模型介绍R结论：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：AB2+CD2＝AD2+BC2 【证明】∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得：AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2R方法点拨①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形例题精讲【例1】．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AB＝5，AD＝5，CD＝12，则BC＝ 13 ．解：设AC，BD交于点O，∵AC⊥BD，AB＝5，AD＝5，CD＝12，∴OA2+OB2＝75，OA2+OD2＝50，OD2+OC2＝144，BC2＝OB2+OC2，∴OA2+OB2+OD2+OC2﹣（OA2+OD2）＝OB2+OC2＝169，即BC2＝169，∴BC＝13．故答案为：13．Ø变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2解：连接DE，如图，设EF＝x，DF＝y，∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∴＝＝＝，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，x2+4y2＝b2，②在Rt△BFD中，4x2+y2＝a2，③②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故选：A．【变式1-2】．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，请回答下列问题：（1）若AB∥CD，求证：弧BD＝弧AC（2）若AC⊥BD，CD＝4，圆O的半径为3，求AB的长；（3）在（2）的条件下求PA2+PB2+PC2+PD2的值．（1）证明：∵AB//CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴，∴，∴弧BD＝弧AC；（2）解：过点O作OE⊥CD于点E，作直径CF，连接FA，FD，如图：∵OE⊥CD于点E，∴E为CD中点，CE＝DE＝CD×4＝2，∵圆O的半径为3，∴OE＝＝＝，∵O为CF中点，E为CD中点，∴DF＝2OE＝2，∵CF是⊙O直径，∴∠CAF＝90°，即AC⊥AF，∵AC⊥BD，∴BD∥AF．∴∠ADB＝∠FAD，∴＝，∴AB＝DF＝2；（3）解：∵AC⊥BD于点P，∴AB2＝PA2+PB2，CD2＝PC2+PD2，∴PA2+PB2+PC2+PD2＝AB2+CD2，由（2）知AB＝2，CD＝4，∴AB2+CD2＝（2）2+42＝36，∴PA2+PB2+PC2+PD2＝36．【例2】．已知点P是矩形ABCD内的一点，且PA＝2，PB＝3，PC＝4，则PD＝ ． 证明：过点P作EF⊥AB交AD于点F，DC于点E；过点P作GH⊥AD交AD于点G，CB于点H．则FA＝DE，FP＝HB，CH＝EP，HP＝EC．∴PA2+PC2＝FA2+FP2+CH2+HP2＝DE2+HB2+EP2+HP2＝PB2+PD2，∴PA2+PC2＝PB2+PD2，∴22+42＝32+PD2，∴PD＝．故答案为．Ø变式训练【变式2-1】．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝，BC＝3，则AB2+CD2＝ 23 ．解：∵AC⊥BD，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝∠AOB＝90°，∴OB2+OC2＝BC2，OA2+OD2＝AD2，OB2+OA2＝AB2，OC2+OD2＝CD2，∴AB2+CD2＝OB2+OA2+OC2+OD2＝BC2+AD2，∵AD＝，BC＝3，∴BC2+AD2＝（3）2+（）2＝18+5＝23，∴AB2+CD2＝23，故答案为：23．【变式2-2】．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝ ．解：∵AD、BE为AC，BC边上的中线，∴BD＝BC＝2，AE＝AC＝，点O为△ABC的重心，∴AO＝2OD，OB＝2OE，∵BE⊥AD，∴BO2+OD2＝BD2＝4，OE2+AO2＝AE2＝，∴BO2+AO2＝4，BO2+AO2＝，∴BO2+AO2＝，∴BO2+AO2＝5，∴AB＝＝．故答案为． 1．两个矩形，小矩形绕着公共点C任意旋转，在旋转到如图所示的位置时，求BE2+DK2的值．解：∵∠BCD＝∠KCE＝90°，∴∠BCK＝∠DCE，又∵＝，＝，∴＝，∴△BCK∽△DCE，∴∠CBK＝∠CDE，∵∠CBK+∠KBD+∠BDC＝90°，∴∠CDE+∠KBD+∠BDC＝90°，∴∠DOB＝90°，∴OK2+DO2＝DK2，BO2+OE2＝BE2，∴BE2+DK2＝OK2+EO2+DO2+BO2＝BD2+KE2＝AB2+AD2+KF2+KE2＝36+64+36+20.25＝156.25．2．如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD于点O，若AD＝2，BC＝6，则AB2+CD2＝ 40 ．解：在Rt△ABO与Rt△CDO中，由勾股定理得，AB2＝BO2+AO2，CD2＝CO2+DO2，∴AB2+CD2＝BO2+CO2+AO2+DO2，在Rt△BOC与Rt△AOD中，由勾股定理得，BC2＝BO2+CO2，AD2＝AO2+DO2，∴AB2+CD2＝BC2+AD2＝62+22＝40，故答案为：40．3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，M、N是BC边上的点，BM＝MN＝NC，如果AM＝4，AN＝3，则MN＝ ．解：过M，N分别作AC的垂线MD和NE，作NO⊥MO，D、E、O为垂足，则MD＝2NE，AE＝2AD，如图，可得AM2＝AD2+MD2，AN2＝AE2+NE2，解得AD2＝，NE2＝，∵EN为△CDM的中位线，所以MD＝2NE，∵NO⊥MO，MD⊥ED，∴四边形ODEN为平行四边形，即OD＝NE，∴MO＝NE，ON＝DE，∴MN＝＝＝．故答案为．4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×2＝1，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵∠DHP＝∠FHC，∵DH＝FH，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝1，∴AP＝AD﹣PD＝1，∴PE＝＝，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴GH＝EP＝．5．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：如图2，连接AC、BD，∵AB＝AD，∴点A段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，理由如下：如图1中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如图3，连接CG、BE，∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，∵∠AME＝∠BMN，∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵CG＝＝＝4，BE＝＝＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．6．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．（2）解决问题：已知AB＝5．BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长；②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2，则S△ABC＝ ．解：（1）如图1，∵四边形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝∠AOD＝90°，∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，BC2＝OB2+OC2，AD2＝OA2+OD2，∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，BC2+AD2＝OB2+OC2+OA2+OD2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如图2，延长CB交DE于M，过点D作DN⊥CB于N，又∵等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD，AB＝5，BC＝4，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BND＝∠CBE＝∠ABD＝∠EBN＝90°，AB＝BD＝5，BC＝BE＝4，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠DBN＝90°，AC＝＝3，∴∠BAC＝∠DBN，在△ACB和△BND中，，∴△ACB≌△BND（AAS），∴BC＝DN＝BE＝4，AC＝BN＝3，在△DNM和△EBM中，，∴△DNM≌△EBM（AAS），∴MN＝MB＝BN＝×3＝，MD＝ME＝DE，在Rt△DNM中，∠MND＝90°，∴MD＝＝＝，∴DE＝2MD＝；（3）如图3，∠ACB≠90°，分别过点A、D作AM⊥CB于点M，DN⊥CB于点N，连接DC，又∵等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD，AB＝5，BC＝4，∴∠AMB＝∠BN。
