linear algebra！！第二节一、线性相关与线性无关的概念向量的 线性相关性二、向量组的线性相关性的判别三、线性组合与线性表示 第三章 linear algebra！！一、线性相关与线性无关的概念一组不全为0 0的数设为n元向量组，如果存在，使成立，则称向量组 线性相关否则称线性无关定义1 1 linear algebra！！若线性无关， 则对任意不全为0 0的数，都有即当且仅当时，式才成立 linear algebra！！线性相关例1 1即 linear algebra！！例2 2当向量组含两个非零向量时，设，线性相关与对应分量成正比与即与的对应分量成比例证明线性相关或与或 linear algebra！！例3 3对应分量不成比例，线性无关对应分量成比例，线性相关几何上说向量共线 linear algebra！！例4求证含有零向量的向量组必线性相关则此向量组必定线性相关证明 设向量组中取数必有 linear algebra！！线性相关线性相关. .即如果部分组线性相关， 则整体组也线性相关定理1证明线性相关，因为为0 0的数使成立，因此有其中不全为零线性相关则存在一组不全 linear algebra！！线性无关线性无关. .即：如果整体组线性无关， 则部分组也线性无关。
定理2利用定理1 1，用反证法即：部分相关，整体相关！ 整体无关，部分无关！ linear algebra！！二、 向量组的线性相关性的判别下面分别对数字表示的具体向量组的线性相关性和用字母表示的抽象向量组的线性相关性进行判别 linear algebra！！1、用数字表示的向量组的线性相关性的判别已知解设有数使得例5 判别下列向量组的线性相关性 linear algebra！！即有得同解方程组 linear algebra！！得同解方程组方程组的解令（k 为任意实数）由得此向量组线性相关 linear algebra！！小结首先设有数使得归结为判别齐次线性方程组是否有非零解的问题用数字表示的向量组的线性相关性的判别方法，第二步将代入得齐次线性方程组 linear algebra！！方程组有非零解，有则称向量组 线性相关方程组只有零解，则称向量组 线性无关下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性的方法 这是判别向量组线性相关性的主要方法 linear algebra！！定理3有非零解例6线性相关秩判断，，，，的线性相关性.（无关）（只有零解））（秩此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。
linear algebra！！解线性相关. . linear algebra！！例7 判断下列向量组的线性相关性解线性无关. . linear algebra！！解线性相关. . linear algebra！！推论2设m元向量组中含有n个向量, , 当n>m时，此向量组必定线性相关推论1当m=n时，即向量维数= =向量个数时, ,线性相关（线性无关）向量组构成行列式的值为零，即 linear algebra！！（1）例8 判别下列向量组的线性相关性含有零向量的向量组必线性相关 linear algebra！！（2）4 4个3 3维向量必线性相关 linear algebra！！（3）4 4个4 4维向量，用行列式（或化阶梯型矩阵）判别 linear algebra！！二、 向量组的线性相关性的判别（续）2、对字母表示的抽象向量组的线性相关性的判别这种判别一般用定义法 linear algebra！！考虑方程组只有零解，试证向量组整理得即证明一 ：例9 9也线性无关 因为向量组 线性无关，所以必有从而 线性无关。
设向量组线性无关， linear algebra！！证明二: :从而 R（B）= R（A），而向量组 线性无关，所以 R（A）=3R（B）=3 =3 可知向量组 也线性无关 linear algebra！！例1010证明已知证明线性无关，线性相关.设存在数已知只有线性无关，使得即故向量组线性相关不全为零， linear algebra！！三、线性组合与线性表示为组合系数. . 称 设有m维向量组如果存在一组数则称是向量组的线性组合定义2 2线性表示称可由若存在一组数使得 linear algebra！！观察四个向量之间的关系有例11111 1、线性表示 linear algebra！！因为中每个向量都可由向量组本身（2 2）向量组线性表示，（1 1）零向量可由任一组向量线性表示 linear algebra！！（3 3）任一m元向量都可由m元单位向量组,,+线性表示，即+ linear algebra！！2 2、线性组合其中至少有一个向量是其余n－1 1个向量的线性组合线性相关证明=>=>：线性相关，不全为0 0的数则存在一组使不妨设，则即是的线性组合定理4 4 linear algebra！！组合，即存在一组数使线性相关.不全为0，由于则不妨设是其余向量的线性<=<= linear algebra！！设即=+若可由线性表示，即： linear algebra！！（1）即非齐次线性方程组有解。
linear algebra！！定理5 5 设是为 m 元（维）列向量组，可由线性表示有解其中性质3 3A为阵，经过有限次的初等行变换为B则A的列向量组与B的列向量组有相同的线性关系 linear algebra！！例11已知问是否可由线性表示？如能线性表示解设有数就写出表达式. .使 linear algebra！！有唯一解 linear algebra！！例12已知问是否可由线性表示？ 如能线性表示解设有数就写出表达式. .使 linear algebra！！同解方程组为令得k 为任一常数 linear algebra！！例13 判断是否为向量组的线性组合？解 设对矩阵 linear algebra！！线性无关，线性相关，则可由A线性表示且表法唯一定理6 linear algebra！！已知向量组线性相关，线性无关证明①①可由线性表示②②不可由线性表示故线性无关，线性表示可由①①线性无关，②②假设可由线性表示，使即存在由①①，，可由线性表示，可由线性表示，线性无关相矛盾与代入上式，证明例1414 。