理其他正交性请根据麦克斯韦方程组和格林恒等式，散度定理等加以证明，增加理解等加以证明，增加理解 思考题：简并模是否具有功率正交性？矩形波导的矩形波导的TETE1111和和TMTM1111具有功率正交性，但具有功率正交性，但m m，，n n增加时，可能不正交增加时，可能不正交 Ø完备性完备性如前所述，波导正规模是本征函数的乘积，而如前所述，波导正规模是本征函数的乘积，而本征函数系是完备的，所以正规模必然是完备的。
本征函数系是完备的，所以正规模必然是完备的波导中的任意电磁场都可以用正规模叠加来代表，波导中的任意电磁场都可以用正规模叠加来代表，即用正规模的展开式来表示即用正规模的展开式来表示 波导波导中的任意电磁场的横向场可以表示为（沿正中的任意电磁场的横向场可以表示为（沿正z z方向传方向传播情况）：播情况）：系数和可用正交关系像确定傅立叶级数的系数那样来确定系数和可用正交关系像确定傅立叶级数的系数那样来确定 和和 可以属于可以属于TETE模或模或TMTM模 令令 2.6 2.6 波导正规模的特性波导正规模的特性 则上式还可写为则上式还可写为式中式中 和和 称为第称为第i模式的模式电压和模式电流模式的模式电压和模式电流当波导中传输任意场时，所传输的总功率为当波导中传输任意场时，所传输的总功率为2.6 2.6 波导正规模的特性波导正规模的特性 结果表明，结果表明，波导中传输任意场时的总功率等于每个正规波导中传输任意场时的总功率等于每个正规模所携带功率之总和模所携带功率之总和，而各模式之间没有能量耦合而各模式之间没有能量耦合正如前面所讨论的色散导波系统，如矩形波导或圆波导，正如前面所讨论的色散导波系统，如矩形波导或圆波导，其其TETE和和TMTM模的场解为：模的场解为：而场解的分量可能存在的完备形式为：而场解的分量可能存在的完备形式为：2.6 2.6 波导正规模的特性波导正规模的特性 2.6 2.6 波导正规模的特性波导正规模的特性 完备性的证明完备性的证明一般表示一般表示用用F表示场表示场定义误差函数定义误差函数做变换求系数表达式做变换求系数表达式 2.7不均匀性引起模式耦合l正交性正交性 → →只存在于均直无耗传输系统中只存在于均直无耗传输系统中 l不均匀性不均匀性 → →引起模式之间的能量耦合引起模式之间的能量耦合 。
不均匀性 →z方向上横截面发生变化→截面边界条件的改变，或者局部引入介质等 矩形波导为例 ，其交叉功率 或或 ，有，有 I ＝＝ 0→三角函数的正交性三角函数的正交性在三角函数在积分区间取波导截面的整个区域在三角函数在积分区间取波导截面的整个区域和和 时才成立时才成立→均匀波导均匀波导 →正交性正交性 不均匀性，假设不均匀性，假设宽边两侧种插入宽边两侧种插入一片金属薄片，一片金属薄片，在不均匀区在不均匀区 即即a→a‘a‘2.7不均匀性引起模式耦合 因为交叉功率的积分I中对的积分区域由a变为a’，这样，即使模式标号m1≠m2的两个不同模式，I中对X的积分也不一定等于零了，因此，m1≠m2，n1≠n2的不同模式之间就不一定正交→由于金属片的插入，使得模式标号m不同的模式之间可能发生能量的交换→原来边界条件下的正交本征函数对于新的边界条件不再正交了，因此就出现了模式之间的耦合 在均匀区，导波系统如果传输的是单一主模，到达不均匀区将激励起一些高次模 2.7不均匀性引起模式耦合 模式之间的耦合意味着能量的转移，这在微波技术中是模式之间的耦合意味着能量的转移，这在微波技术中是一个重要的问题一个重要的问题，在不均匀区将激励起并能传播的场模，在不均匀区将激励起并能传播的场模式取决于：式取决于：①①传播条件传播条件：：λλ< <λλc c；；②②激励条件激励条件：奇偶禁戒规则。
奇偶禁戒规则传输系统中第传输系统中第i i和第和第j j模式之间的交叉功率为：模式之间的交叉功率为： 2.8 奇偶禁戒规则奇偶禁戒规则 根据本节前面给出的模式正交定理根据本节前面给出的模式正交定理: :引入归一化横向场引入归一化横向场 ，满足，满足 2.8 奇偶禁戒规则奇偶禁戒规则 有了正交归一化条件，再根据模式的完备性，就可以将有了正交归一化条件，再根据模式的完备性，就可以将传输系统中的任何场传输系统中的任何场F F在在S S面上展开为正交模式，即面上展开为正交模式，即将上式两边各乘将上式两边各乘 ，在，在S S内积分内积分 2.8 奇偶禁戒规则奇偶禁戒规则 所关心的是，在什么条件下所关心的是，在什么条件下 呢？呢？根据场的对称性质，对于某一对称面，可以把场按其空根据场的对称性质，对于某一对称面，可以把场按其空间对称性质坋对称（偶）场和反称（奇）场两类间对称性质坋对称（偶）场和反称（奇）场两类如果如果 与与 对于某一个对称面具有相反的对于某一个对称面具有相反的对称性（一个为奇，另一个为偶），则必有对称性（一个为奇，另一个为偶），则必有 现在来解释其物理意义，并且给出奇偶禁戒规则：现在来解释其物理意义，并且给出奇偶禁戒规则：1.1.设为设为F F外来的激励场，目的是在传输系统中建立起某些所外来的激励场，目的是在传输系统中建立起某些所需要的模式，这称为传输系统的需要的模式，这称为传输系统的““激励激励””。
2.8 奇偶禁戒规则奇偶禁戒规则 2.2.激励场可以展开为各正交模式场的叠加，激励场可以展开为各正交模式场的叠加， 的系数的系数 代表这个模式的相对大小如果代表这个模式的相对大小如果 ，则表示在这种激，则表示在这种激励条件下，模式不存在，或者叫做被励条件下，模式不存在，或者叫做被““禁戒禁戒””结论：如果激励场与被激励的模式的场具有结论：如果激励场与被激励的模式的场具有相反相反的对称的对称性质（一个为奇，另一个为偶），则此模式被禁戒，这性质（一个为奇，另一个为偶），则此模式被禁戒，这就是奇偶禁戒规则就是奇偶禁戒规则 Ø一般的奇偶禁戒规则可以归结为两句话：一般的奇偶禁戒规则可以归结为两句话：对称（偶）激励不可能激起反称（奇）模式；对称（偶）激励不可能激起反称（奇）模式；反称（奇）激励不可能激起对称（偶）模式反称（奇）激励不可能激起对称（偶）模式2.8 奇偶禁戒规则奇偶禁戒规则 Ø在具体应用这个规则时，还必须注意以下几点：在具体应用这个规则时，还必须注意以下几点：1 1、场的对称相对于某一个确定的对称面而言，这个对称、场的对称相对于某一个确定的对称面而言，这个对称面必须是面必须是边界条件的几何对称面边界条件的几何对称面。
2 2、激励场与被激励场的对称性质，、激励场与被激励场的对称性质，可以都用电场来判断，可以都用电场来判断，也可以都用磁场来判断也可以都用磁场来判断；可以证明，这两种分析的结果都；可以证明，这两种分析的结果都是一样的，因此任选取某种场进行分析就够了是一样的，因此任选取某种场进行分析就够了3 3、只要找到任何一个对称面，满足奇偶禁戒规则，就可、只要找到任何一个对称面，满足奇偶禁戒规则，就可以断定相应的模式是被禁戒的以断定相应的模式是被禁戒的2.8 奇偶禁戒规则奇偶禁戒规则 。