重点强化训练(二) 平面向量A组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(20xx·石家庄模拟)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( )A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向 D．存在正实数λ，使a＝λbD [因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|.则a与b共线同向，故D正确．]2．(20xx·全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )A．1 B．2 C．3 D．5A [|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.]3．(20xx·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件D [若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．]4．在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，若|＋|＝，α∈(0，π)，则与的夹角为( )【导学号：57962227】A. B．C.π D．πA [由题意，得＋＝(3＋cos α，sin α)，所以|＋|＝＝＝，即cos α＝，因为α∈(0，π)，所以α＝，C.设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.因为θ∈[0，π]，所以θ＝.]5．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E段AB上运动，则·的取值范围是( )A. B．C. D．[0,1]C [将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.又M，C(1,1)，所以＝，＝(1－x,1)，所以·＝·(1－x,1)＝(1－x)2＋.因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即·的取值范围是.]二、填空题6．设O是坐标原点，已知＝(k,12)，＝(10，k)，＝(4,5)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为________．11或－2 [由题意得＝－＝(k－4,7)，＝－＝(6，k－5)，所以(k－4)(k－5)＝6×7，即k＝11或k＝－2.]7．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|＋|＝|－|，其中O为原点，则正实数a的值为________.【导学号：57962228】2 [由|＋|＝|－|，知⊥，∴|AB|＝2，则得点O到AB的距离d＝，∴＝，解得a＝2(a>0)．]8．在△ABC中，BC＝2，A＝，则·的最小值为________．－ [由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ≥2AB·AC＋AB·AC＝3AB·AC，又BC＝2，则AB·AC≤，所以·＝||·||·cos ≥－，(·)min＝－，当且仅当AB＝AC时等号取得．]三、解答题9．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R)．(1)若m＝n＝，求||；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．[解] (1)∵m＝n＝，＝(1,2)，＝(2,1)，∴＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)，3分∴||＝＝2. 5分(2)∵＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，∴ 8分两式相减，得m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1. 12分10．设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．[解] (1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 3分又x∈，从而sin x＝，所以x＝. 5分(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，8分当x＝∈时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为. 12分B组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(20xx·吉林延边模拟)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝3，设＝a，＝b，＝ma－2b，若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则m＝( )A．－4 B．3 C．－11 D．10C [a·b＝2×3×cos 60°＝3，＝－＝b－a，＝－OA＝(m－1)a－2b.∵AB⊥AC，∴·＝0，即(b－a)·[(m－1)a－2b]＝0，∴(1－m)a2－2b2＋(m－1)a·b＋2a·b＝0，即4(1－m)－18＋3(m－1)＋6＝0，解得m＝－11.故选C.]2．(20xx·浙江高考)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若e为平面单位向量，则|a·e|＋|b·e|的最大值是________． [∵a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1×2×cos〈a，b〉＝1，∴cos〈a，b〉＝，∴〈a，b〉＝60°.以a的起点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，则a＝(1,0)，b＝(1，)．设e＝(cos θ，sin θ)，则|a·e|＋|b·e|＝|cos θ|＋|cos θ＋sin θ|≤|cos θ|＋|cos θ|＋|sin θ|＝2|cos θ|＋|sin θ|≤＝.]3．已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.(1)求函数y＝f(x)的递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值.【导学号：57962229】[解] (1)f(x)＝a·b＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos， 2分令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴f(x)的递减区间为(k∈Z). 5分(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，∴cos＝－1. 7分又<2A＋<，∴2A＋＝π，即A＝. 9分∵a＝，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.①∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，∴2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c，②由①②可得b＝3，c＝2. 12分。