第四章 数学期望和方差数学期望：设离散型随机变量X的分布律为…若级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望，记为E(X),即E(X)=设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量X的数学期望，记为E(X),即E(X)=数学期望简称期望，又称为均值数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布所确定，若X服从某一分布也称E(X)是这一分布的数学期望定理设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g是连续函数）1） X是离散型随机变量，它的分布律为…，若绝对收敛，则有2） X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x）若绝对收敛，则有E(Y)=E[g(X)]=数学期望的几个重要性质：1. 设C是常数，则有E(C)=C2. 设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X) 若A,B相互独立，则有E(AB)=E(A)E(B)3. 设X,Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)方差设X是一个随机变量，若存在，则称为X的方差，记为D(X)或Var(X),即D(X)=Var(X)=,记为σ（X)，称为标准差或均方差对于离散型随机变量，对于连续型随机变量，随机变量X的方差计算公式：方差的几个重要性质：1. 设C是常数，则D(C)=02. 设X是随机变量，C是常数，则有3. 设X,Y是两个随机变量，则有 特别地，若X,Y相互独立，则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)4.D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C，即P{X=C}=1，显然这里C=E(X)定理：（切比雪夫不等式）设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=，则对于任意正数，不等式成立协方差及相关系数量称为随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=而称为随机变量X与Y的相关系数是一个无量纲的量协方差的性质有：1. ,a,b是常数2.当||较大时，X,Y线性相关的程度较好，当||较小时，X,Y线性相关的程度较差，当=0，称X和Y不相关若X,Y独立，则其不相关，但若X,Y不相关，并不能说明其独立矩、协方差矩阵设X,Y是随机变量，若…存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩若…存在，称它为X的k阶中心矩若…存在，称它为X和Y的k+l阶混合矩若…存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩设n维随机变量…的二阶混合中心矩…都存在，则称矩阵为n维随机变量…的协方差矩阵由于，因而上述矩阵是一个对称矩阵。