四章机率概论Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope有生命必有希望有生命必有希望 •量測某件事情會發生的機會稱之為機率•機率的觀念是整個統計決策理論的基礎，利用機率才可以討論不確定性，2 4.1 事件與機率事件與機率 •統計上所謂實驗實驗(亦稱為試驗，) 是一種活動，•它的實驗結果結果在未實驗前 不知道那一種會發生，因此是不確定的3 •統計的實驗並不一定要像在實驗室內的化學實驗或醫學實驗，•可能只是簡單的擲兩個骰子， 看其出現的點數•通常實驗完後就能得到一組資料，4 •而一個“事件事件”(Event)是實驗的 一個或多個可能結果所組成，•習慣上以英文大寫字母表示5 樣本空間•做一實驗 所有可能結果所成的集合稱為樣本空間，•我們以U表示 6 例4.1、、•擲一個骰子實驗，觀察出現的點數， 請寫出此實驗的樣本空間 7 8 例4.2、、•擲一個硬幣兩次， 觀察每次是正面或反面，•請寫出其樣本空間 9 10 例4.3、、•一袋子內有紅球3個，白球2個，黃球1個•某人任意從袋中取出一球觀察其顏色， 試寫出其樣本空間 11 12 註：：•從袋中取球，取到紅球、白球、黃球的機會並不相等 13 例4.4、、•擲一個骰子兩次， 觀察每次出現點數，•寫出此實驗的樣本空間 14 15 •註1：：若令 S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }，則 U = S × S， 樣本空間也可寫成 16 同時擲兩個骰子•註2：：若在例4.4，擲一個骰子兩次改為 同時擲兩個骰子，觀察出現的點數 (a)當此兩個骰子看成不同 (例如塗上不同顏色)， 則兩種實驗的樣本空間與例4.4是相同的； 17 (b)但如將兩個骰子看成相同，則其樣本空間可表成 18 註3：：•如果我們關心的是擲二個骰子的點數和，則樣本空間也可以表示成•U = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } 19 •事件是樣本空間的部分集 20 常用的機率定義法有•(1)古典機率•(2)相對次數機率•(3)主觀機率 21 (1)古典機率22 例4.5、(例4.4續)擲二個骰子的實驗 令A表示出現點數和為6的事件， B表示兩個骰子同點數的事件， (1) 寫出事件A事件B的集合； (2) 求兩個骰子和為6的事件A之機率？ (3) 求兩個骰子同點數事件B的機率？ 23 擲二個骰子的實驗•令A表示出現點數和為6的事件 A={(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}•令B表示兩個骰子同點數的事件， B={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}24 25 P(A)=事件A發生的機率 •P(A) 的數值永遠是介於0與1之間 26 擲兩個骰子共有36種可能結果 27 •(1)點數和為6的事件A在上述排列中 有5種，故事件A的機率為 P(A) = 5/36•(2)兩個骰子同點數的事件共有6種， 故事件B的機率為 P(B) =6/36 28 注意：： •(1)不能以兩個骰子的點數和可能情形有 2,3,4,...,11,12共有11種結果， 以P(A)=1/11來計算，這種做法不正確，•理由是各種點數和出現的機率不一樣。
29 例4.7、、(例4.6續)•一袋中有3個紅球，1個白球， 由袋中取球兩次，每次取一球，•觀其顏色後放回袋中 30 (1)寫出樣本空間U； (2)寫出第一次取到紅球的事件A1， 並求P(A1) =？ (3)寫出第二次取到紅球的事件A2， 並求P(A2) =？ (4)寫出A1 A2 的事件， 並求P(A1 A2) =？31 樣本空間 32 第一次取到紅球的事件 33 第一次取到紅球的機率 34 第二次取到紅球的事件 35 第二次取到紅球的機率 36 第一次與第二次都取到紅球的事件為A1 A2 37 第一次與第二次都取到紅球的機率 38 例4.8、、(例4.7續)•一袋中有3個紅球，1個白球， 由袋中取球兩次，每次取一球，•觀其顏色後不放回袋中， 39 (1)寫出樣本空間U；(2)寫出第一次取到紅球的事件A1， 並求P(A1) =？ (3)寫出第二次取到紅球的事件A2， 並求P(A2) =？(4)寫出A1 A2 的事件， 並求P(A1 A2) =？ 40 樣本空間 41 第一次取到紅球的事件 42 第一次取到紅球的機率 43 第二次取到紅球的事件 44 第二次取到紅球的機率 45 第一次與第二次都取到紅球的事件為A1 A2 46 第一次與第二次都取到紅球的機率 47 2.相對次數機率•以n次實驗後，事件A發生了k次，則其相對次數是k/n，因此定義事件A的機率為k/n，即 P(A)=k/n•以這種定義法時，實驗次數n通常要很大。
48 •例如，觀察過去1000天，台南地區下雨的天數有120天，則我們就說台南地區每天下雨的機率是120/1000=0.1249 3.主觀的機率 •是由決策者本身認為某事件 發生的機會是多少來定其機率，•華德(Wald)所提決策理論就是 利用主觀機率與客觀的資料合併做決策50 •例如，某氣象播報員說台南市 明天下雨的機率是0.2，•或是在賽馬中，張三認為某匹馬 會贏第一的機會是30%等，•這都是主觀的機率的例子51 事件機率必需滿足基本假設 (1)非負數： 對任何事件A，0 P(A) 152 (2) 標準化：•必然發生事件的機率為1， P(U) = 1 其中U為樣本空間 53 (3)加法性： (3)事件A,B互斥(即當A B = )，則 P(A B)=P(A)+P(B)54 註：： • P(Ac)=1-P(A)， 其中Ac是A的補集， 即事件A不發生的機率與事件A發生的 機率和為155 •若兩事件A,B滿足 P(AB)=P(A)P(B) 稱事件A,B是獨立，•否則稱事件A,B是相依(不獨立) 56 例4.9(例4.7續)、、•一袋中有3個紅球，1個白球， 由袋中取球兩次，每次取一球，•觀其顏色後放回袋中， 第一次取到紅球的事件A1， 第二次取到紅球的事件A2，•事件A1與A2是否獨立 57 58 例4.10(例4.8續)、、•一袋中有3個紅球，1個白球， 由袋中取球兩次，每次取一球，•觀其顏色後不放回袋中， 第一次取到紅球的事件A1， 第二次取到紅球的事件A2，•事件A1與A2是否獨立？ 59 60 串聯 61 排容原理 •P(AB) = P(A)+P(B)-P(AB) 62 並聯 63 4.2 基本機率觀念基本機率觀念 •實際應用上我們常面臨的不是單一事件，而是關心兩事件(或更多)發生的狀況，•分成四種情形討論 64 1.事件A, B都發生的機率 •A,B兩事件是獨立獨立 P(AB) = P(A) P(B) 65 例4.3、(例4.2續)•A表擲兩個骰子的點數和為6的事件， B表擲兩個骰子點數相等的事件，•試問A,B兩事件是否獨立？66 【解】 • P(AB) = 1/36 P(A) = 5/36 P(B) = 6/36 P(AB) P(A) P(B)•因此A,B兩事件不獨立。
67 2.事件A,B中至少有一發生的機率 •A,B兩事件中，至少有一事件發生的機率寫成 P(AB) 68 •我們已要求當A , B事件互斥時 (即AB=)，則 P(AB) = P(A)+P(B) 但若A,B不互斥的話，則有下列一般等式： P(AB) = P(A)+P(B)-P(AB)69 •AB={(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (1,1), (2,2), (4,4), (5,5), (6,6)}•P(AB)=10/36 70 •P(A)+P(B)-P(AB) = 5/36+6/36 –1/36 =10/36 = P(AB) 71 聯合機率聯合機率 •聯合機率是討論兩個不同性質分類後， 問各分類有某種特性的機率72 員工性別與抽菸與否交叉列表 73 性別與抽菸與否的聯合機率聯合機率 74 邊際機率邊際機率•如果令M表示男員工的事件，F表示女員工的事件，S表示抽菸員工的事件，N表示不抽菸員工的事件，則由提供的資料知 P(M) = 2000/3000 = 2/3 P(F) = 1000/3000 = 1/3 P(S) = 650/3000 = 13/60 P(N) = 2350/3000 = 47/60•P(M), P(F)稱為性別屬性的邊際機率邊際機率•P(S), P(N)稱為抽煙與否屬性的邊際機率 75 員工性別與抽菸聯合機率76 如果年終公司摸彩•第一特獎有一位，則•第 一 特 獎 抽 到 的 是 女 員 工 機 會 是P(F)=1/3。
而抽到第一特獎的是會抽菸的女員工之機率就是• P(FS) = 50/3000=1/6077 條件機率條件機率 •條件機率條件機率對學習統計是必要的， 因為統計是由提供訊息做決策， 它會因提供的資料不同， 而算出不同的機率，導出不同的決策78 •當已知事件B發生時， 問事件A會發生的機率，•寫成P(A|B)79 •一袋中有 3個紅球，1個白球， 大明與 小華分別由袋中取球 1次，•大明先取，觀其顏色後不放回袋中， 輪由小華取球，•已知大明抽到紅球， 請問小華也抽到紅球的機會是多少 80 • P(A|B)=2/3 81 條件機率 82 例例4.13、(例4.12續)•再以員工性別及抽菸為例，•如我們已經知道得第一特獎的是女員工， 問她會抽菸的機率是多少？ 83 【解】 84 給事件B，求事件A發生的機率 85 例例4.14、班上50位學生要抽5位代表出公差 •(1)第一位抽中出公差的機率是多少？•(2)若已知第一位抽中出公差， 試問第二位抽到出公差的機會是多少？86 •(3)若已知第一位未抽中出公差， 試問第二位抽到出公差的機會是多少？•(4)若未提供第一位抽中出公差與否， 第二位抽中出公差的機率是多少？•(5) 以你觀點看，先抽者抽中出公差機率 大，或是後抽者抽中出公差的機率大？ 87 88 當A,B兩事件獨立時(即P(AB)=P(A)P(B))，則 (i) P(A|B) = P(A) (當P(B) 0)(即提供B的訊息對A發生的機率沒有影響) (ii) P(B|A) = P(B) (當P(A) 0) (即提供A的訊息對B發生的機率沒有影響) 89 例例4.15、•令A表某人在下期某張統一發票 中特獎的事件，•B表此人擲10個骰子， 每個骰子都出現點數1的事件90 試問•(1).A、B兩事件何者的機率高？•(2).A、B兩事件是否獨立？•(3).A、B兩事件都發生的機率是多少？•(4).已知此人擲10個骰子都出現點數1 (表運氣很好)， 請問他這張發票會中統一發票特獎的 機率是多少？ 91 【解】 92 4.5 貝氏貝氏公式公式 93 驗前機率•精華公司由甲、乙兩供應商分別提供70%與30%的映像管，映像管經組裝成電視機，•若由精華公司生產出的電視機中任意抽樣一件，則此電視機的映像管來自甲供應商的機率是0.7，來自乙供應商的機率是0.3，•此兩個機率稱為事前機率(或驗前機率 Prior)。
94 由過去的資料顯示：•甲供應商提供的映像管有3%是不良品•乙供應商提供的映像管有6%是不良品•任意抽樣一件電視機的映像管是不良品，•請問此抽樣的不良品映像管 來自甲供應商的機率是否仍為0.7呢？ 95 來自甲供應商的機率(事後機率) 96 事前機率 新的資訊 貝氏定理 事後機率 97 例例4.9、(例4.4續) •已知大華公司員工3000人中 有2000位男員工，•而男員工中有30%抽煙， 女員工中有5%抽煙•有一天傍晚，總經理在公司內看到遠處有一員工抽煙，但不知是男是女，•請問抽煙者是男生的機率是多少？ 98 解法解法(1) •由表4.1知全部員工中抽煙者有650位， 其中男生佔600位，故P(M|S)=600/650•即為答案99 解法解法(2) 100 101 102 103 104 表表4.3 大華公司各部門抽菸人數統計表 105 •如果有一天傍晚，總經理在公司內看到遠處有一位員工在抽煙，•請問此員工是人事部門的機率是多少？ 106 107 108 1.了解機率在統計扮演的角色•主要在統計推論(估計、檢定)，例如 (a)估計問題：信賴區間之信賴度。
(b)檢定問題：型I、型II誤差及值 (c)抽樣分配：抽樣分配，及抽樣誤差 109 •2.了解條件機率的重要性與統計上之關聯(統計常由於得到不同資訊而做不同決策) 110 •3.兩事件A,B獨立性的條件是 P(A | B) = P(A)(或P(A B) = P(A)P(B))，•以袋中取球為例，第一次取出為紅球的事件與第二次取出是紅球的事件 在放回時是獨立、不放回時則不獨立 111 4.了解貝氏公式的應用•知道驗前機率P(E1)與驗後機率P(E1 | S)之差別，•由此了解提供資訊S是否對事件E1有用？(所謂有用，即P(E1 | S) P(E1))•如有用則表示兩事件不獨立的， 否則兩事件是獨立的 112 。