第二章 矩阵及其计算 其次章 矩阵及其计算1． 教学目的和要求：〔1〕理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称矩阵、三角矩阵、反对称矩阵，以及它们的性质.〔2〕驾驭矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂并驾驭方阵的行列式及其性质.〔3〕理解逆矩阵的概念，驾驭逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件. 理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵. 2． 教学重点：〔1〕矩阵的定义及运算. 〔2〕逆矩阵的概念及相关计算. 3．教学难点：矩阵及逆矩阵的计算.4．教学内容：矩阵是线性代数中重要的工具, 我们先从线性方程组引出矩阵.§1 矩阵 确定n元线性方程组?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2????????an1x1?an2x2???annxn?bn (1) 的系数及常数项可以排成m行，n+1列的有序矩阵数表：a11a21?am1a12a22?am2?a1n?a2n???amn说明：这个有序矩阵数表完全确定了线性方程组〔1〕，对它的探究可以判定〔1〕的解的状况 定义1 由m?n个数b1b2?bmaij(i=1,2,?,m;j=1,2,?n)a12?排成的m行n列的数表a1n??a22?a2n???aij?m?n??aij??????am2?amn??aA称为m行n列矩阵，简称m?n矩阵m?n，其中ij叫做矩阵A的元素.依据矩阵中的元素是实数还是复数，可将矩阵分为实矩阵与复矩阵. 下面给出一些特别矩阵：?a11??a21A?????a?m11． 行矩阵 m=1A=(a1,a2,...,an)1×n?a1????a2?A???????a??m?m?1 2． 列矩阵 n=13． 零矩阵 4． 方阵A??0?m?n?0 (不同型的零矩阵是不同的 ).m?nA?aijn?n，??，称为n阶方阵。
10?0???01?0??En??????????00?1???m?n称为n阶单位矩阵 5． 单位矩阵应用举例：例1 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵?a11?A??a21?a?31aa12a22a32a13a23a33a14??a24?a34??其中ij为工厂向第i店发送第j种产品的数量这四种产品的单价及单件重量也可以写成矩阵?b11b12???bb??B??2122?b31b32???b?b?? 4142其中bi1为第i种产品的单价，bi2第i种产品的单件重量 §2 矩阵的运算 一、矩阵的加法 设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n.称A,B为同型矩阵〔行列数均相等〕1． 相等 2． 加法A?B??aij?bij?m?nA=B?aij=bij?i?1,2,?,m;j?1,2,?,n? A?B?(aij?bij)m?n3. 减法A?B??aij?bij?m?nA?B?(aij?bij)m?n?a11?b11?a1n?b1n??????????am1?bm1?amn?bmn?? ?a11?b11?a1n?b1n??????????am1?bm1?amn?bmn?? 加法运算律 〔1〕A?B?B?A; 〔2〕?A?B??C?A??B?C?例2 求矩阵X，使X?A?B，其中2?1??3?20??1????A??112?B??13?4??23?1???2?11??? ，??2?1??3?20???24?1??1??????X?B?A??13?4???112???02?6???2?11??23?1???4?42???????. 解 二、数与矩阵的乘法kA=(kaij)m×n,k为常数kA?(kaij)m?n1. 数乘 2. 负矩阵?ka11?ka1n??????????kam1?kamn?? ?A?(?1)A?(?aij)m?n运算律 〔1〕(??)A=?(?A)；〔2〕?????A??A??A； ) 〔3〕??A?B???A??B (?,?为常数[注] 矩阵的加法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线性运算. 例3 设从某地四个地区到另外三个地区的距离〔单位km〕为：?4060105????175130190?B??12070135????8055101???确定货物每吨的运费为1.40元/km. 那么，各地区之间每吨货物的运费可记为 ?1.4?40??1.4?1751.4?B??1.4?120??1.4?80? 三、矩阵的乘法1．线性变换与线性变换的乘积 设有两个线性变换1.4?601.4?1301.4?701.4?551.4?105??56??1.4?190??245???1.4?135168???1.4?101???1128418210177147??266?189??140???y1?a11x1?a12x2?a13x3??y2?a21x1?a22x2?a23x3(2)?a11A???a?21 其系数矩阵a12a22a13??a23???x1?b11t1?b12t2??x2?b21t1?b22t2?x?bt?bt311322?3(3) 其系数矩阵?b11?B??b21?b?31b12??b22?b32??将(3)代入(2)，可得从t1,t2到y1,y2的线性变换：?y1??a11b11?a12b21?a13b31?t1??a11b12?a12b22?a13b32?t2??y2??a21b11?a22b21?a23b31?t1??a21b12?a22b22?a23b32?t2称(4)为(2)与(3)的乘积。
相应地，称(4)的系数矩阵为(2)与(3)的系数矩阵的乘积，记作：(4)?a11AB???a?21?b11b12??a13???bb?2122?a22a23???b??31b32??a11b11?a12b21?a13b31a11b12?a12b22?a13b32?????ab?ab?aba21b12?a22b22?a23b32?22212331?2111??Ca12 一般地，我们有: 2. 矩阵与矩阵的乘法 定义2 设C??cij?m?nA=(aij)m×s,B=(bij)s×n.那么规定A与B的乘积是一个m?n矩阵，其中scij=ai1b1j+ai2b2j+?+aisbsj并记作C=AB [注](1) 一行与一列相乘??aikbkjk?1(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n) 其结果为一个数. (2) 只有A的列数等于B的行数时，AB才有意义〔乘法可行〕?b1j????b2j?s?ai1,ai2,?,ais?????aikbkj?cij???k?1?b??sj?6??4?2??3A????21??B????2?4??????，求AB及BA. 例4 设，6??1632??4?2??3??AB????21???2?4??????8?16???????? 解6??4?2??00??3BA????2?4?????21?????00????????由此发觉： 〔1〕AB?BA，〔不满意交换律〕 〔2〕A?0，B?0，但却有BA?0(留意与实数乘法相区分). 矩阵乘法的运算律〔假定运算是可行的〕 〔1〕(AB)C?A(BC) ( 结合律)〔2〕A(B?C)?AB?AC； (A?B)C?AC?BC ( 安排律) 〔3〕?(AB)???A?B?A??B?〔4〕EA?A，BE?B 〔单位矩阵的意义所在〕4． n阶方阵的幂设A是n阶方阵，那么定义或klA1=A,A2=A1A1,?,Ak+1=AkA1A1=A,A2=A1A1,?,Ak+1=?A??A?k+1k?l?Akl，其中k,l为正整数. kkk??AB?AB，(A,B为n阶方阵).假设AB=BA, 那么称A,B为可交换的但一般地，规律： AA?An阶方阵，?A?kl?11???01??? 例5 计算?解法一 〔采纳数学归纳法〕n?11?A???01????， 设?11??12A?AA???01????0???那么?12??1A3?A2A???01???????0?1n?1??An?1???0?1??， 假设A?Ann?11??12?????01??1????， 1??13???????1??01??那么于是由归纳法知，对于随意正整数n，有n?1n?1??11??1n?????A?????0????1??01??01???，?11??1n??????01??01???????11?A???01????分解为两个矩阵之和, 然后利用二项式绽开定理计算. 解法二 将四、转置矩阵定义3 把矩阵A的各行均换成同序数的列所得到的矩阵，称为A的转置矩阵，记作AT.例如：运算律 〔1〕(A)?21???T?20?1?A??03?A????12??132???? ??，TT=A； 〔2〕(A+B)T=AT+BT；TTTTT()()AB=BA kA=kA〔3〕； 〔4〕 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第8页 共8页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页。