专题讲座专题讲座 行列式的计算方法行列式的计算方法 1.递推法递推法 例例 1 求行列式的值：（1）的构造是：主对角线元全为；主对角线上方第一条次对角线的元全为，下方第一条次对角线的元全为 1，其余元全为 0；即为三对角线型三对角线型又右下角的（n）表示 行列式为 n 阶解解 把类似于，但为 k 阶的三对角线型行列式记为 把（1）的行列式按第一列展开，有两项，一项是另一项是上面的行列式再按第一行展开，得乘一个 n – 2 阶行列式，这个 n – 2 阶行列式和原行列式的构造相同，于是有递推关系：（2） 移项，提取公因子 β：类似地：（递推计算） 直接计算若；否则，除以后移项：再一次用递推计算：∴， 当 β≠α （3） 当 β = α，从从而由（3）式，若∴注注 递推式（2）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程常系数齐次二阶线性差分方程. 注注 1 仿照例 1 的讨论，三对角线型的 n 阶行列式（3） 和三对角线型行列式（4） 有相同的递推关系式（5）（6） 注意注意两个序列和的起始值相同，递推关系式（5）和（6）的构造也相同，故必有由（4）式，的每一行都能提出一个因子 a ，故等于乘一个 n 阶行列式，这一个行列式就是例 1 的。
前面算出，故例例 2 计算 n 阶范德蒙行列式行列式解解:即 n 阶范德蒙行列式等于这 n 个数的所有可能的差的乘积2．拆元法．拆元法 例例 3：：计算行列式解解①×（x + a） ②×（x – a） 3．加边法．加边法 例例 4 计算行列式分析：这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同.根据这一特点,可采用加边法. 解解 4．数学归结法．数学归结法 例例 5 计算行列式解：解：猜测： 证明 （1）n = 1, 2, 3 时，命题成立假设 n≤k – 1 时命题成立,考察 n=k 的情形：故命题对一切自然数n 成立5.消去法求三对角线型行列式的值消去法求三对角线型行列式的值 例例 6 求 n 阶三对角线型行列式的值：（1）的构造是：主对角线元全为 2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的 元全为 1，其余的元全为 0解解 用消去法，把中主对角线下方第一条次对角线的元 1 全部消成 0：首先从第二行减去第一行的倍，于是第二行变为其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，则第三行变为再从第四行减去第三行的倍，则第四行变为类似地做下去，直到第 n 行减去第 n – 1 行的倍，则第 n 行变为最后所得的行列式为（2） 上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为93）又主对角线下方的元全为 0。
故的值等于（3）中各数的连乘积，即注注 3 一般的三对角线型行列式（4）也可以按上述消去法把次对角线元全部消去，得到一个三角型行列式，它的 值等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积6 乘以已知行列式乘以已知行列式 例例 7 求行列式的值：称为循环行列式，各行自左到右均由循环排列而得，并使主对角线元全为解解 设 1 的立方根为，即其中 i 是虚数单位，又 右乘以行列式则（1）用，得故（1）的行列式的第一列可由提出公因子，提后的元顺次为，类似地，（1）的行列式的第二列和第三列可提出公因子和 于是因互不相等，帮它们所构成的凡德蒙行列式的值不为零，可以从上式的左 右两边约去，得注注 4 在 n 阶的一般情形，设 1 的 n 次方根为则得行列式的值为这里的是由构成的 n 阶循环行列式：7 利用线性代数方程组的解利用线性代数方程组的解 例例 8 求 n 阶行列式的值：（1）的构造是：第 i 行的元顺次为又第 n 行的元顺次为 解解 （1）的行列式与凡德蒙行列式（2） 的比值可以看成线性代数方程组（3）的解如能解出，乘以凡德蒙行列式（2），即是原行列式 但方程组（3）又可以看成 n 次多项式方程（4）（t 是未知数，看作系数）有 n 个根用根与系数的关系，即得∴8 递推方程组方法递推方程组方法 例例 9 求行列式的值：（1）是 n 阶行列式（在右下角用（n）表示），其结构是：主对角线元全为 x ；主对角线上 方的元全为 y , 下方的元全为 z 。
解 从 （1）的行列式的第一列减第二列，第二列减第三列，…，第 n – 1 列减第 n 列，得（2） 上面的行列式按第一行展开，有两项，一项是（x – y）乘一个 n – 1 阶行列式，这个 n – 1阶行列式和（2）中的 n 阶行列式的构造相同，即上述展开的第一项可表示为； 展开的另一项是故递推式（3） 若 z = y，则上式化为（4） 类似地有又故可对（4）式递推计算如下：上面得到原行列式当 z = y 时的值下面讨论 z≠y 的情形 把（1）的行列式的 y 与 z 对调，这相当于原行列式的行与列互换，这样的做法，行列式的值不变于是 y 和 z 对调后，的值不变，这时（3）式变为（5）从（3）与（5）（递推方程组）消去，即（3）式乘以（x – z），（5）乘以（x – y）， 相减得∴注注 5 当 z = y 时，行列式也可以用极限计算：又行列式当 z = y 时可以用余式定理来做。