考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程 (2)一般表达式：⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2〞：①该项系数不为“0〞；②未知数指数为“2〞；③假设存在*项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论典型例题：例1、以下方程中是关于*的一元二次方程的是〔 〕 A B C D 变式：当k时，关于*的方程是一元二次方程例2、方程是关于*的一元二次方程，则m的值为针对练习：*1、方程的一次项系数是，常数项是2、假设方程是关于*的一元一次方程，⑴求m的值；⑵写出关于*的一元一次方程3、假设方程是关于*的一元二次方程，则m的取值围是4、假设方程n*m+*n-2*2=0是一元二次方程，则以下不可能的是〔 〕A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：例1、的值为2，则的值为例2、关于*的一元二次方程的一个根为0，则a的值为。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、关于*的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为说明：此题的关键点在于对 “代数式形式〞的观察，再利用特殊根“-1〞巧解代数式的值例4、是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为针对练习：*1、方程的一根是2，则k为，另一根是2、关于*的方程的一个解与方程的解一样⑴求k的值； ⑵方程的另一个解3、m是方程的一个根，则代数式4、是的根，则5、方程的一个根为〔 〕 A B 1 C D ***6、假设考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：※※对于，等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：=0; 例2、解关于*的方程：例3、假设，则*的值为针对练习：以下方程无解的是〔 〕A. B. C. D.类型二、因式分解法:※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0〞，※方程形式：如， ，典型例题：例1、的根为〔 〕 A B C D 例2、假设，则4*+y的值为。
变式1：变式2：假设，，则*+y的值为例3、方程的解为〔 〕A. B. C. D.例4、解方程：例5、,则的值为变式：,且,则的值为针对练习：*1、以下说法中：①方程的二根为，，则②.③④⑤方程可变形为正确的有〔 〕A.1个 B.2个 C.3个 D.4个*2、以与为根的一元二次方程是〔〕A． B．C． D．**3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：**4、假设实数*、y满足，则*+y的值为〔 〕A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或25、方程：的解是类型三、配方法※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题典型例题：例1、试用配方法说明的值恒大于0例2、*、y为实数，求代数式的最小值例3、为实数，求的值例4、分解因式：针对练习：**1、试用配方法说明的值恒小于02、，则.***3、假设，则t的最大值为，最小值为1、关于*的方程的两根同为负数，则〔 〕A．且 B．且C．且 D．且2、如果方程有两个同号的实数根，则的取值围是 〔 〕A、 ＜1 B、 0＜≤1 C、 0≤＜1 D、 ＞0类型四、公式法⑴条件：⑵公式：,典型例题：例1、选择适当方法解以下方程：⑴⑵⑶⑷⑸说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。
例2、在实数围分解因式：〔1〕； 〔2〕. ⑶说明：①对于二次三项式的因式分解，如果在有理数围不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求出两根，再写成=.②分解结果是否把二次项系数乘进括号，取决于能否把括号的分母化去.类型五、 “降次思想〞的应用⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组典型例题：例1、，求代数式的值例2、如果，则代数式的值例3、是一元二次方程的一根，求的值说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：①能对式进行灵活的变形；②能利用条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂，最后求解例4、用两种不同的方法解方程组说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元但都表达了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它典型例题：例1、假设关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值围是例2、关于*的方程有实数根，则m的取值围是( )A. B. C. D.例3、关于*的方程(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)假设等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。
例4、二次三项式是一个完全平方式，试求的值.说明：假设二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式即：假设，则二次三项式为完全平方式；反之，假设为完全平方式，则.例5、为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个一样的实数解？针对练习：*1、当k时，关于*的二次三项式是完全平方式2、当取何值时，多项式是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？*3、方程有两个不相等的实数根，则m的值是.**4、为何值时，方程组〔1〕有两组相等的实数解，并求此解；〔2〕有两组不相等的实数解；〔3〕没有实数解.***5、当取何值时，方程的根与均为有理数？考点五、方程类问题中的“分类讨论〞典型例题：例1、关于*的方程⑴有两个实数根，则m为,⑵只有一个根，则m为 例2、不解方程，判断关于*的方程根的情况例3、如果关于*的方程及方程均有实数根，问这两方程是否有一样的根？假设有，请求出这一样的根及k的值；假设没有，请说明理由考点六、根与系数的关系⑴前提：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理⑵主要容：⑶应用：整体代入求值典型例题：例1、一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是〔 〕 A. B.3 C.6 D.说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握、、、之间的运算关系.例2、解方程组：说明：一些含有、、的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.例3、关于*的方程有两个不相等的实数根，〔1〕求k的取值围；〔2〕是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？假设存在，求出k的值；假设不存在，请说明理由。
例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程〔二次项系数为1〕时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例5、，，，求变式：假设，，则的值为例6、是方程的两个根，则.针对练习：1、解方程组2．，，求的值3、是方程的两实数根，求的值。