剪力图和弯矩图教程

剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示F FQ Q (x) (x)和和M(x)M(x)的的图线这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称图线这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称F FQ Q图和图和M M图 正弯矩画在正弯矩画在x轴下侧，负弯矩轴下侧，负弯矩画在画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧拉的一侧 绘图时一般规定正号的剪力绘图时一般规定正号的剪力画在画在x轴的上侧，负号的剪力画轴的上侧，负号的剪力画在在x轴的下侧；轴的下侧； 例题例题1 1 图所示，悬臂梁受集中力图所示，悬臂梁受集中力F F作用，试作此作用，试作此梁的剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图解：解： (0 (0＜＜x x＜＜l ) l ) (0≤x (0≤x＜＜l) l) 由剪力图和弯矩图可知：由剪力图和弯矩图可知：一、根据内力方程作内力图一、根据内力方程作内力图剪力方程剪力方程——表示横截面上表示横截面上剪力剪力FQ随横截面位置随横截面位置x而变化的函数关系；而变化的函数关系；弯矩方程弯矩方程——表示横截面上表示横截面上弯矩弯矩M随横截面位置随横截面位置x而变化的函数关系。

而变化的函数关系例题例题2 2 简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图由对称关系，可得：由对称关系，可得：最大剪力发生在梁端，其值为最大剪力发生在梁端，其值为最大弯矩发生在跨中，它的数值为最大弯矩发生在跨中，它的数值为M Mmaxmax例题例题3 3 简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图解：解： （（0

轴的直线3)(3)在集中力作用处，在集中力作用处，FQFQ图有突变，突变方向与外力一致，且突变的数值等图有突变，突变方向与外力一致，且突变的数值等于该集中力的大小于该集中力的大小4)(4)在集中力偶作用处，其左右截面的剪力在集中力偶作用处，其左右截面的剪力FQFQ图是连续无变化图是连续无变化1)(1)在均布荷载作用的区段，在均布荷载作用的区段，M M图为抛物线图为抛物线2)(2)当当q(x)q(x)朝下时，朝下时，M M图为上凹下凸图为上凹下凸当当q(x)q(x)朝上时，朝上时，M M图为上凸下凹图为上凸下凹二、根据内力图规律做图二、根据内力图规律做图(3) (3) 在集中力作用处，在集中力作用处，M M图发生转折如果集中力向下，则图发生转折如果集中力向下，则M M图图向下转折；反之，则向上转折向下转折；反之，则向上转折4) (4) 在集中力偶作用处，在集中力偶作用处，M M图产生突变，顺时针方向的集中力偶图产生突变，顺时针方向的集中力偶使突变方向由上而下；反之，由下向上突变的数值等于该集使突变方向由上而下；反之，由下向上突变的数值等于该集中力偶矩的大小中力偶矩的大小1)(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。

任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力2) (2) 当当F FQ Q图为斜直线时，对应梁段的图为斜直线时，对应梁段的M M图为二次抛物线当图为二次抛物线当F FQ Q图图为平行于为平行于x x轴的直线时，轴的直线时，M M图为斜直线图为斜直线3. 3. 弯矩图与剪力图的关系弯矩图与剪力图的关系(3) (3) 剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有极值的截面上，剪力不，一定等于零左右剪力有不同正、极值的截面上，剪力不，一定等于零左右剪力有不同正、负号的截面，弯矩也具有极值负号的截面，弯矩也具有极值解：解： 1. 1. 求约束反力求约束反力例题５例题５ 简支梁如图所示，试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分简支梁如图所示，试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作此梁的剪力图和弯矩图关系作此梁的剪力图和弯矩图2. 2. 画画F FQ Q图图各控制点处的各控制点处的FQFQ值如下：值如下：F FQAQA右右=F=FQCQC左左=15kN =15kN F FQCQC右右=F=FQDQD=15 kN =15 kN －－10kN=5kN 10kN=5kN F FQDQD=5kN =5kN 　　　　 F F QB QB左左= =－－15kN15kN3. 3. 画画M M图图M MA A = 0, M = 0, MC C =15kN×2m=30 =15kN×2m=30 M MD D = 15kN×4m = 15kN×4m－－10kN×2m=40kN.m 10kN×2m=40kN.m M MD D右右= 15kN×4m= 15kN×4m－－5kN×4m×2m=20 5kN×4m×2m=20 MB=0MB=0例题例题6 6 一外伸梁如图示。

试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关一外伸梁如图示试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作此梁系作此梁的的F FQ Q、、M M图图解：解：(1)(1)剪力图ACBACB段：段： F FQAQA右右=F=FQCQC=F=FQBQB左左= =－－5kN5kNF FQ Q图为一水平直线图为一水平直线 BDBD段：段：FQFQ图为右下斜直线图为右下斜直线FQB右＝ F FQBQB左左+13=8kN +13=8kN FQD=0(2) (2) 弯矩图弯矩图 ACAC段：段：F FQ Q<0<0，故，故M M图为一右上斜直线图为一右上斜直线 M MA A=0=0，，M MC C左左= =－－5kN×2m=5kN×2m=－－10kN.m 10kN.m CBCB段：段： F FQ Q<0,<0,故故M M图为一右上斜直线，图为一右上斜直线，在在C C处弯矩有突变处弯矩有突变 M MC C右右M MB BBDBD段：段： 段内有向下均布荷载，段内有向下均布荷载，M M图为下凸图为下凸抛物线，抛物线， M MB B= =－，－，M MD D=0=0例例7 外伸梁如图所示，试画出该梁的内力图。

外伸梁如图所示，试画出该梁的内力图解：解： （（1）求梁的支座反力）求梁的支座反力由由 解得解得 由由 解解得得 q=10kN/mBEDACm=3.6kNmP＝＝3kNa=0.6ma=0.6m2a=12mxRARB （（2）画内力图：）画内力图：CACA段段: q=0: q=0，，剪力图为水平直线；剪力图为水平直线；弯矩图为斜值线弯矩图为斜值线 ADAD段段:q=0,:q=0,剪力图为水平直线； 弯矩图为斜值线DB段段:q<0, :q<0, 剪力图为斜直线；弯矩图为抛物线 令：根据根据Q QB B－－ ＝－＝－5kN Q5kN QC C＋＋ ＝－＝－3kN 3kN 、、 Q QA A＋＋ ＝＝7kN 7kN 、、Q QA A－－ ＝＝－－3kN 3kN 、、　　Q QD D ＝＝7kN7kN的的对对应应值值便便可可作作出出图图(b)(b)所所示示的的剪剪力力图图 可可见见，， 在在ADAD段段剪力最大，剪力最大，（（Q））（（M）） q=10kN/mBEDACm=3.6kNmP＝＝3kNa=0.6ma=0.6m2a=1。

2mxRARB3kN7kN5kN＋＋－－－－1.8kNm24kNm1.2kNm1.25kNm＋＋＋＋－－根据根据MC ＝＝0、、 MA ＝－＝－1.8kNm 　　　　　　MB ＝＝0 、、ME ＝、＝、MD＋＋ ＝－＝－1.2kNm 、　　、　　MD－－ ＝＝ 的对应值便可作出图的对应值便可作出图(c)(c)所示的弯矩图由图可见，梁上所示的弯矩图由图可见，梁上点点D D左侧相邻的横截面上弯矩最大，左侧相邻的横截面上弯矩最大，q＝＝5kN/m2kNACB8m1m（（Q））+-+19.75kNx=3.95m 20.25kN2kN（（M））+-39kNm2kNm例例8 试画出图示梁的内力图试画出图示梁的内力图。