第四章 线性系统的根轨迹法 (Root Locus)4—1 根轨迹法的基本概念 4—2 根轨迹绘制的基本法则 4—3 广义根轨迹 4—4 系统性能的分析4—1 根轨迹概念一、根轨迹定义指当开环系统某一参数从零到无穷变 化时，闭环特征根相应在s平面上变化的轨 迹二、根轨迹增益K*与开环增益K（1）开环传递函数的两种标准形式： §尾1型：§首1型：式中 为开环零点；为开环极点；（2）K*与K的关系三、根轨迹方程即（1）模值条件（2）相角条件4—2 绘制根轨迹的基本法则1(教材P151）123 4 绘制根轨迹的基本法则2特殊情况：无有限零点确定分离点的第二种方法：• 特征方程有重根时，f(s)与s轴的交点只有一个 ，那只能是f(s)～s的极值点 • 而df(s)/ds =0与dK*/ds =0具有相同的方程，故 而可用dK*/ds=0求解此分离点设单位反馈控制系统的开环传递函数为： 试概略绘出相应的闭环根轨迹图• 解： • 令 • 下面绘制当K1从零变到无穷大时的闭环根轨迹图。
（1）根轨迹的起点就是开环传递函数的极点：0，－2， －5 （2）依据幅角条件可确定实轴上的根轨迹为 （3）计算分离点：• 令 • 得 （舍去） • 所以，分离点为 • 习题集例4-2 例4-1（4）计算渐近线与实轴的交点： • 渐近线与实轴的夹角：• 所以，渐近线与实轴的夹角为 （5）确定根轨迹与虚轴的交点： • 闭环特征方程： • 令 代入上式有： • 整理得： • 令实部、虚部分别等于零， • 得方程组：• 解该方程组得:依上面的分析可绘出相应的根轨迹图根轨迹 例4-2（教材P150)•单位反馈系统开环传递函数为 绘制其根轨迹图∠（p1-p2）∠（p1-z1）∠（p1-p3）θp1Az1p3p2p1教材p148-1-2θ1=108.5°90°59 °37 °19 °56.5 ° p1p3p2p4z2z1z3 90 °121 °153 °199 °63.5 °117 °p3p2z1z2z3p1p44—3 广义根轨迹 一、参量根轨迹•系统结构参数除了开环增益,还有其他 参数,其他参数变化引起闭环极点改变 的情况即可用参量根轨迹来分析。
•具体做法:为了继续使用前述根轨迹绘 制方法,必须改造开环传函或特征方 程1+G(s)H(s)=0等效变换为： 其中的A即等同于K* 1P =[ 1 1 0 1];>> b=roots(P)b =-1.4656 0.2328 + 0.7926i0.2328 - 0.7926ip1p2二、零度根轨迹根轨迹方程（标准形式）即右端的符号：为“-”时, 对应180°根轨迹；为“+”时，对应0°根轨迹因此零度根轨迹相角满足 绘制零度根轨迹的基本法则 1根轨迹的条数就是特征根的个数不变！ 2根轨迹对称于 轴实 3根轨迹起始于,终止于开环极点开环零点( )∞( )∞j=1mn=∏∏︱ ss--zjpi︱︱︱i=11 K*4 n-m条渐近线对称于实轴,起点渐近线方向: φa=(2k+1)π n-mk= 0,1,2, …2kπ5实轴上某段右侧零、极点个数之和为 奇 数，则该段是根轨迹偶6根轨迹的分离点j=1m∑ i=1n∑d-pi11 d-zj=k= 0,1,2, …λL=(2k+1)π L,7与虚轴的交点 8起始角与终止角变了不变！不变！不变！变！不变！零度根轨迹绘制规则1343教材P161-3-2-1p2p3k1p1Kc=3根轨迹示例j0j0j00jj0j0j0j0 0j j00jj0n=1;d=conv([1 2 0],[1 2 2]);rlocus(n,d)n=[1 2];d=conv([1 2 5],[[1 6 10]);rlocus(n,d)4—4 系统性能的分析稳定性分析 •根轨迹是由开环零、极点的分布绘制闭环极 点随开环根轨迹增益变化的趋势图，故此， 系统欲稳定，根轨迹图不能越过虚轴进入右 半s平面。
•根轨迹与虚轴交点处的K值为系统的临界稳 定开环根轨迹增益稳态性能分析动态性能分析K的范围对动态性能的影响• 例4-19 已知系统开环传递函数 • （1）画出系统的根轨迹； • （2）计算使系统稳定的K值范围； • （3）计算系统对于斜坡输入的稳态误差 • 解:（1）画根轨迹 • a) 分离点由方程 • 得 • 解得s1=-6.65在根轨迹上,因此是汇合点s2=-1.35不在根轨迹上,舍去 • b)求分离角 • c)求与虚轴交点 系统特征方程为 劳斯阵列为 当 时,由辅助方程可求出根轨迹与虚轴的交点为 • （2）由劳斯阵列可知当 K<3/4 时,系统稳定 • （3）开环系统含有三个积分环节,属Ⅲ型系统 ,该系统对于斜坡输入的稳态误差为零例4-23 已知单位反馈系统的开环传递函数为 （1）画出系统根轨迹； （2）确定系统呈阻尼振荡瞬态响应的k值范围； （3）求产生持续等幅振荡时的k值和振荡频率； （4）求闭环主导复数极点具有阻尼比为0.5时的k值和闭环极点。
解：（1）画根轨迹图 a）该系统有三条根轨迹，开环极点为0，-2，-4 b)求渐进线 于是，渐进线与实轴交点为（－2，0）c）求分离点由开环传递函数知P(s)＝1，Q(s)=s(s+2)(s+4),代入方程 有 3s2+12s+8=0 s1,2＝-2±1.155，s1＝-3.155不在根轨迹上，舍去 s2＝-0.845是分离点，分离角为±90o根据幅值条件可以求出分离点处的增益d）根轨迹与虚轴的交点特征方程为 劳斯阵列为 当k＝48时，辅助方程为6s2＋48＝0 解得 s1，2＝±j2.83 (2)当k＝48时，系统有一对共轭虚根，系统为临界稳定,产生持续等 幅振荡，ωn＝2.83 （3）当 时，系统闭环主导极点为一对共轭复数极点，系 统瞬态响应为欠阻尼状态，阶跃响应为阻尼振荡形式 （4）当 时，系统闭环主导极点为一对相等负实极点，系 统瞬态响应为临界阻尼状态，阶跃响应为单调形式 (5）当 时，系统闭环主导极点为一对不等负实极点，系统 瞬态响应为过阻尼状态，阶跃响应为单调形式。
6）阻尼角β＝arccos0.5＝60o，解方程或由图可 知阻尼角为60o的主导极点 s1,2＝-0.675±j1.138 由于n≥m＋2，因此闭环极点之和等于开环极点之和，另一个闭环 极点为s3＝（-2）＋（－4）－s1－s2＝-4.686根据幅值条件知增加开环极点： 重心向右移增加开环零点： 重心向左移附加开环零点、极点对根轨迹的影响增加开环偶极子： 在原点附近增加开环偶极子，系统 的动态性能变化不大，稳态性能得到提高根轨迹局限: (1)无闭环零点信息(2)表达稳态误差不直观工程上，某极点 与某零点之间的距离比它们的模值小一个数 量级，就可认为这对零、极点为偶极子第四章总结• （1）正确理解根轨迹的概念； • （2）掌握根轨迹的绘制法则，并能熟练绘制系 统的根轨迹； • （3）熟练应用等效开环传递函数概念，绘制非 K*参数根轨迹； • （4）正确区分并绘制0°根轨迹； • （5）能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变 化的趋势； • （6）掌握确定闭环零极点及计算系统动态指标 方法测验题• 设单位反馈控制系统的开环传递函数• • 试绘制其根轨迹图，并求出使系统产生 重实根和纯虚根的 值。