第四章几种重要的分布

第四章 几种重要的分布在这一章，我们要介绍几种重要的分布首先介绍离散型随机变量的分布§4.1 常用的离散型随机变量的分布一、退化分布在所有分布中，最简单的分布是退化分布，即一个随机变量 以概率1取一常X数，即 ()1PXa则称 服从 处的退化分布0ED二、0-1 分布前面我们学习了贝努力试验对于贝努力试验，只有两个结果：成功或失败（和 ），如抛一枚银币（正、反）；检查一件产品（合格、不合格）；一次A射击（命中、不命中），都可看做一个贝努力试验在一次试验中，设成功的概率为 ， ， ，不同的 表p()PA()1pqp示不同的贝努力试验如检查一批产品中， =0.9， =0.1（ 合 格 品 ()P不 合 格 品用来描述贝努力试验的随机变量分布为0-1分布，0，1代表将试验的两个结果定义为0，1.即随机变量 只可能取0，1两X个值，它的分布律为 1()()0,)iiPXp0PXp称 服从（0-1）分布0 1 EXp()Dp三、二项分布由n个相同的独立的贝努力试验组成的随机试验称为n重贝努力试验如抛硬币3次，检查7个产品，打100次靶等都属于多重贝努力试验。

1.定义：在n重贝努力试验中，每次试验事件 发生的概率都为 ，设A(01)p为n次试验中事件A发生的次数，则 的可能取值为0，1，2，XX,nJ()(1),0,1knknPXCpn不难验证（1） （2）()0()1kPX称随机变量 服从参数为 和 的二项分布，记作np~(,)Bnp的值恰好是二项式 展开式中第 项 的系数因此我们称该分布为()PXkn（ x+q） 1kkx二项分布其中，当 时， 称 服从（0-1 ）两点分布1n1()()0,)iiPXpX事件Ａ至多出现m次的概率是 mkn-=0P{0}Cq事件Ａ出现次数不小于l不大于 m 的概率是mkn-=l{}PX例 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率. 解: 因为这是有放回地取 3次，因此这 3 次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数，则 ~(,0.5)XB于是，所求概率为： 23()9.07125PC例：一个袋子中装有 个球，其中 个白球， 个黑球（ ），每次从中任N12NN取一个球，查看完颜色后再放回去，一共取了 次，求取到白球数 的分布。

nX解：由于是放回试验，每次取球为1次试验，n次取球可视为 重贝努力试验，每次取到白球的概率为 ，故 分布为1p1~(,)XB()()0,knknNPXCn贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；（2）每次试验只考虑两个互逆结果A 或 , ， A()Pp()1Apq(3）各次试验相互独立简单的说：二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布.J例：某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 ~(3,0.8)XB33()(0.8)2,kkPC1(1)0.4PX把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为“成功”.每次试验,“成功”的概率为0.82.二项分布的期望和方差期望：nk0E(X)P{}=×ån-knk0 p(1)kC=×n n-k0!p(1)()=- k-(n1)-k1!q ()[]!=-k-(n)-nk1!q ()[]!=-n k-1(n)-k1k1(1)p![]!p=-å（ ）1(1)10nknkkC----= 1(q)p.n-=+方差： 220!()()()nknkkEXp1!(1)()knkp1!1()n nkk1!()knkp1 1! !()(1)()()n nkk knkkp  2 1! !()()()()n nkk knkk p  22110 01()n nl ljnjnl jCpC 2 122110 0()() ()n nl ljnjnl jp  J2 12 10 0=(1)(1)()n nlnljnjl jpCpCp2()pn22()D3.二项分布最可能的值二项分布中 可以取值 。

使概率 取最大值的 ，记作 ，称X0,1,n ()PXkk0k为二项分布的最可能值00P(=k) ()-1() (2) k+0P(=)1-00knk011n()PCPq=1q00(nk)p00p0 knp0P=1(+)00knk11n0()Pq=1C-kq(-p p0 n10n+-1 k=p 和 当 为 整 数 时其 他而且从二项分布的图形特点也可以看出来：对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少.例：某批产品中有８０％的一等品，对它们进行重复抽样检验，共取出４个样品，求其中一等品数ξ的最可能值，并用贝努里公式验证解　 服从二项分布，X~(4,0.8)XB是整数，所以 时 为最大即取出４个样3.208np003k和 0()PXk品时，一等品个数最可能是３或４用贝努公式计算 的分布律下X0 1 2 3 4P0.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.4096J例：某人进行射击，命中率为0.02，射击400次，至少击中2次的概率解：由题意设击中次数为 ， X~(40,.2)B40()(.2).98,1kkkPXC4013921().98.08.72PC 可以看出计算量非常大。

因此必须寻求近似方法说明：尽管每一次射击的命中率非常小，但如果射击的次数很大，命中目标的概率就非常大四、普哇松分布在历史上普哇松分布是作为二项分布的近似函数，于1837年有法国数学家普哇松（Poisson）首次提出1.定义如果随机变量 的概率函数为Xk~{},0,12. !Pe其中 ，则称 服从普哇松(Poisson) 分布0利用级数 ，k=0e!xkk=0=0ee1!!近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一在实际中，许多随机现象服从或近似服从普哇松分布像某交换台收到的呼叫数；到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数 ;一台纺纱机的断头数 ;一匹布上的疵点个数；一本书中的错别字个数等等都可近似服从普哇松分布由此普哇松分布总与计数过程有关，且在一定时间内，一定区域内或一定单位内的前提下进行的普哇松分布的方便之处在于其概率的计算可以利用普哇松分布表查表练习2.普哇松定理：在n重贝努力试验中，事件A 在每次试验中发生的概率为 （这里与n有关），如果pn时， （ 为常数），则对任意的 ，有pklim(;,)!knnbke定理的条件意味着当 n很大时， 必定很小. 因此，泊松定理表明，当 n 很大，p np很小时有以下近似式： 其中(1)!kkneCnpJ在实际中，当 时，该近似公式适用。

当 效果比较好，可20,.5np10,np通过查表进行计算如例题中可用普哇松分布来计算： 40,.2,8npk8~{},,12. !XPe，8(0)8()X(查表计算) 21010.97P可进行比较，与精确计算很接近，说明近似效果良好3.期望和方差的计算期望kk10() ;!()!EXe方差：mm2201()!()!e2=D例1 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数λ=5的泊松分布来描述，为了以95% 以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解：设该商品每月的销售数为X ，已知X 服从参数λ=5的泊松分布.设商店在月底应进某种商品m 件，求满足 的最小的m )0.95PX50().9!kmPe通过查表可得 590.68,!kk50.932!kke因此，例：设某城市每年因交通事故死亡的人数服从普哇松分布，据统计在一年中交通事故死亡一人的概率是死亡两人概率的0.5倍，计算一年中因交通事故至少死亡3人的概率解： 表示一年中因交通事故死亡的人数由此 服从参数 的普哇松分布XXk~{},0,12. !PeJ 1()(2)PX21e430()()0.32PXPX五、几何分布例：某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率为 ，求所需p射击发数 的概率函数。

X解：显然， 的可能取值为 1,2为计算 ，设()Pk1,2kAk第 发 命 中 ，； ；1Xp()()()PXAp,223()()1,kPk这就是所需射击发数 的概率函数X若随机变量的概率函数如上式，则称 具有几何分布1.定义：在独立重复试验中，事件 发生的概率为 ，设 为直到 发生为止所进行ApXA的试验的次数， （ 的可能取值为全体正整），则称 服从参数为 的几何分布.11()(),2,kkPXpqp p2.期望和方差 11kkEqpq令 1231 4kS 12341kS21() 12pEXp同理验证 21qp2qDXJ例：设 服从几何分布，则对任何两个正整数 ，有X,mn()()PmnPXn证明： 1kmmqp()() ()nmPXPXnPXn 该性质称为几何分布的无记忆性，指几何分布对过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗失了六、超几何分布例１　某班有学生２０名，其中有５名女同学，今从班上任选４名学生去参观展览，被选到的女同学数ξ是一个随机变量，求ξ的分布。

解　ξ可以取０，１，２，３，４这５个值， k45120CP(=) (=,234)计算结果列成概率分布表如下：ξ 0 1 2 3 4p 0.2817 0.4696 0.2167 0.0310 0.0010例：一个袋子中装有 个球，其中 个白球， 个黑球（ ），从中不放回N12N12N的取了 个球，求取到白球数 的分布nX解： 12(),0,1knNCPXn1.定义：设 个元素分为两类，有 个属于第一类， 个属于第二类（ ）1N2N12N从中按不重复抽样取 个，令 表示这 个中第一（或二）类元素的个数，则 的分布XX称为超几何分布其概率函数是 12(),0,1knNCPXn当 (即抽取个数远远小于总数 )每次抽取后，总体中 改变很小，n=N1Np这时 不放回抽样等同于放回抽样，即超几何分布可近似为二项分布 12knNknCP() pqXJ例３　一大批种子的发芽率为90％，今从中任取10粒，求播种后，（１）恰有8粒发芽的概率；（２）不少于8粒发芽的概率解　设10粒种子中发芽的种子数目为 因10粒种子是由一大批种子中抽取的，这是一个Ｎ很X大，n相对于Ｎ很小的情况下的超几何分布问题，可用二项分布公式近似计算。

~(10,.9)XB82) P=C.01.93781010(2)C.9.282.期望和方差1NE=n12-nD§4.1 常用的连续型随机变量的分布一、均匀分布例：某办事员处理一。