第十章线性无关，基（代表）与维数

第十章 线性无关，基（代表）与维数 编辑人：琼拉和巴番 2014 级数学 2 班 1. 设12,,,k 是一组向量， 我们来看12,,,k 的线性组合，1122kkxxx当120kxxx时 ， 肯 定 有11220kkxxx，就像齐次线性方程组总有零解一样，不能说明什么 此时可以分为两种情况： 2. 只有当120kxxx时，才有11220kkxxx 这时，12,,,k 为线性无关 如 A=[12,,,k ] ， x= kxx1， 0= 00 则 Ax=0 只有零解或 N(A)= 0 12,,,k 为线性无关 线性无关：线性无关：一个一个向量向量不能由其它向量来表示不能由其它向量来表示 2. 当12,,,kx xx中有一个不为零时，仍然有11220kkxxx时说明 12,,,k 为线性相关 如 A=[12,,,k ] ， x= kxx1， 0= 01 则 Ax=0 有非零解或 N(A)  0 12,,,k 为线性相关。

线性相关：线性相关：一个一个向量向量可以由其它向量来表示可以由其它向量来表示 例 1 = 21,由生产一个子空间R2 解： V=Raa为全体线性组合， 是 V 的一个代表（基） 代表（基）中向量个数为 1，所以 d(v)=1 例 2       252014003321，，的线性关系，，判断321解： V=Raaaaaa321332111,, 321，，不一定是 V 的一个基，所以要看321，，的线性关系 令 A=321， X= 321xxx ， 0=0000332211xxx0AX或 A  100010001r(A)=3 自由未知量自由未知量= =未知量个数未知量个数- -真正方程个数真正方程个数=3-3=0，所以 N(A)= 000即321，，是线性无关 综上，123，，是 V 的一个基 3例 033159622331 A设，)(AC求  000013001031 : A解2,,2)(321中最大无关个数为Ar的一个基是，即)(31AC   ArACd2,  3RAC  RaaaaAC213211, 4例 nnneeeA*21设 其中100,010,00121 neee 描述 C(A) 解：nn iRACRe)( A=nn*1000010000100001 Ax=0即0000321nxXXXneee，,,21线性无关，r(A)=n=d[C(A)], 即neee,,,21是C(A)的一个基，且( )nC AR neee,,21也是nR的一个基，叫标准基， nnnnnaaaeeeeaeaeaaaa2121221121 这时，说naaa21是向量在基neee,,21下的坐标。