第二章 运动定律与力学中的守恒定律(一) 牛顿运动定律2．1 一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度运动，的方向与斜面底边的水平约AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．[解答]质点在斜上运动的加速度为a = gsinα，方向与初速度方向垂直．其运动方程为αABv0P图2.1x = v0t，．将t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为，这是抛物线方程．2．2 桌上有一质量M = 1kg的平板，板上放一质量m = 2kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk = 0.25，静摩擦因素为μs = 0.30．求：（1）今以水平力拉板，使两者一起以a = 1m·s-2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相NmfmNMfMa互作用力；（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？[解答]（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．板对物体的支持大小等于物体的重力：Nm = mg = 19.6(N)，这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为：fm = ma = 2(N)，这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反．板受桌子的支持力大小等于其重力：NM = (m + M)g = 29.4(N)，这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为：fM = μkNM = 7.35(N)．这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动，物体的运动方程为NmfNMf `fFa` f =μsmg = ma`，可得 a` =μsg．板的运动方程为 F – f – μk(m + M)g = Ma`，即 F = f + Ma` + μk(m + M)g = (μs + μk)(m + M)g，算得 F = 16.17(N)．因此要将板从物体下面抽出，至少需要16.17N的力．2．3 如图所示：已知F = 4N，m1 = 0.3kg，m2 = 0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2．求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮质量均不计）[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2 = 2a1，而力的关系为T1 = 2T2．m2FT1a1m1T2a2f1f2图2.3对两物体列运动方程得T2 - μm2g = m2a2，F – T1 – μm1g = m1a1．可以解得m2的加速度为= 4.78(m·s-2)，绳对它的拉力为= 1.35(N)． 2．4 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2．求证：（1）它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2．满足关系关系式；k1k2F(a)k1k2F图2.4(b)（2）它们并联起来时，总倔强系数k = k1 + k2．[解答]当力F将弹簧共拉长x时，有F = kx，其中k为总倔强系数．两个弹簧分别拉长x1和x2，产生的弹力分别为F1 = k1x1，F2 = k2x2．（1）由于弹簧串联，所以F = F1 = F2，x = x1 + x2，因此 ，即：．（2）由于弹簧并联，所以F = F1 + F2，x = x1 = x2，因此 kx = k1x1 + k2x2， 即：k = k1 + k2．2．5 如图所示，质量为m的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即图2.5摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T．（1）小车沿水平线作匀速运动；（2）小车以加速度沿水平方向运动；（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成φ角；（4）用与斜面平行的加速度把小车沿斜面往上推（设b1 = b）；（5）以同样大小的加速度（b2 = b），将小车从斜面上推下来．[解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力Tmgmaθ（2）的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg．（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于tanθ = ma/mg， 所以 θ = arctan(a/g)；绳子张力等于摆所受的拉力 ：．Tmgmaφθ（3）（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以θ = φ；T = mgcosφ．（4）根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延长，与水平辅助线相交，可得一直角三角形，θ角的对边是mbcosφ，邻边是mg + mbsinφ，由此可得：Tmgmbφθφ（4），Tmgmbφθ（5）因此角度为；而张力为．（5）与上一问相比，加速度的方向反向，只要将上一结果中的b改为-b就行了．lmθBCO图2.62．6 如图所示：质量为m =0.10kg的小球，拴在长度l =0.5m的轻绳子的一端，构成一个摆．摆动时，与竖直线的最大夹角为60°．求：（1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？（2）在θ < 60°的任一位置时，求小球速度v与θ的关系式．这时小球的加速度为多大？绳中的张力多大？（3）在θ = 60°时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？[解答]（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即F = -mgsinθ，负号表示角度θ增加的方向为正方向．lmθBCOmgT小球的运动方程为，其中s表示弧长．由于s = Rθ = lθ，所以速度为，因此，即 vdv = -glsinθdθ， （1）取积分 ，得 ，解得：= 2.21(m·s-1)．由于：，所以TB = 2mg = 1.96(N)．（2）由（1）式积分得，当 θ = 60º时，vC = 0，所以C = -lg/2，因此速度为．切向加速度为at = gsinθ；法向加速度为．由于TC – mgcosθ = man，所以张力为TC = mgcosθ + man = mg(3cosθ – 1)．（3）当 θ = 60º时，切向加速度为= 8.49(m·s-2)，法向加速度为 an = 0，绳子的拉力T = mg/2 = 0.49(N)．[注意]在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便．2．7 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下h高度时，它的速率多大？（要求用牛顿第二定律积分求解）[解答]小石块在运动中受到重力和轨道的支持力，合力方向沿着曲线方向．设切线与竖直方向的夹角为θ，则hθmNmg图2.7F = mgcosθ．小球的运动方程为，s表示弧长．由于，所以，因此 vdv = gcosθds = gdh，h表示石下落的高度．积分得 ，当h = 0时，v = 0，所以C = 0，因此速率为 ．2．8 质量为m的物体，最初静止于x0，在力(k为常数)作用下沿直线运动．证明物体在x处的速度大小v = [2k(1/x – 1/x0)/m]1/2．[证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程利用v = dx/dt，可得，因此方程变为，积分得 ．利用初始条件，当x = x0时，v = 0，所以C = -k/x0，因此，即 ． 证毕．[讨论]此题中，力是位置的函数：f = f(x)，利用变换可得方程：mvdv = f(x)dx，积分即可求解．如果f(x) = -k/xn，则得．（1）当n = 1时，可得利用初始条件x = x0时，v = 0，所以C = lnx0，因此 ，即 ．（2）如果n≠1，可得．利用初始条件x = x0时，v = 0，所以，因此 ，即 ． 当n = 2时，即证明了本题的结果．2．9 一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k．求：（1）小球速率随时间的变化关系v(t)；（2）小球上升到最大高度所花的时间T．[解答]（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程，分离变量得，积分得．当t = 0时，v = v0，所以，因此，小球速率随时间的变化关系为．（2）当小球运动到最高点时v = 0，所需要的时间为．[讨论]（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤：由于v = dx/dt，所以，即，积分得，当t = 0时，x = 0，所以，因此．（2）如果小球以v0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为，用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为．这个公式可将上面公式中的g改为-g得出．由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数vm = mg/k．2．10 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R．一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因数为μk．设物体在某时刻经A点时速率为v0，求此后时刻t物体的速率以及ARv0图2.10从A点开始所经过的路程．[解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即N = mv2/R．物体所受的摩擦力为f = -μkN，负号表示力的方向与速度的方向相反．根据牛顿第二定律得， 即 ： ．积分得：．当t = 0时，v = v0，所以，因此 ．解得 ．由于，积分得，当t = 0时，x = x0，所以C = 0，因此．2．11 如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直mRωθrmg图2.11直径的夹角θ表示．[解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为：F = mgtgθ．珠子做圆周运动的半径为r = Rsinθ．根据向心力公式得F = mgtgθ = mω2Rsinθ，可得，解得 ．(二)力学中的守恒定律2．12 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx，而位移x = Acosωt，其中k，A和ω都是常数．求在t = 0到t = π/2ω的时间间隔内弹力。