理论力学竞赛培训理论力学竞赛培训武汉大学土建学院力学系武汉大学土建学院力学系徐金虎运动学部分运动学部分基本理论基本理论一. 点的运动学和刚体基本运动•1. 点的运动学点的运动学有三种常用的研究方法，其中直角坐标法和自然坐标法是重点，这两种方法结合解题的方法要掌握矢径：选取参考系上某确定点O为坐标原点，自点O向动点M作矢量r，称r为点M相对于原点O的位置矢量，简称矢径速度：动点的速度矢等于它的矢径 对时间的一阶导数即：运动方程： r= r(t) ，即为以矢量表示的点的运动方程1）矢量法）矢量法运动轨迹：矢径r的矢端曲线即是动点M的运动轨迹drvdt=或：vr=单位：/m s加速度：点的速度矢对时间的变化率即：2）直角坐标法）直角坐标法轨迹：以直角坐标表示的点的运动方程实际上也是点的轨迹的参数方程消去时间 ，即为点的轨迹方程此即以直角坐标表示的点的运动方程运动方程：取一固定的直角坐标系Oxyz，则动点M在任意瞬时的空间位置可用它的三个直角坐标x，y，z表示由：r=xi+yj+zk，是时间的单值连续函数，则x，y，z也是时间的单值连续函数或：单位：22dvd radtdt==avr==2/m s( )1xft=( )2yft=( )3zft=速度：由于i、j、k都是大小、方向不变的恒矢量。
因此有：分别为速度 在三个轴上的投影又：即：其中：加速度：同理有vrxiyjzk==++xyzvv iv jv k=++xyzvvv、、xyzxyzaa ia ja kv iv jv kxiyjzk=++=++=++xxavx==yyavy==zzavz==3）自然法）自然法弧坐标：在动点轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长确定，视弧长s为代数量，称它为动点M在轨迹上的弧坐标运动方程：当动点M运动时，s随时间变化，它是时间的单值连续函数，即：s = f(t)，此式称为点沿轨迹的运动方程，或以弧坐标表示的点的运动方程以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然轴过点M并与切线垂直的平面称为法平面，法平面与密切面的交线称为主法线令主法线的单位矢量为n，指向曲线内凹的一侧过点M且垂直于切线及主法线的直线称为副法线，其单位矢量为b，指向与τ 、n构成正交的右手系，即： b = τ×n自然轴系：在点的运动轨迹上取极近的两点M和M1，其间的弧长为⊿s，这两点的切线的单位矢量分别为τ1和τ2 ，其指向与弧坐标正向一致，将 平移至点M，则τ1和τ2决定一平面。
令M1无限趋近于点M，则此平面趋近于某一极限位置，此极限平面称为曲线在点M的密切面曲率：表示曲线的弯曲程度定义为曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值曲率半径：曲率的倒数用ρ表示所以有：当⊿s→0时，⊿φ→0，⊿τ与τ垂直，并且由弧坐标及自然轴的定义，可以导出因此01lim sd sdsϕϕ ρ∆ →∆==∆2sin2ϕττ∆∆=1τ=τϕ∆∆00limlim ssdnndsssττϕ ρ∆ →∆ →∆∆===∆∆速度：其中速度的大小：加速度：当a与切向单位矢量τ的夹角为锐角时θ为正，否则为负它与法线之间的夹角的正切为式中：全加速度a：必在密切面内其大小为dsvvdtττ==dsvdt=nnaaaaa nτττ=+=+dvadtτ=2nvaρ=22 naaaτ=+tanna aτθ=曲线匀变速运动：动点的切向加速度的代数值保持不变，即aτ为恒量由：积分有：直线运动：曲率半径ρ→∞ ，任何瞬时，点的法向加速度始终为零曲线匀速运动：动点速度的代数值保持不变即aτ =0，有再积分有：式中：s0、v0分别是在t=0时，点的弧坐标和速度dva dtτ=0vva tτ=+2 001 2ssv ta tτ=++0ssvt=+•2. 刚体平动的特征刚体平动的特征刚体的平动，指刚体的平行移动，即如果在物体内任取地直线段，在运动过程中这条直线段始终与它的初始位置平行。
转轴：通过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体的转轴定义：刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动，则这种运动称为刚体绕定轴的转动⑴ 当刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同⑵ 研究刚体的平动，可以归结为研究刚体内任一点（如质心）的运动，即归结为点的运动学问题•3. 刚体定轴转动刚体定轴转动转角：为确定转动刚体的位置，取其转轴为z轴通过轴线作一固定平面A；此外，通过轴线再作一动平面B同刚体固结一起转动两个平面之间的夹角用φ表示，称为刚体的转角代数量，单位是弧度（rad）是代数量，有正负，从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时，角速度取正值定轴转动的刚体只有一个自由度（转角φ ）刚体的瞬时角速度：刚体绕定轴转动的运动方程：( )f tϕ=d dtϕω=刚体的瞬时角加速度：单位：rad/s22dd dtdtωϕε==单位：rad/s2，也是代数量ω与ε同号，加速转动；ω与ε异号，减速转动转动刚体内一点的速度：v=rω ，即转动刚体内任一点的速度的大小，等于刚体的角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方切向加速度：定轴转动时，刚体内各点速度和加速度的分布规律：a与半径夹角θ的正切：法向加速度：所以动点的加速度a：大小为asRRτϕε===2 2 nvaRωρ==2224 naaaRτεω=+=+22tannaR aRτεεθωω===① 在每瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。
② 在每瞬时，刚体内所有各点的加速度与半径间的夹角都有相同的值1. 一个点、两种坐标、三种运动相对运动：动点相对于动参考系的运动定系（定参考系）：一般选固定于地球上的坐标系以Oxyz表示相对轨迹、相对速度、相对加速度：指动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动动系（动参考系）：固定于其它相对于地球运动的参考体上的坐标系以O’x’y’z’表示绝对运动：动点相对于定系的运动二. 点的合成运动绝对轨迹、绝对速度、绝对加速度：指动点在绝对运动中的轨迹、速度和另速度牵连速度、牵连加速度：在动参考系上与动点重合的那一点（牵连点）的速度和加速度其中：3. 加速度合成定理加速度合成定理动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和2. 速度合成定理速度合成定理aervvv=+aercaaaa=++2cravω=×则4. 科氏加速度产生的原因和计算科氏加速度产生的原因和计算（科里奥利加速度，1832年发现）其大小为：由：科氏加速度是由于动系为转动时，牵连运动与相对运动相互影响而产生的。
详细的说明见《理论力学》哈工大第六版P179～180所以：牵连运动为平动时0ca =aeraaa=+r rerdvavdtω=+×e eerdvavdtω=+×2aer errdvdvdvaavdtdtdtω=+=++×2cravω=×式中： θ为ω与vr两矢量之间的最小夹角且矢量ac垂直于ω和vr2sincravωθ=1. 定义和运动方程定义和运动方程定义：在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动运动方程：平面运动刚体上的各点都在平行于某一固定平面的平面内运动刚体的平面运动可以简化为平面图形在它自身平面内的运动平面图形在其平面上的位置完全可由图形内任意线段O’M的位置来确定而要确定此线段在平面内的位置，只需确定线段上任一点O’的位置和线段O’M与固定坐标轴x间的夹角φ即可三. 刚体平面运动( )( )( )''123, , OOxftyftftϕ===2. 平面运动的分解平面运动的分解对于任意的平面运动，可在平面图形上任取一点O’，称为基点在这一点假想地安上一个平动的参考系O’x’y’z’ ；平面图形运动时，动坐标轴方向始终保持不变（可令其分别平行于定坐标轴Ox和Oy）。
于是，平面图形的平面运动可看成随同基点的平动和绕基点转动这两部分运动的合成结论：平面运动可取任意基点而分解为平动和转动，其中平动的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关3. 平面图形上各点的速度平面图形上各点的速度⑴ 基点法：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度定理：一般情况下，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点此点称为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心⑵ 速度投影定理：同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等⑶ 瞬心法''MOMOvvv=+()()BAABABvv=确定速度瞬心位置的方法：① 平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动（纯滚动）图形与固定面的接触点就是图形的速度瞬心③ 已知图形上两点A和B的速度相互平行② 已知图形内任意两点A和B的速度方向④ 某瞬时，图形上两点A和B的速度相等，速度瞬心在无限远处，平面图形瞬时平动4. 平面图形上各点的加速度平面图形上各点的加速度基点法求点的加速度合成公式为：平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。
n BABABAaaaaτ=++解题解题一.点的运动学基础1. 题目类型及解题步骤题目类型及解题步骤⑴ 已知机构的运动情况，求点的运动方程选择适当的坐标系若已知点的轨迹，常用自然坐标系；若轨迹未知，可用直角坐标系先将动点置于任意位置（非特殊位置），选一适当参变量（通常为构件的转角 或某两点的距离 ），根据几何关系将动点的位置坐标，表示为参变量的函数再根据机构已知的运动条件，把独立参变量表示为时间“t”的函数，便得到点的运动方程先按直角坐标法表示出点的速度v和加速度a，再将加速度分解为切向加速度aτ和法向加速度an两个分量这两个分量可按下式求出：求点在某瞬时的切向加速度aτ和法向加速度an及轨迹在该点处的曲率半径已知用直角坐标法表示的点的运动方程：⑶ 直角坐标法与自然坐标法的转换⑵ 已知运动方程，求点的轨迹及指定瞬时点的速度、加速度将运动方程中的“t”消去，即得到点的轨迹方程将运动方程分别对时间“t”求一阶导数和二阶导数，就得到点的速度和加速度方程将指定瞬时t1代入，即令t = t1 ，就得到瞬时动点的速度和加速度 )( )( )123, , xftyftzft===然后再由求出轨迹在该点处的曲率半径 ρ根据题意确定点的初始位置及运动状态，将有关的运动量进行积分计算。
由点的运动初始条件定出积分常数或确定积分下限，即可得到该点的运动方程⑷ 已知速度、加速度的变化规律，求点的运动方程若要求用自然法表示的运动方程，可通过积分求得222dvddxdydzadtdtdtdtdtτ==++22 naaaτ=−2nv aρ=0tsv dt=⋅∫① 如已知( )af v=求( )vv t=( )ss t=因为所以从而解出即两边积分有① 如已知( )af v=求( )vv t=( )ss t=dvadt=( )dvf vdt=( )dvdtf v=( )00vtvtdvdtf v=∫∫( )vv t=( )ss t=还需解出从上式可以解出② 如已知( )af s=求( )vv t=( )ss t=因为所以从而解出两边积分( )dvdv dsdvavf sdtds dtds==⋅= ⋅=( )vdvf 。