. . 高等数学第六版上册课后习题答案 第一章 习题1-1 1.设A=(-¥,-5)È(5,+¥),B=[-10, 3),写出AÈB,AÇB,A\B与A\(A\B)的表达式. 解 AÈB=(-¥, 3)È(5,+¥),AÇB=[-10,-5),A\B=(-¥,-10)È(5,+¥),A\(A\B)=[-10,-5).2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律: (AÇB)C=AC ÈBC.证明 因为xÎ(AÇB)CÛxÏAÇBÛ xÏA或xÏBÛ xÎAC或xÎBCÛ xÎAC ÈBC,所以 (AÇB)C=AC ÈBC. 3.设映射f:X®Y,AÌX,BÌX.证明(1)f(AÈB)=f(A)Èf(B); (2)f(AÇB)Ìf(A)Çf(B). 证明 因为yÎf(AÈB)Û$xÎAÈB, 使f(x)=yÛ(因为xÎA或xÎB) yÎf(A)或yÎf(B)Û yÎf(A)Èf(B),所以 f(AÈB)=f(A)Èf(B).(2)因为yÎf(AÇB)Þ$xÎAÇB, 使f(x)=yÛ(因为xÎA且xÎB) yÎf(A)且yÎf(B)Þ yÎ f(A)Çf(B),所以 f(AÇB)Ìf(A)Çf(B). 4.设映射f:X®Y, 若存在一个映射g:Y®X,使,,其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一个xÎX,有IXx=x;对于每一个yÎY,有IYy=y.证明:f是双射,且g是f的逆映射:g=f-1. 证明 因为对于任意的yÎY,有x=g(y)ÎX,且f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,即Y中任意元素都是X中某元素的像,所以f为X到Y的满射. 又因为对于任意的x1¹x2,必有f(x1)¹f(x2),否则若f(x1)=f(x2)Þg[ f(x1)]=g[f(x2)]Þ x1=x2.因此f既是单射,又是满射,即f是双射. 对于映射g:Y®X,因为对每个yÎY,有g(y)=xÎX,且满足f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,按逆映射的定义,g是f的逆映射. 5.设映射f:X®Y,AÌX.证明:(1)f-1(f(A))ÉA; (2)当f是单射时,有f-1(f(A))=A. 证明 (1)因为xÎA Þf(x)=yÎf(A)Þf -1(y)=xÎf-1(f(A)),所以 f-1(f(A))ÉA.(2)由(1)知f-1(f(A))ÉA. 另一方面,对于任意的xÎf-1(f(A))Þ存在yÎf(A),使f-1(y)=xÞf(x)=y. 因为yÎf(A)且f是单射,所以xÎA. 这就证明了f-1(f(A))ÌA. 因此f-1(f(A))=A. 6. 求以下函数的自然定义域: (1);解由3x+2³0得.函数的定义域为. (2);解由1-x2¹0得x¹±1.函数的定义域为(-¥,-1)È(-1, 1)È(1,+¥). (3);解 由x¹0且1-x2³0得函数的定义域D=[-1,0)È(0,1]. (4);解由4-x2>0得 |x|<2.函数的定义域为(-2, 2). (5);解 由x³0得函数的定义D=[0,+¥). (6) y=tan(x+1);解 由(k=0,±1,±2,×××)得函数的定义域为(k=0,±1,±2,×××). (7) y=arcsin(x-3);解 由|x-3|£1得函数的定义域D=[2, 4]. (8);解 由3-x³0且x¹0得函数的定义域D=(-¥, 0)È(0, 3). (9) y=ln(x+1);解 由x+1>0得函数的定义域D=(-1,+¥). (10).解 由x¹0得函数的定义域D=(-¥, 0)È(0,+¥).7. 以下各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2,g(x)=2lg x; (2) f(x)=x,g(x)=; (3),. (4)f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x.解 (1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x<0时,g(x)=-x.(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同.因为定义域不同. 8. 设,求,,,j(-2),并作出函数y=j(x)的图形. 解 ,,,. 9.试证以下函数在指定区间的单调性:(1), (-¥, 1); (2)y=x+ln x, (0,+¥). 证明 (1)对于任意的x1,x2Î(-¥, 1),有1-x1>0, 1-x2>0. 因为当x1-x2. 因为f(x)在(0,l)单调增加且为奇函数, 所以f(-x2)f(x1),这就证明了对于"x1,x2Î(-l, 0),有f(x1)< f(x2), 所以f(x)在(-l, 0)也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l,l)上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; (2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F(x)=f(x)+g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数. 如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),所以F(x)为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F(x)=f(x)×g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)×g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数. 如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)×g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数. 如果f(x)是偶函数,而g(x)是奇函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)×g(x)=-F(x),所以F(x)为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数. 12. 以下函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y=x2(1-x2); (2)y=3x2-x3; (3); (4)y=x(x-1)(x+1); (5)y=sin x-cos x+1; (6). 解 (1)因为f(-x)=(-x)2[1-(-x)2]=x2(1-x2)=f(x),所以f(x)是偶函数.(2)由f(-x)=3(-x)2-(-x)3=3x2+x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数.(3)因为,所以f(x)是偶函数.(4)因为f(-x)=(-x)(-x-1)(-x+1)=-x(x+1)(x-1)=-f(x),所以f(x)是奇函数.(5)由f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sin x-cos x+1可见f(x)既非奇函数又非偶函数.(6)因为,所以f(x)是偶函数.13. 以下各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y=cos(x-2);解 是周期函数,周期为l=2p. (2)y=cos 4x;解是周期函数,周期为. (3)y=1+sin px;解是周期函数,周期为l=2. (4)y=xcos x;解不是周期函数. (5)y=sin2x.解 是周期函数,周期为l=p. 14. 求以下函数的反函数: (1)错误！未指定书签。
错误！未指定书签 解 由得x=y3-1,所以的反函数为y=x3-1. (2)错误！未指定书签 解 由得,所以的反函数为. (3)(ad-bc¹0); 解 由得,所以的反函数为. (4) y=2sin3x; 解 由y=2sin 3x得,所以y=2sin3x的反函数为. (5) y=1+ln(x+2); 解 由y=1+ln(x+2)得x=ey-1-2,所以y=1+ln(x+2)的反函数为y=ex-1-2. (6). 解 由得,所以的反函数为. 15.设函数f(x)在数集X上有定义, 试证: 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.证明 先证必要性.设函数f(x)在X上有界,则存在正数M,使|f(x)|£M,即-M£f(x)£M.这就证明了f(x)在X上有下界-M和上界M. 再证充分性.设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2,即K1£f(x)£ K2.取M=max{|K1|, |K2|},则-M£ K1£f(x)£ K2£M,即 |f(x)|£M.这就证明了f(x)在X上有界. 16.在以下各题中, 求由所给函数复合而成的函数,并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值: (1) y=u2,u=sin x,,; 解 y=sin2x,,. (2) y=sin u,u=2x,,; 解 y=sin2x,,. (3),u=1+x2,x1=1,x2= 2; 解 ,,. (4) y=eu,u=x2,x1 =0,x2=1; 解 ,,. (5) y=u2 ,u=ex,x1=1,x2=-1. 解 y=e2x,y1=e2×1=e2, y2=e2×(-1)=e-2. 17.设f(x)的定义域D=[0,1], 求以下各函数的定义域:(1) f(x2); 解 由0£x2£1得|x|£1,所以函数f(x2)的定义域为[-1,1].(2) f(sinx); 解 由0£sin x£1得2np£x£(2n+1)p (n=0,±1,±2×××),所以函数f(sin x)的定义域为[2np, (2n+1)p] (n=0,±1,±2×××).(3) f(x+a)(a>0); 解 由0£x+a£1得-a£x£1-a,所以函数f(x+a)的定义域为[-a,1-a].(4) f(x+a)+f(x-a)(a>0). 解 由0£x+a£1且0£x-a£1得:当时,a£x£1-a; 当时, 无解. 因此当时函数的定义域为[a, 1-a],当时函数无意义.18.设,g(x)=ex错误！未指定书签。
求f[g(x)]和g[f(x)], 并作出这两个函数的图。