一种弧度较小圆弧的精密测量分析李林 深圳市金洲精工科技股份有限公司摘要 在圆弧直径的精密测量中，常用的精密方法是在万能工具显微镜用弓高弦长法或三坐标测量仪上用三（或多）点法进行测量计算得到圆弧的直径，在此对圆弧的测量误差情况及如何提高测量精度进行一定的分析和探讨关键词 圆弧测量，误差分析，三坐标，直径A radian smaller arc precision measuring analysisAbstract：The diameter of the precision measurements in circular arc, commonly used in precision method is in universal tool microscope at fostering both high with a bow strings on three coordinates measuring instrument or with three (or more) method calculated the measured in this circular diameter of arc measurement error and how to improve the measurement precision is certain analysis and discussion. Keywords： arc measurement, error analysis, three coordinates, diameter 1 引言 在弧度较小圆弧直径的测量过程中，常常会发现无论是在万能工具显微镜用弓高弦长法或三（或多）点法进行测量或三坐标测量仪上用三（或多）点法进行测量，往往测量结果都会存在较大的误差，特别是在弧度较小而圆弧直径又较大的情况下，测量的偏差会更大。
而随着现代工业的发展，受到加工机床行程的限制，对某些大型的圆形产品分拆成多弧段加工，或者有些本身就是圆弧形的产品，对其尺寸公差要求在±0.02mm 以下，用上述的方法在测量过程中发现很难保证测量的精度要求，往往有的时候偏差甚至很大，而且对测量人员的技术水平及经念的要求很高例如：在用弓高弦长法测量直径时，有如下函数关系式：D＝S 2／(4h)＋h其中 D 表示直径，S 表示弦长，h 表示弓高由上示可求出直径测量的误差公式为： △ D={ [S／(2h)] 2△ S2+[S2 ／(2h) 2－１] 2△ h2}1/2由上式可知，为使△ D 最小，必须：1、S／(2h)=0 或为最小，满足 S／(2h)=0，必须是 S 为零，此时 h 也为零，而这是没有实际的测量意义的若满足 S／(2h)为最小，则需要 h 越大越好，即 S值越接近直径越好2、S 2 ／(2h) 2－１=0，满足此条件必须 S=2h，即要求测量直径从上面的分析可以看出，在对弧度较小的圆弧直径测量时，无法得到较大的 h值，同时在万能工具显微镜上对弦长的测量中，由于在影像测量时人的视差的原因，△ S 及 △ h 也会较大，因此很难达到较高的测量精度要求。
弓高弦长法测量直径可看作是特殊的三点法测量直径，相对于三点法其数学模型简单，更便于分析因此上面两点结论对三点法测量直径同样适用因为在后述精密的测量方法中是基于三（或多）点的方式得到精密测量的结果，所以在下面的讨论中主要以三点法来分析由于三点法涉及的参数较多，在此假设测量时只有一个点的测量存在误差，其余两点为理论点，这样可更直观了解测量误差对测量结果的影响程度，下表一例出了用三点法测量在相同半径大小的条件下不同弧径比 θ=L/R＜120°（L 表示弧长）及测量点存在不同偏差时对测量圆弧半径的影响，表二列出了在相同偏差相同弧径比条件下不同半径大小时测量结果的影响：表一 不同坐标测量偏差和不同弧径比影响表测量点坐标X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 测量 R偏差△R θ-40.200 296.957 300.000 0-42.195 296.952 297.772 -2.228-42.190 296.947 38.000 297.288 -241.53 177.410 297.818 -2.18245.96 113.720 277.360 300.000 0113.715 277.355 299.965 -0.035 113.710 277.350 38.000 297.288 -241.530 177.410 299.930 -0.070 75.910 274.883 120.210 300.000 0274.878 120.205 299.992 -0.008 274.873 120.200 38.000 297.288 -241.530 177.410 299.986 -0.014 119.98 表二 相同坐标测量偏差相同弧径比不同半径影响表测量点坐标X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 测量 R偏差△ R θ30.753 39.589 50.000 030.743 39.579 6.900 49.520 -30.320 39.520 49.959 -0.04161.867 78.261 100.000 061.857 78.251 14.420 99.040 -60.650 80.140 99.959 -0.041183.546 236.641 300.000 0183.536 236.631 41.383 297.130 -183.150 238.540 299.959 -0.041306.860 393.321 500.000 0306.850 393.311 68.970 494.180 -302.600 397.560 499.958 -0.04275.290 从表一可以看出，在弧径比越小，半径越大的情况下，测量偏差的微小增加对圆弧半径的测量结果都会产生较大的影响，造成测量结果失真，无法正确判断产品的加工质量情况；而从表二的数据看来，在相同测量误差的情况下，测量圆弧的绝对误差变化不大，这时存在的主要问题是直径越大，在影像测量时测量坐标值的偏差就会越大。
2 数学模型在上表中，直观地反映了测量坐标点对产品测量结果的影响情况，在此列出其数学关系式设测量三坐标点对应构成的三角形的三内角及三边分别为如图一所示 A、B、C 、a、b、c ，ABabc图 一则有如下关系式：a2＝（X 2－X 1） 2＋（Y 2－Y 1） 2b2＝（X 3－X 2） 2＋（Y 3－Y 2） 2c2＝（X 1－X 3） 2＋（Y 1－Y 3） 2cosA=（ b2 +c2 -a2）／(2bc)D＝a／ sinA由此，可以得出关于三点测量的圆弧半径关系式：D＝f（X 1 ,Y1, X2 ,Y2, X3 ,Y3）根据上式可算出由于测点坐标位置偏差产生的测量直径偏差函数关系式为：△ D=[(әf/әx1)2△ x12+(әf/әx2)2△ x22+(әf/әx3)2△ x32+(әf/әY1)2△ Y12+(әf/ әY2)2△ Y22+(әf/ әY3)2△ Y32]1/2通过上述函数关系式可作出在不同直径不同弧径比不同测量坐标偏差对测量直径的影响曲线，并由此曲线作为在不同测量偏差情况下对测量方法的一个选择3 误差分析1、 在使用万能工具显微镜进行圆弧坐标测量时，如图一所示（双箭头表示测量仪的坐标轴移动方向） ，通过测量十字线的交点与圆弧待测量点的位置重合而得到坐标值，如此测量三点可计算出圆弧直径。
在测量过程中，选择一条直线与待测圆弧相切并使十字线中心与圆弧切点接近，然后根据十字线中心与圆弧切线的偏差情况微调仪器 X、Y 轴方向保证切点与十字线中心重合并读数而得到该点的坐标值在这一测量过程中产生测量误差的原因在于当测量十字线中心点与圆弧切点接近的时候，由于人员的视差，无法精确地移动仪器十字线中心点与圆弧切点的完全重合，从而产生测量点的坐标位置误差，造成计算出的圆弧直径存在偏差当圆弧直径越大，圆弧的曲率越小，在圆弧的较小区域内弧形轮廓可近似于直线，这时测量十字线与圆弧相切后更难于判断十字线中心点与圆弧切点的重合位置，所以产生的测量误差就越大由于人员的视差客观存在，因此在进行精密圆弧直径的测量前，根据圆弧直径大小、圆弧长度、测量人员的视差及仪器的测量不确定度，用前述数学模型分析计算，确定该测量过程产生的测量偏差是否能满足对待测圆弧的测量精度要求，并由此判断该测量方案是否可行另外，在使用万能工具显微镜进行测量时，由于受到仪器量程的限制，对较大圆弧的测量时因为可测量的弧长较小而会产生很大的测量误差，甚至无法进行测量 R测 量 十 字 线图二2、在使用三坐标测量仪进行测量时，如果触测传感器的测量球移动的矢量方向与测点的法线方向重合，除了仪器本身的系统误差外，不会产生新的测量误差。
如图三所示，当测量球的矢量方向与测量点的法线方向之间存在一定的夹角时，将会产生新的测量误差，造成测量结果偏差很大因为当测量球的矢量方向与测量点的法向之间存在夹角时，测量球与待测点接触到触发传感器这前，在力的作用下，测量球将会产生漂移，从而产生测量点的坐标位置偏差，造成测量误差的产生此误差的大小与测量球的大小，待测圆弧的大小、圆弧与测量球之间的摩擦系数及测量球移动的矢量方向与测量点的法向之间夹角的大小有关，还与测量是内孔还是外圆有关从上述产生测量误差的项目中，测量球的选择及如何保证测量球移动的矢量方向与测量点的法向之间夹角的最小是可以进行控制的，因此在三坐标测量仪精确地测量圆弧时，应合理地选择测量球的直径大小 【3】 ，在建立测量程序的过程中尽可能地使测量球移动的矢量方向与测点的法线方向重合测 点 法 向触 测 矢 量 方 向 R测量球图三4、结论从上面的分析可以看出，在使用万能工具显微镜进行圆弧直径的测量时，由于人为视差的客观存在且不可避免或无法减小其影响，在一些特定条件下无法进行较为精密的圆弧直径测量，另外受量程的限制，对于较大直径的尺寸也无法进行很精密的测量在此选择三坐标测量仪进行测量，为了提高测量精度，可采用如下方法：1）建立圆弧产品的精密坐标系。
选择与待测圆弧之间有精密位置关系的精加工较长直边或距离较远的两个精加工圆孔，如果没有，可在产品设计中增加工艺圆孔，并以此为基准建立产品的精密坐标系2）为了计算方便，根据待测圆弧与第一步所建立坐标系之间的关系，进行坐标平移和（或）坐标旋转，建立以待测圆弧圆心为原点的新的坐标系3）根据第二步的产品坐标系确定待测量圆弧测量起点和终点相对坐标基准轴的转角，然后采用自动测量圆的方式，输入测量起点与测量终点位置进行自动圆弧的测量4）如杲产品表面没有自动测量圆所要求的参考平面存在，或者产品上不是一个连续的圆弧，这时不再适合采用自动测量圆的方式进行测量，这时可以导入产品的三维图，在圆弧不同位置采点建立测量程序并运行程序进行点的测量，由测量点构造圆，得到圆的直径；或者采用自动测量点的方式进行，根据第二步建立的坐标系，通过计算得出圆弧上若干点的坐标值及其对应的矢量方向，然后把这些点的坐标值及矢量方向分别输入自动测量点模块的相应位置，建立起这些点的测量程序，并由这些点构造圆，然后运行这些程序得出圆弧直径按此步骤操作的人员应对三坐标测量仪相当的熟悉，应保证测量点及相应的矢量方向计算及输入正确，并注意测量球在测量圆弧轴向参数的设制，避免仪器的误动作。
）5）在上述测量过程中，涉及到圆的自动测量，而圆的自动测量对圆与其相关的参考平面之间有垂直度要求，如果垂直度偏差较大，则在参考平面上的测量圆将会不是圆，而是一个椭圆，这是在用三坐标测量仪进行测量时应考虑的另外需注意由于产品的加工误差带来的在第二步建立的产品理论坐标系与实际坐标系不重合及在第四步计算坐标值与产品实际坐标值不重合产生的影响等参考文献[1]费业泰 主编，误差理论与数据处理[M].北京：机械工业出版社，。