40管理运筹学第三章 线性规划问题的计算机 求解§1§2“管理运筹学”软件的操作方法“管理运筹学”软件的输出信息分析41管理运筹学第三章 线性规划问题的计算机求解随书软件为“管理运筹学”2.5 版（Windows 版），是“管理运筹学”2.0 版（Windows 版）的升级版它包括：线性规划、运输问题、整数规划（0-1 整数规划、纯整数规划和混合整数规划）、目标规划、对策论、最短路径、最小生成树、最大流量、最小费用最大流、关键路径、存储论、排队论、决策分析、预测问题和层次分析法，共 15 个子模块42管理运筹学§1 “管理运筹学”软件的操作方法软件使用演示：（演示例 1） 第一步：点击“开始”→“程序”→“管理 运筹学 2.5”，弹出主窗口，如图 3-1 所示图 3-1例 1. 目标函数： max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件： s.t. x1 + x2 ≤300 2x1 + x2≤400 x2≤250 x1≥0 x2≥0（A） （B） （C） （D） （E）43管理运筹学§1 “管理运筹学”软件的操作方法第二步：选择所需子模块，点击主窗口中的相应按钮本题中选用“线 性规划”方法，点击按钮弹出如图 3-2 所示界面：图 3-244管理运筹学§1 “管理运筹学”软件的操作方法第三步：点击“新建”按钮，输入数据。
本题中共有 2 个变量、3 个约束条件、 目标函数取 MAX点击“确定”后，在表中输入 Cj ,bi 和 aij 等值，并确定变量的正负 约束输入数值后的界面如图 3-3 所示在输入中要注意以下两点：输入的系数可以 是整数、小数，但不能是分数，要把分数先化为小数再输入；输入前先要合并同类项图 3-345管理运筹学§1 “管理运筹学”软件的操作方法第四步：点击“解决”按钮，得出计算过程计算过程界面输出如图 3-4 所示图 3-446管理运筹学§1 “管理运筹学”软件的操作方法第五步：关闭计算过程界面，得出输出结果本题的运行结果界面如图 3-5 所示图 3-5在“管理运筹学”2.5 版软件中，线性规划问题的结果输出部分增加了线性规划的逐步运算过程，将使读者更容易掌握线性规划计算的全过程，为方便软件计算，本线性规划使用了大 M 法以及数值分析方法47管理运筹学§2 “管理运筹学”软件的输出信息分析分析软件输出的信息 — —————上题中目标函数的最优值是 27 500，x1=50, x2=250 相差值表示相应的决策变量的目标系数需要改进的数量，使得决 策变量为正值，当决策变量已为正数时，相差数为零。
松弛/剩余变量的数值表示还有多少资源没有被使用如果为零， 则表示与之相对应的资源已经全部使用 对偶价格表示其对应的资源每增加一个单位，将增加多少个单位 的最优值 目标函数系数范围表示最优解不变的情况下，目标函数的决策变 量系数的变化范围当前值是指当前的最优解中的系数取值 常数项范围是指约束条件的右端常量上限值和下限值是指当约 束条件的右端常量在此范围内变化时，与其对应的约束条件的对 偶价格不变当前值是指现在的取值 以上计算机输出的目标函数系数和约束条件右端值的灵敏度分析 都是在其他系数值不变，只有一个系数变化的基础上得出的48管理运筹学§2 “管理运筹学”软件的输出信息分析当有多个系数变化时，需要进一步讨论 百分之一百法则：对于所有变化的目标函数决策系数（约束条件右端常数值），当其所有允许增加的百分比与允许减少的百分比之和不超过100%时，最优解不变（对偶价格不变，最优解仍是原来几个线性方程的解） *允许增加量 = 上限 - 现在值 c1 的允许增加量为 100 - 50 = 50b1 的允许增加量为 325 - 300 = 25 允许减少量 = 现在值 - 下限c2 的允许减少量为 100 - 50 = 50b3 的允许减少量为 250 - 200 = 50 允许增加的百分比 = 增加量/允许增加量允许减少的百分比 = 减少量/允许减少量49管理运筹学§2 “管理运筹学”软件的输出信息分析例如：c1 变为 74，c2 变为 78，则（74 - 50）/50 +（100 - 78）/50 = 92%， 故最优解不变。
b1 变为 315，b3 变为 240，则（315 - 300）/25 +（250 - 240）/50 = 80%，故对偶价格不变（最优解仍是原来几个线性方程的解）在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要注意以下几方面1）当允许增加量（允许减少量）为无穷大时，则对任意增加量（减少量），其允许增加（减少）百分比均看作零2）百分之一百法则是充分条件，但非必要条件；也就是说超过 100%，最优解或对偶价格并不一定变化3）百分之一百法则不能用于目标函数决策变量系数和约束条件右边常数值同时变化的情况这种情况下，只能重新求解50管理运筹学§2 “管理运筹学”软件的输出信息分析下面用“管理运筹学”软件来分析第二章的例 2，其数学模型如下目标函数：f = 2x1 + 3 x2min 约束条件：s.t.x1 + x1 2 x1 + x1,x2 ≥ 350 ≥ 125 x2 ≤ 600 x2 ≥ 0图 3-6 从图 3-6 可知，当购进原料 A 250 t，原料 B 100 t 时，购进成本最低， 为 800 万元51管理运筹学§2“管理运筹学”软件的输出信息分析在松弛/剩余变量栏中，约束条件 2 的值为 125，它表示对原料 A 的 最低需求，即对 A 的剩余变量值为 125；同理可知约束条件 1 的剩余 变量值为 0；约束条件 3 的松弛变量值为 0。
在对偶价格栏中，约束条件 3 的对偶价格为 1 万元，也就是说如果把 加工时数从 600 小时增加到 601 小时，则总成本将得到改进，由 800 万元减少到 799 万元也可知约束条件 1 的对偶条件为-4 万元，也 就是说如果把购进原料 A 和 B 的总量下限从 350t 增加到 351t，那么 总成本将增加，由 800 万元增加到 804 万元当然如果减少对原料 A 和 B 的总量的下限，那么总成本将得到改进 在常数项范围一栏中，知道当约束条件 1 的常数项在 300 到 475 范围 内变化，且其他约束条件不变时，约束条件 1 的对偶价格不变，仍为 -4；当约束条件 2 的常数项在负无穷到 250 范围内变化，且其他约束 条件的常数项不变时，约束条件 2 的对偶价格不变，仍为 0；当约束 条件 3 的常数项在 475 到 700 范围内变化，且其他约束条件的常数项 不变时，约束条件 3 的对偶价格不变，仍为 152管理运筹学“§2 “管理运筹学”软件的输出信息分析注意 （1）当约束条件中的常数项增加一个单位时，最优目标函数值增加的数量称为影子价格在求目标函数最大值时，当约束条件中的常数项增加一个单位时，目标函数值增加的数量就为改进的数量，此时影子价格等于对偶价格；在求目标函数最小值时，改进的数量就是减少的数量，此时影子价格即为负的对偶价格。
2） 管理运筹学”软件可以解决含有 100 个变量 50 个约束方程的线性规划问题，可以解决工商管理中大量的问题如果想要解决更大的线性规划问题，可以使用由芝加哥大学的 L.E.Schrage 开发的 LINDO 计算机软件包的微型计算机版本 LINDO/PC。