第六章 根轨迹法 61 根轨迹的概念 62 绘制根轨迹的规则 63 广义根轨迹 64 系统性能分析 大量资料 天天更新 根轨迹法是一种图解方法，它是古典控制理论中对系统进行分析和综合的基本方法之一由于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根（即系统的闭环极点）在S平面上的分布，因此，用根轨迹法分析控制系统十分方便，特别是对于高阶系统和多回路系统，应用根轨迹法比用其他方法更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用 本章主要介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的基本规则和用根轨迹法分析自动控制系统的方法 大量资料 天天更新 61 根轨迹的概念 一根轨迹图 根轨迹图是开环系统某一参数由零变化到无穷时，闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在S平面上的变化轨迹例6-1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 试分析该系统的特征方程的根随系统参数 的变化在S平面上的分布情况 大量资料 天天更新 解 系统的闭环传递函数系统的特征方程为特征方程的根是设 0, ，当 时, ;当 时， 与 为不相等的两个负实根；当 时， 为等实根； 大量资料 天天更新 当 时， 为一对共轭复根，其实部都等于-1，虚部随 值的增加而增加； 当 时， 、 的实部都等于-1，是常数，虚部趋向无穷远处 。
该系统特征方程的根随开环系统参数从零变到无穷时在S平面上变化的轨迹如图6-1所示 大量资料 天天更新图6-1 例6-1的根轨迹 大量资料 天天更新 当系统参数 为某一确定的值时，闭环系统特征方程的根在S平面上变化的位置便可确定，由此可进一步分析系统的性能 值的变化对闭环系统特征方程的影响可在根轨迹上直观地看到，因此系统参数对系统性能的影响也一目了然所以用根轨迹图来分析自动控制系统是十分方便的上例中，根轨迹图是用解析法作出的，这对于二阶系统并非难事，但对于高阶系统，求解特征方程的根就比较困难了 如果要研究系统参数的变化对闭环系统特征方程根的影响，需要大量反复的计算 1948年伊万斯（WREVANS）提出了根轨迹法该方法不需要求解闭环系统的特征方程，只需依据开环传递函数便可会绘制系统的根轨迹图 大量资料 天天更新 二、开环零、极点与闭环零、极点之间的关系 通常系统的开环零、极点是已知的，因此建立开环零、极点与闭环零、极点之间的关系，有助于闭环系统根轨迹的绘制，并由此引导出根轨迹方程设控制系统如图6-2所示，闭环传递函数为 (6-1) - 图6-2 控制系统 大量资料 天天更新 前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数H(s)可分别表示 （6-2） （6-3） 式中 为前向通路增益， 为前向通路根轨迹增益； 为反馈通路增益， 为反馈通路根轨迹增益。
大量资料 天天更新系统的开环传递函数为 (6-4) 为系统的开环增益， 为开环系统的根轨迹增益； m=f+L 为开环系统的零点数， 为开环系统的极点数 将式（6-2）和（6-4）代入（6-1）可得 （6-5） 大量资料 天天更新 比较式（6-4）和式（6-5），可得以下结论： 闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益 ；对于单位反馈系统，闭环系统根迹增益就等于开环系统根轨迹增益 闭环零点由开环前向通路传递函数零点和反馈通路传递函数极点所组成；对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点 闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益 均有关 大量资料 天天更新 根轨迹法的基本任务：由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点, 一旦闭环极点被确定，闭环传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点可由式（6-5）直接得到在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏反变换的方法求出，或利用计算机直接求解 大量资料 天天更新 三、根轨迹增益 与开环系统增益K的关系 系统的开环增益（或开环放大倍数）为 （6-6） 式中 是开环传递函数中含积分环节的个数，由它来确定该系统是零型系统（ ）,型系统（ ）或型系统（ ）等。
将（6-4）代入（6-6）可得 大量资料 天天更新 开环系统的根轨迹增益 与开环系统的增益K之间仅相差一个比例常数，这个比例常数只与开环传递函数中的零点和极点有关 由式（6-4）可知，根轨迹增益（或根轨迹放大系数）是系统的开环传递函数的分子分母的最高阶次项的系数为1的比例因子在例6-1中系统的开环传递函数为 其开环增益为 对于该系统，根轨迹增益 与开环增益K之间的是 ，它们之间仅相差一个比例常数2 大量资料 天天更新 四、根轨迹与系统性能 以图6-1为例进行说明 稳定性 如果系统特征方程的根都位于S平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的若根轨迹穿越虚轴进入右半S平面，根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界稳定的开环增益Kc 稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属型系统，因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围 动态性能 当 时，所有闭环极点均位于实轴上，系统为过阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程当 时，特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程当 时，特征方程为一对共轭复根，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随 值的增加而加大，但调节时间不会有显著变化。
大量资料 天天更新62 绘制根轨迹的规则 一、绘制根轨迹的依据 根轨法的基本任务在于，由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点 由零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在S平面上运动的轨迹因此，系统的特征方程便是绘制根轨迹的依据系统的特征方程为 大量资料 天天更新 当系统有m个开环零点和n个开环极点时，特征方程可写成 式中， 为已知的开环零点， 为已知的开环极点， 为可从零变到无穷的开环根轨迹增益我们把上式称为根轨迹方程，由根轨迹方程，可以画出当 由零变到无穷时系统的根轨迹 在绘制根轨迹时，参数不限定是根轨迹增益 ，可为系统的其它参数（如时间常数、反馈系数等）这时只要把系统的特征方程化为上式，将感兴趣的参数取代根轨迹增益 的位置就可以绘制根轨迹 大量资料 天天更新根轨迹方程实际上是一个向量方程，用模和相角的形式表示就是 可得到满足系统特征方程的幅值条件和相值条件为幅值条件：相值条件： 大量资料 天天更新 设系统的开环传递函数为 满足幅值条件的表达式为 满足相角条件的表达式为 大量资料 天天更新 综上分析，可以得到如下结论： 绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益 值的大小无关。
即在S平面上，所有满足相角条件的点的集合的构成系统的根轨迹图即相角条件是绘制根轨迹的主要依据 绘制根轨迹的幅值条件与系统开环根轨迹增益 值的大小有关即 值的变化会改变系统的闭环极点在S平面上的位置 在系统参数确定的情况下，凡能满足相角条件和幅值条件的S值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点 由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传递函数有关，因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图 大量资料 天天更新二、绘制根轨迹的基本规则 通常，我们把以开环根轨迹增益 为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根轨迹）绘制普通根轨迹的基本规则如下 大量资料 天天更新 规则一 根轨迹的起点和终点 幅值条件可写成 当 ，必须有 此时，系统的闭环极点与开环极点相同(重合)，我们把开环极点称为根轨迹的起点，它对应于开环根轨迹增益 当 时，必须有 ，此时，系统的闭环极点与开环零点相同(重合)，我们把开环零点称为根轨迹的终点，它对应于开环根轨迹增益 大量资料 天天更新下面分三种情况讨沦 1当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值 2当mn时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。
这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中 大量资料 天天更新结论：根轨迹起始于开环极点 ，终止于开环零点（ 或 )；如果开环极点数n大于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于S平面的无穷远处(无限极点) 大量资料 天天更新 规则二 根轨迹的分支数、连续性和对称性 根轨迹的分支数即根轨迹的条数既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在S平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数 由例4-1看出，系统开环根轨迹增益 (实变量）与复变量S有一一对应的关系，当 由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量S在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是n条连续的曲线 由于实际的物理系统的参数都是实数，如果特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的 结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数根轨迹是连续且对称于实轴的曲线 大量资料 天天更新例4-3 设系统的开环传递函数为 其中 、 、 、 、 为实极点和实零点， 为共轭复数零、极点，它们在S平面上的分布如图4-4所示，试分析实轴上的根轨迹与开环零点和极点的关系。
实轴上的根轨迹必须满足绘制根轨迹的相角条件，即规则三 实轴上的根轨迹 若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹 大量资料 天天更新图6-4 实轴上的根轨迹P1P2P3P5P4z1z2S0z4z30131424323 为确定实轴上的根轨迹，选择s0作为试验点图6-4中，开环极点到s0点的向量的相角为开环零点到s0点的向量的相角为 确定实轴上的某点是否在根轨迹上时，可以不考虑复数开环零、极点对相角的影响 实轴上，s0点左侧的开环极点P3和开环零点z2构成的向量的夹角均为零度，而s0点右侧的开环极点P1 、P2和开环零点z1构成的向量的夹角均为 若s0为根轨迹上的点，必满足相角条件， 由以上分析知，只有s0点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之和为奇数时，才满足相角条件 大量资料 天天更新 规则四 渐近线 当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，浙近线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角 分别为 大量资料 天天更新 在例6-1中，开环传递函数为 开环极点数n=2,开环零点数m=0,n-m=2,两条渐近线在实轴上的交点位置为 它们与实轴正方向的交角分别为 和 ，两条渐近线正好与 时的根轨迹重合。
大量资料 天天更新 例6-2 已知系统的开环传递函数为 试画出该系统根轨迹的渐近线解 对于该系统有n=4，m=1，n-m=3；三条渐近线与实轴交点位置为 它们与实轴正方向的交角分别是渐近线如图6-3所示 大量资料 天天更新图6-3 根轨迹的渐近线 大量资料 天天更新 规则五 根轨迹的分离点 分析例6-1，当系统开环增益 由零到无穷大变化时，两条根轨迹先是在实轴上相向运动( ),然后它们相遇在 点 ，当 后，它们便离开实轴进入S平面，且离开实轴时，根轨迹与实轴正交我们称该点为根轨迹的分离点实际上, 点是例6-1系统特征方程的等实根，它对应的系统开环根轨迹增益 一般，常见的根轨迹分离点是位于实轴上两条根轨迹分支的分离点如例6-1中的 点若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间（其中一个可以是无限极点），则在这两个极点之间至少存在一个分离点；若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可以是无限零点），则在这两个零点之间也至少有一个分离点如图6-5上的分离点 和 但在有些情况下，根轨迹的分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上，如图6-6中的分离点A和B显然，复平面上的分离点表明系统特征方程的根中至少有两对相等的。