2010年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案

第 1 页 共 19 页2012010 0 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学一试题数学一试题一、选择题：一、选择题：1～～8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有分，下列每题给出的四个选项中，只有 一一个选个选项符合题目要求，项符合题目要求，请将请将所选项前的字母填在所选项前的字母填在答题纸答题纸．．．指定位置上指定位置上.(1) 极限极限2 lim()()xxx xa xb()(A)1.(B)e.(C)a be.(D)b ae.【答案】C 【考点】重要极限公式 【详解】本题涉及到的主要知识点：本题主要涉及求 1∞型极限和重要公式1lim 1xxex.在本题中，222lnlimln limlimxxxxxxx ax bx ax bxxxeexaxb233222lim1limxxxxxaxbxabxxx ax ba bxax bx abeee(2) 设函数设函数( , )zz x y,由方程由方程(, )0y zFx x确定，其中确定，其中F为可微函数，且为可微函数，且20F ，则，则zzxyxy()(A)x.(B)z.(C)x.(D)z. 【答案】B 【考点】隐函数的微分 【详解】本题涉及到的主要知识点：隐函数求导的常用方法有：122212221xzyzyzFFFFFzxxxx xFFFx  ,1 12211yzFFFzx yFFFx   ,1212222yFzFyFFzzzxyzxyFFF第 2 页 共 19 页(3) 设设,m n是正整数，则反常积分是正整数，则反常积分210ln1mnxdxx的收敛性的收敛性 ()(A) 仅与m的取值有关.(B) 仅与n的取值有关.( )f x(C) 与,m n的取值都有关.(D) 与,m n的取值都无关.【答案】D 【考点】反常积分 【详解】本题涉及到的主要知识点：反常积分敛散性判别法则：设 f(x)在（a，b）非负，[ ,]( , )a b ，( )f x在[ ,] 可积 ， 又 设xa（ 或xb） 是( )f x的 瑕 点 ， 且 0lim ()( )pxaxaf xl  （ 或0lim ()( )pxabxf xl  ） ，则当1p 且0l  时瑕积分( )baf x dx收敛。

在本题中，22211121002ln1ln1ln1mmmnnnxxxdxdxdxxxx,对于21 2 0ln1mnxdxx，瑕点为0x 设1n ，1 1210[ln (1)]1lim0,01m nxnxxnx故收敛设1 20[ln (1)]1,1,2, limmxxnmx存在，21 2 0ln1mnxdxx不是反常积分设1 2210[ln (1)]1,2, limm mxxnmxx存在，2011m，故21 2 0ln1mnxdxx收敛对于，211 2ln1mnxdxx，瑕点为1x ，当m为正整数时，1 211[ln (1)]lim(1)0mxnxx x，其中01，故211 2ln1mnxdxx收敛故选(D)4)22 11limnnnijn ninj()(A)12001 11xdxdyxy.(B)1001 11xdxdyxy.第 3 页 共 19 页(C)11001 11dxdyxy.(D)112001 11dxdyxy.【答案】D 【考点】定积分的概念 【详解】本题涉及到的主要知识点： 利用定积分的定义求某些 n 项和式的极限（先将和式表示成某函数在某区间上的一个 积分和，它的极限就是一个定积分） 。

特别是对于 n 项和数列的极限，应该注意到：1011lim( )( )nniiff x dxnn其中多几项或少几项并不影响结果 在本题中，222 11112limlim11nnnnnnijijnn ninjijnnnn22 11111lim 11nnnijinj nn 112001 11dxdyxy(5) 设设A为为m n型矩阵，型矩阵，B为为n m型矩阵，型矩阵，E为为m阶单位矩阵，若阶单位矩阵，若ABE，则，则 ()(A) 秩 r Am,秩 r Bm.(B) 秩 r Am,秩 r Bn.(C) 秩 r An,秩 r Bm.(D) 秩 r An,秩 r Bn.【答案】A 【考点】矩阵的秩 【详解】本题涉及到的主要知识点： 矩阵的秩的定义， 若一个矩阵 A 的行向量组的秩和列向量组的秩相等， 称此数为矩阵 A 的秩记做 r（A） 若 r（A）=r，则 A 中有 r 阶子式不为 0，而 r+1 阶子式必全为 0. 矩阵秩的重要公式：1）( )()Tr Ar A2）()( ),0r kAr A k3）()( )( )r ABr Ar B4）()min( ( ), ( ))r ABr A r B5）若 A 可逆，则()( ), ()( )r ABr B r BAr B6）若）若0AB ，，A是是m n矩阵，则矩阵，则( )( )r Ar Bn7）若）若,AB则则( )( )r Ar B在本题中，由于ABE，故()( )r ABr Em.又由于()( ), ()( )r ABr A r ABr B，故( ),( )mr A mr B①由于A为m n矩阵，B为n m矩阵，故第 4 页 共 19 页( ), ( )r Am r Bm②由①、②可得( ), ( )r Am r Bm，故选 A.(6) 设设A为为 4 阶实对称矩阵，且阶实对称矩阵，且2AAO，若，若A的秩为的秩为 3，则，则A相似于相似于()(A)1110    .(B)1110    .(C)1110   .(D)1110   .【答案】D 【考点】矩阵的特征值和特征向量；相似对角矩阵 【详解】本题涉及到的主要知识点： （i）A与对角矩阵相似的充分条件：①A有n个不同的特征值；②A是实对称矩阵（ii）A与对角矩阵相似的充要条件：对于矩阵A的每一个in重特征值i，其线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数in，即秩()iirEAnn.在本题中，设为A的特征值，由于20AA，所以20，即(1)0，这样A的特征值为-1 或 0.由于A为实对称矩阵，故A可相似对角化，即A，( )( )3r Ar ，因此，1110   ，即1110A   .(7) 设随机变量设随机变量X的分布函数的分布函数0,01( ),012 1,1xxF xxex   ，则，则1P X =()(A)0.(B)1 2.(C)11 2e.(D)11 e.【答案】C 【考点】随机变量分布函数的概念及其性质 【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）设X是一个随机变量，x是任意实数，函数( )F xP Xx，x  第 5 页 共 19 页称为X的分布函数.（ii）设( )F x是随机变量X的分布函数，则对任意两个实数ab，有(0)P XaF a.在本题中， 111111111 0122P XP XP XFFee (8) 设设1( )f x为标准正态分布的概率密度，为标准正态分布的概率密度，2( )fx为为1,3上均匀分布的概率密度，若上均匀分布的概率密度，若12( )0( ),(0,0)( )0af xxf xabbfxx为概率密度，则, a b应满足()(A)234ab.(B)324ab.(C)1ab.(D)2ab. 【答案】A 【考点】常见随机变量的分布；二维连续型随机变量的概率密度 【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）标准正态分布概率密度221( )2x f xe，x  （ii）均匀分布概率密度1,,( ) 0,axbf xba 其他（iii）概率密度( )f x具有的性质：( )1f x dx在本题中， 22 11 2x fxe ， 21,134 0,xfx  其它利用概率密度的性质    03121001312424aaf x dxafx dxbfx dxfx dxbdxb所以234ab. 二、填空题：二、填空题：9-14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸．．．指定位置上指定位置上.(9) 设设20ln 1ttxeyudu ，求，求22 0td y dx .【答案】0 【考点】参数方程所确定的函数的微分法 【详解】本题涉及到的主要知识点： 由参数方程确定函数的运算法则：第 6 页 共 19 页设( ),( )xtyt确定函数( ),'( ),'( )yy xtt存在'( )0t，则'( ) '( )dyt dxt ( '( )0)t二阶导数223[][]1“( ) '( )'( ) “( ) [ '( )]dydyddd yttttdxdx dxdxdxdtt dt 在本题中，2 2ln 1ln 1t ttdytedxe ,22 2 22ln 12ln 11ttttdted ydtteteedxdtdxt  ,22 00td y dx(10)20cosxxdx.【答案】4 【考点】定积分的换元法和分部积分法 【详解】本题涉及到的主要知识点： 第一换元积分法设( )( )f u duF uC，又( )x可导，则[ ( )] '( )[ ( )]( )( )( )fxx dxfx dxf u duF uC第二类换元积分法：设( )xt可导，且'( )0t，若[ ( )] '( )( )ftt dtG tC，则( ) ( )=[ ( )] '( )( )xt f x dxftt dtG tC  令 ，其中1( )tx为( )xt的反函数。

分部积分法：设( ), ( )u x v x均有连续的导数，则( )( )( ) ( )( )( )u x dv xu x v xv x du x或者( ) '( )( )( )u x v x dxu x dv x在本题中，令xt，2xt，2dxtdt原式22000cos22cos2sintttdtttdtt dt2 0002sin2 si。