河南理工大学 2011 年数学建模竞赛论文答卷编号（竞赛组委会填写）：题目编号 （ A、B、C、D、E 之一论文题目：水量计算问题参赛队员信息（必填）：封二答卷编号（竞赛组委会填写）：评阅情况（学校评阅专家填写）：评阅1评阅2评阅3摘要本文通过设计构造辐射井的地下水降落曲线的数学公式，来建立辐射井水量 的计算模型针对问题一：根据辐射管在水平布置上的对称性，可将问题简化为对一扇形域的水流运动 的研究又结合题中相关数据，分析辐射管在含水层中对地下水降落曲线、地下 水渗透范围的影响情况，得到辐射管汇集水量的大小与降落曲线高度近似呈正比例关系分析实测的辐射井降落曲线资料得出地下水降落曲线高度Tx与距离X之 间近似呈自然对数的函数关系，构建地下水降落曲线的函数关系式，并将观测井 取得的相关数据代入进行验证，证明了函数的可行性针对问题二：结合题中相关数据，分析辐射管在含水层中对地下水降落曲线、地下水渗透 范围的影响情况，将沿辐射井横剖面上的地下水降落曲线近似为高度的平均直 线；可知集水井井壁、辐射管端点外侧流进水量占总水量的很小比例，可只计算 沿垂直方向流入辐射管的水量按照降落曲线的函数式，采用积分法得到沿辐射管全程的平均高度，再结合平均高度T对应的水平距R、剖面矩形宽度b、局部H — Tq = k —x 旷阻抗系数e以及集水管的汇流强度公式x ex ，即可得到辐射井出水量。
针对问题三： 根据问题一二中建立的模型进行数据处理在问题一种利用附件一中所给的数据，得出参数«、T，然后将其代入公式中，得出相应的结果，再与实际测量 0的数据进行比较，判断误差大小，进行评价；问题二中计算出相应的参数变量—、Td、△匚，然后通过计算公式得出申的值，再代入求出对应时间的Q，比较实际 T T n测量数并分析关键字： 汇流强度 局部阻抗系数 降落曲线弯曲率 单管流量1、问题重述辐射井是由一口大口径的竖井和自竖井内周围含水层任意方向、高程打进一 层数条水平辐射管组成，地下水沿水平辐射管汇集到竖井中辐射井与常规井相 比，具有出水量大、寿命长、管理费用低、维修方便、便于集中管理等优点从 20 世纪 60 年代以来，辐射井技术已在我国推广应用如辐射井在华北深基坑工 程降水中，取得了较好的效果随着北京东直门地铁站采用辐射井降水技术取得 成功，目前辐射井技术在地铁施工又发挥着重要作用要求：（1） 设计构造辐射井的地下水降落曲线（面）的数学公式2） 建立辐射井水量计算模型3） 利用所给数据 1，2，3对建立公式、模型进行分析检验2、问题分析此题研究的是辐射井水量计算的数学模型首先要明确影响辐射井水量计算 的可能存在因素：辐射管数量、长度和分布、水位下降时间、渗透系数、孔隙比、 井水的种类、地下水的流态等等，其中辐射管数量、长度和分布、渗透系数、孔 隙比、井水种类等因素题中已经给出了确切的数据和限定，使我们在构造辐射井 地下水降落曲线（面）数学公式和计算水量的过程中可以直接应用。
2.1、设计构造辐射井的地下水降落曲线（面）的数学公式辐射井的工作状况与普通筒井有很大不同就地下水降落曲线看，一般筒井 影响范围内,地下水降落曲线呈上凸的抛物线，近井处水力坡度很陡，远井逐渐 变平缓，在井壁处往往有明显的水跃发生而辐射井在水平辐射管延伸范围内， 降落曲线与筒井刚好相反，近井处水力坡度平缓，远处陡峭，呈下凹曲线，井壁 处几乎不发生水跃在辐射管的端点处，水力坡度陡增，并出现凸凹拐点在辐 射管延伸范围以外，降落曲线改变成上凸的抛物线，水力坡度由陡变缓，与普通 井一致由于黄土垂直方向的渗透系数比水平方向大若干倍，加上辐射管的水平位置 的影响，黄土地含水层的地下水基本是沿着垂直方向进入辐射管当地下水位由 于抽水下降时，这一现象在水平集水管延伸范围内尤为明显此时，大部分水量 由辐射管截取后，通过管道汇入集水井，而通过集水井井壁和辐射管端点外侧流 进的水量，则占很少比例为方便计算，可以只考虑沿垂直方向流入辐射管的水 量辐射管汇集水量的大小与降落曲线高度, 基本上成正比例的关系管中水流, 由于有压管流, 其水头沿程变化相对很小, 可视为相当于井水位的一个固定值分析实测的辐射井降落曲线资料可以得出，高度T与距离x之间，近似地呈自x然对数的函数关系，并且随集水井中水面的高度 T 的变化而变化。
根据资料得p到经验表达式T = T + （T - T ）e-ger）代入表一所给出的数据，对该函数进行多x p 0 p 次检验，如果在误差允许范围内所得计算值与实测值相差不大，则表明该函数是 合理的且能够进行运用经多次检验证明了运用此种方法所得的函数确实是可行 的，即得到辐射井的地下水降落曲线（面）的数学公式辐射井的平面布设图和表示其工作状况的剖面图，参看图 1 和图 2）图 1 辐射井平面布设图图 2 辐射井工作状况（纵剖面）图2.2、建立辐射井水量计算模型辐射井能够充分利用黄土垂直方向渗透性强这一特点 , 从黄土层中大量汇 集地下水，其主要靠水平方向的辐射管加大出水量，辐射管的尺寸大小、长度、 埋设部位以及地下水位的高度等, 与辐射管汇集地下水能力的大小有密切关系 因此我们以地下水的运动规律为依据建立合理的辐射井出水量的计算模型在每个辐射管中，对于任意部位x，进入水平集水管的单长流量（或汇流强H 一 T H 一 T度）q可用公式q = k_丄〜kH—^P计算由于q是随着x变化的一个变x x OQ x量，欲求每根辐射管的流量Q ,须将q沿辐射管全程累计起来比较简单的处x理办法是， 按照地下水降落曲线的计算公式 ， 采用定积分法， 求出沿管全程的平均高度T，与T相应的水平距R,剖面矩形宽度b和局部阻抗系数©，代入上面公式可求出X = R的平均汇流强度q = K 口P，然后乘以辐射管长度，即得单管 ©的流量Q，则辐射井的出水量Q等于单管流量与辐射管根数N的乘积。
则出水 n量的计算问题主要转移到平均高度T，剖面矩形宽度B和局部阻抗系数©的求解问题上了，这样就使得我们对模型的求解变得更为清晰2.3、利用所给数据1，2，3 对建立公式、模型进行分析检验由于我们在问题一的求解中所运用的方法就是由设想到检验证明的过程， 所以这个过程已经实现了对问题一中所引入的公式进行分析检验需要指出的 是，利用公式进行计算检验时， 由于辐射孔端点处无观测孔和水位资料， 而这些 在计算中又不可缺少， 因此，我们采用了相邻两观测孔 N 和 N 实测到的水位平 23均值， 来近似代替辐射孔端点的水位在分析检验问题二中所建模型时，可进行 多次降低井水位的抽水试验试验过程中， 用电测水位计观测地下水位， 用量水 堰测井的出水量，并把计算值与实际值相比较3、模型假设与符号说明3.1、模型的假设辐射井的出水量，是设计和布置辐射井工作中所需要解决的问题之一试在 下列假定条件下：（1）潜水含水层均质，隔水底板水平，在平面上无限分布；不考虑水和介 质骨架的压缩性2）潜水完整井，无越流补给也无入渗或蒸发3）垂直方向的渗透性远大于水平方向的渗透性4）竖井的直径 3.5 米水平辐射管的长度为 120 米，8 根辐射管均匀的 分布在距隔水底板 1.2 米平面上，辐射管的直径为 0.12 米。
如图 2（辐射井平 面布设图）5） 该黄土含水层的渗透系数 k 在 0.0554 ~ 0.1607 （ 米 / 小时 ）, 孔隙比（含水 层中空隙的体积与固体颗粒体积之比）为 0.75%6）实验知，辐射井的地下水降落曲线在水平集水管（辐射管）延伸范围 内，呈凹形的抛物线，近井处水力坡度平缓，远处陡峭在辐射管的端点，水力 坡度陡峭曲线出现凹凸拐点在辐射管延伸范围以外，降落曲线改变成凸形的抛 物线，水力坡度由陡变缓3.2、符号说明符号符号说明Tx距集水井中心的水平距离为X处得横剖面水位平均高度（米）TP集水井中水面的咼度（米）To辐射管端点的水位高度（米）反映降落曲线弯曲程度的经验数值R o辐射管端点距井中心的水平距离（米）r集水井的半径（米）R2距离水井较远的一个观测孔的水平距（米）Ri距集水井较近的一个观测孔的水平距（米）T2距离为R的观测孔中测得的水位高度（米）2Ti距离为R的观测孔中测得的水位高度（米）1Tr井壁处的水位咼度（米）Qn辐射井的出水量（米3 小时）n辐射孔（管）的根数k黄土含水层的渗透系数（米/小时）H0x局部阻抗系数0相邻两根辐射孔（管）之间的夹角（度）d辐射孔（管）的直径（米）AT辐射孔（管）中心的咼度（米）附注：以上公式中各符号的高度，都是从井底算起的。
4、模型建立与解答4.1、问题一的解答在扇形区间 x ' ox "内，由于地下水下降而从黄土含水层中释放出来的地下水， 全部进入水平集水管（辐射管）CD其中ox '及ox"为两根相邻辐射管之间的水流 分界线由于辐射管在水平布置上均匀对称的，因此，只需研究一个扇形域的水 流运动，就可以概括其他；只需求出其中一根辐射管的汇集水量，就可以推算出 整个辐射井的出水量沿ox轴线方向，距井中心点x部位，具有典型代表性的运动面，应为圆弧面, 其长度为A' A”若采用长度相近的直线运动面B' B”，来代替圆弧面a' A”，就为 寻求近似的理论解答创造了条件，使复杂的三维空间运动问题，转化为二维的剖 面运动问题，于是，使用数学解析法求解，就变得简单易行了图 1 辐射井平面布设图B'B”直线从A点穿过水平辐射管的中心线ox，并与ox相交成直角，直线的 两端分别与分界线ox '和ox"相交与B '和B”ox ', ox"的夹角为0，ox为0的分角 线直线典型运动剖面的形状近似矩形，其宽度为b，平均高度为T （见图3）.xx 在该剖面上，地下水降落曲线的弯曲度一般较小，故可采用平均直线来代替，即H + bT — x xx厶 O图 3 距离井中心 x 处的横剖面运动图图4中，AT为辐射管中心距井底隔水层的距离，d为辐射管（或辐射孔）的直径。
当T比AT大很多倍时，也可以近似采用H或h的高度来代替平均高x x x度Tx辐射管汇集水量的大小与降落曲线高度，基本上成正比例的关系管中水流，由于有压管流，其水头沿程变化相对很小，可视为相对与井水位的一个固定值（见图 4）分析实测的辐射井降落曲线资料看出，高度 T 与距离 x 之间，近似地呈x 自然对数的函数关系，其经验表达式如下：T — T + （T - T ） e 七（R0-x） ⑴x p 0 p尺一耳图 4 辐射井纵剖面和计算中各符号图标a为表示降落曲线弯曲程度的一个经验数值，也可以利用抽水试验观测资 料，代入下式求得：1 T - T-- T _ C s（ 2 ）a = inR - R T -T2 1 1 p式中 T 和 T - 21-距离集水井中心R和R两处的水位咼度；21R - R 两个观测点之间的水平距离21 在辐射管延伸范围内，对于同一条降落曲线，采用任意两个观测点的数据进 行计算所得出的a值。