二次函数 y=ax²+bx+c 的符号问题 知识点一：知识点一：抛物线抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：的符号问题：开口向上开口向上a>0开口向下开口向下a<0（（2））C的符号：的符号：由抛物线与由抛物线与y轴的交点位置确定轴的交点位置确定与与y轴的正半轴相交轴的正半轴相交c>0与与y轴的负半轴相交轴的负半轴相交 c<0经过坐标原点经过坐标原点c=0〔〔1〕〕a的符号：的符号：由抛物线的开口方向确定由抛物线的开口方向确定 （（4））b2-4ac的符号：的符号：由抛物线与由抛物线与x轴的交点个数确定轴的交点个数确定（（3））b的符号：的符号： 由对称轴的位置确定由对称轴的位置确定对称轴在对称轴在y轴左侧轴左侧a、、b同号同号对称轴在对称轴在y轴右侧轴右侧a、、b异号异号对称轴是对称轴是y轴轴b=0与与x轴有两个交点轴有两个交点b2-4ac>0与与x轴有一个交点轴有一个交点b2-4ac=0与与x轴无交点轴无交点b2-4ac<0 1.抛物线抛物线y=ax2+bx+c在在x轴轴上方的条件是什么？上方的条件是什么？x变式：不管变式：不管x取何值时，函数取何值时，函数y=ax2+bx+c〔〔a≠0〕的值永远是正值的〕的值永远是正值的条件是什么？条件是什么？你知道吗？不管你知道吗？不管x取何值时，函数取何值时，函数y=ax2+bx+c〔〔a≠0〕的值永远是〕的值永远是非负数的条件是什么？ 非负数的条件是什么？ 知识点二：知识点二：a＞＞0b2-4ac＜＜0a>0,b2-4ac≤0 x知识点二：知识点二：2、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c在在x轴下方的条轴下方的条 件是什么？件是什么？＜＜变式：不管变式：不管x取何值时，函数取何值时，函数y=ax2+bx+c〔〔a≠0〕的值永远是负值的〕的值永远是负值的条件是什么？条件是什么？你知道吗？不管你知道吗？不管x取何值时，函取何值时，函数数y=ax2+bx+c〔〔a≠0〕的值永〕的值永远是非正数的条件是什么？远是非正数的条件是什么？ 知识点三：知识点三：抛物线抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：的符号问题：〔〔5〕〕a+b+c的符号：的符号：由由x=1x=1时抛物线上的点的位置确定时抛物线上的点的位置确定点在点在x x轴上方轴上方点在点在x x轴下方轴下方点在点在x x轴上轴上a+b+c>0a+b+c<0a+b+c=0〔〔6〕〕a-b+c的符号：的符号：由由x=-1x=-1时抛物线上的点的位置确定时抛物线上的点的位置确定点在点在x x轴上方轴上方点在点在x x轴下方轴下方点在点在x x轴上轴上a-b+c>0a-b+c<0a-b+c=0 1、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c如下图，试确定如下图，试确定a、、b、、c、、△△的符号：的符号：xyo a>0, b<0, c>0, △△>0.练习练习 2、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c如下图，试确定如下图，试确定a、、b、、c、、△△的符号：的符号：xyo a>0, b>0, c=0, △△>0.练习练习 3、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c如下图，试确定如下图，试确定a、、b、、c、、△△的符号：的符号：xyo a<0, b<0, c>0, △△>0.练习练习 4、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c如下图，试确定如下图，试确定a、、b、、c、、△△的符号：的符号：xyo a>0, b=0, c>0, △△=0.练习练习 5、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c如下图，试确定如下图，试确定a、、b、、c、、△△的符号：的符号：xyo a>0, b=0, c=0, △△=0.练习练习 6、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c如下图，试确定如下图，试确定a、、b、、c、、△△的符号：的符号：xyo a<0, b>0, c<0, △△<0.练习练习 7、：二次函数、：二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，那的图象如下图，那么点么点M〔〔 ，，a〕在〕在 〔〔 〕〕A、第一象限、第一象限 B、第二象限、第二象限 C、第三象限、第三象限 D、第四象限、第四象限 xoy a<0, b>0, c>0,D练习练习 8、：一次函数、：一次函数y=ax+c与二次函数与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图，它们在同一坐标系中的大致图象是图中的〔象是图中的〔 〕〕xyoxyoxyoxyo〔〔A〕〕〔〔B〕〕〔〔C〕〕〔〔D〕〕C练习练习 9、：二次函数、：二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，以的图象如下图，以下结论中：下结论中：①①abc＞＞0；；②②b=2a；；③③a+b+c＜＜0；；④④a+b-c＞＞0; ⑤⑤a-b+c＞＞0正确的正确的个数是个数是 〔〔 〕〕A、、2个个 B、、3个个C、、4个个 D、、5个个xoy-11C练习练习 10、：二次函数、：二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，以的图象如下图，以下结论中：下结论中：①①b＞＞0；；②②c<0；；③③4a+2b+c ＞＞ 0；；④④〔〔a+c〕〕2＜＜b2，其中正确的个数是，其中正确的个数是 〔〔 〕〕A、、4个个 B、、3个个C、、2个个 D、、1个个xoyx=1B练习练习因为因为a+b+c>0所以所以b>-a-c两边同时平方两边同时平方 1、抛物线、抛物线y=x2-8x+m的顶点在的顶点在 x轴上那轴上那么么m= .2、抛物线、抛物线 y=x2+bx+1的顶点在的顶点在 y轴上轴上那么那么b= ________ 3、抛物线、抛物线 y=x2+bx+1对称轴是直线对称轴是直线x=2那么那么b= ________ 160-4 练一练：练一练：1、：二次函数、：二次函数y=ax2+bx+c的图象如下的图象如下图，以下结论中：图，以下结论中：①①abc＞＞0；；②②b=2a；；③③a+b+c＜＜0；；④④a+b-c＞＞0; ⑤⑤a-b+c＞＞0正确的个数是正确的个数是 〔〔 〕〕A、、2个个 B、、3个个C、、4个个 D、、5个个xoy-11C4错错 练一练：练一练：2、：二次函数、：二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，的图象如下图，以下结论中下正确的选项是〔以下结论中下正确的选项是〔 〕〕A、、abc＞＞0 B、、b2-4ac＞＞0C、、2a+b＞＞0 D、、4a-2b+c＜＜0xoy-1-11 1D 1.(天津天津)二次函数二次函数y=ax2+bx+c，， 且且a＜＜0,a-b+c＞＞0,那么一定有那么一定有( ) A.b2-4ac＞＞0 B. b2-4ac=0 C.b2-4ac＜＜0 D. b2-4ac≤0二、典型例题分析二、典型例题分析A A2.(2.(重庆重庆) )二次函数二次函数y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c的图的图 像如下图，那么点像如下图，那么点M M〔〔b,c/a)b,c/a)在在 ( ) ( ) A. A.第一象限第一象限 B. B.第二象限第二象限 C. C.第三象限第三象限 D. D. 第四象限第四象限D D-1a <0,b >0,c >0 3.(河河北北省省)在在同同一一直直角角坐坐标标系系中中，，一一次次函函数数y=ax+c和二次函数和二次函数y=ax2+c的图像大致为的图像大致为 ( )B4.(山西省山西省)二次函数二次函数y=x2+bx+c 的图像如下图，那么函数值的图像如下图，那么函数值 y＜＜0时，对应的时，对应的x取值范围取值范围 是是 .-3＜＜x＜＜1.-3-3-3-3１１ D7.(7.(安徽安徽) )二次函数二次函数y=ax2+bx+c y=ax2+bx+c 的图像如图，那么以下的图像如图，那么以下a a、、b b、、 c c间的关系判断正确的选项间的关系判断正确的选项是是( ) ( ) A.ab < 0 B.bc < A.ab < 0 B.bc < 0 0 C.a+b+c > 0 D.a-b+c < C.a+b+c > 0 D.a-b+c < 0 0 8.(8.(绵阳绵阳) )二次函数二次函数y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c的的 图像如图，那么不等式图像如图，那么不等式bx+a>0bx+a>0的的 解为解为 ( ) ( ) A.x > a/b B.x > -a/b A.x > a/b B.x > -a/b C.x < a/b D.x < -a/b C.x < a/b D.x < -a/b Da <0,b <0,c <0a <0,b <0 9.9.二次函数二次函数y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c的图像如下图，的图像如下图， 那么以下判断不正确的有那么以下判断不正确的有( )( ) A.abc A.abc＞＞0 B. b2-4ac0 B. b2-4ac＞＞0 0 C.2a+b C.2a+b＞＞0 D.4a-2b+c0 D.4a-2b+c＜＜0 0DX= - b/2a<1X= - b/2a<1∴-b<2a∴-b<2a∴2a+b∴2a+b＞＞0 0 当当x=-2x=-2时时, ,y=4a-2b+cy=4a-2b+c＞＞0 0 D10、假设抛物线、假设抛物线y=ax2+3x+1与与x轴有两轴有两 个交点，那么个交点，那么a的取值范围是的取值范围是 ( ) A.a＞＞0 B.a＞＞- 4/9 C.a＞＞ 9/4 D.a＜＜9/4且且a≠0 11.某某幢幢建建筑筑物物，，从从10米米高高的的窗窗口口A用用水水管管向向外外喷喷水水，，喷喷出出的的水水呈呈抛抛物物线线状状(抛抛物物线线所所在在平平面面与与墙墙面面垂垂直直，，如如下下图图).如如果果抛抛物物线线的的最最高高点点M离离墙墙1米米，，离离地地面面40/3米米，，那那么么水水流流落落地地点点B离离墙的距离墙的距离OB是是 ( ) A.2米米 B.3米米 C.4米米 D.5米米BO①①抛物线顶点抛物线顶点M〔〔1,40/3) 与与y轴交点轴交点A(0.10) ②②求得抛物线解析式求得抛物线解析式;③③求出抛物线与求出抛物线与x轴的交点轴的交点; 1、、(青海省青海省)如下图，抛物线如下图，抛物线 y=-x2+bx+c与与x轴轴的的两两个个交交点点分分别别为为A(x1,0)，， B(x2，，0)，且，且x1+x2=4，，x1x2=3，，(1)求此抛物线的解析式；求此抛物线的解析式；(2)设设此此抛抛物物线线与与y轴轴的的交交点点为为C，，过过点点B、、C作直线，求此直线的解析式；作直线，求此直线的解析式；(3)求求△△ABC的面积的面积.(1)y= -x2+4x-3 (2) y= x-3 (3) 3 三、综合应用三、综合应用 能力提升能力提升 2、、;二次函数二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1).(1)求求证证:不不管管m为为何何值值时时,函函数数的的图图像像与与x轴轴总总有交点有交点,并指出并指出m为何值时为何值时,只有一个交点；只有一个交点；(2)当当m为为何何值值时时,函函数数图图像像过过原原点点,并并指指出出此此时函数图像与时函数图像与x轴的另一个交点；轴的另一个交点；(3)假假设设函函数数图图像像的的顶顶点点在在第第四四象象限限,求求m的的取取值范围值范围.(2)另一个交点坐标为另一个交点坐标为(1，，0) (3)当当m＞＞-1且且m≠3时时,抛物线的顶点在第四象限抛物线的顶点在第四象限 用待定系数法求二次函数解析式，要根据给定条件用待定系数法求二次函数解析式，要根据给定条件的特点选择适宜的方法来求解的特点选择适宜的方法来求解一般地，在所给条件中顶点坐标时，可设顶点式一般地，在所给条件中顶点坐标时，可设顶点式y=a(x-h)2+k，在所给条件中抛物线与，在所给条件中抛物线与x轴两交点轴两交点坐标或抛物线与坐标或抛物线与x轴一交点坐标与对称轴，可设交轴一交点坐标与对称轴，可设交点式点式y=a(x-x1)(x-x2);在所给的三个条件是任意在所给的三个条件是任意三点时，可设一般式三点时，可设一般式y=ax2+bx+c;然后组成三元然后组成三元一次方程组来求解。
一次方程组来求解 例例:关于关于x的二次函数的二次函数,当当x=－－1时时,函数值为函数值为10,当当x=1时时,函数值为函数值为4,当当x=2时时,函数值为函数值为7,求这个二次函数的解析试求这个二次函数的解析试.｛待定系数法待定系数法 例：根据以下条件，分别求出对应的二次函数解析式〔1〕抛物线的顶点是〔1，2〕且过点〔2，3)〔2〕抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过〔0，-3〕顶点坐标设顶点式y=a(x-h)2+k∵顶点是〔1，2〕∴设y=a(x-1)2+2，又过点〔2，3〕∴a(2-1)2+2=3，∴a=1∴ y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3与x轴两交点横坐标，设交点式y=a(x-x1)(x-x2)由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3，∴设y=a(x-1)(x-3),过〔0，-3〕，∴ a(0-1)(0-3)=-3, ∴a=-1∴ y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3 (3)二次函数的图像过〔-1，2〕，〔0，1〕，〔2，-7〕普通三点设一般式y=ax2+bx+c,设y=ax2+bx+c过〔-1，2〕，〔0，1〕，〔2，-7〕三点∴a-b+c=0c=14a+2b+c=-7a=-1b=-2c=1y=-x2-2x+1 例：一抛物线与x轴的交点A〔-2，0〕，B〔1，0〕且经过点C〔2，8〕〔1〕求该抛物线的解析式 〔2〕求该抛物线的顶点坐标解：设这个抛物线的表达式为Y=ax2+bx+c由，抛物线过点〔-2，0〕，B〔1，0〕，C〔2，8〕三点，得4a-2b+c=0a+b+c=04a+2b+c=8解这个方程组得，a=2b=2C=-4所以该抛物线的表达式为y=2x2+2x-4(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+1/2)2-9/2所以该抛物线的顶点坐标为〔-1/2，-9/2〕 例：如图，二次函数例：如图，二次函数 的图像经过点的图像经过点A和和点点B．．〔〔1〕求该二次函数的表达式；〕求该二次函数的表达式；〔〔2〕写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；〕写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；〔〔3〕点〕点P〔〔m，，m〕与点〕与点Q均在该函数图像上〔其均在该函数图像上〔其中中m＞＞0〕，且这两点关于抛物线的对称轴对称，〕，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求求m的值及点的值及点Q 到到x轴的距离．轴的距离．xyO3 －－9－－1－－1AB图13 解：〔1〕将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入 得 解得∴二次函数的表达式为．〔2〕对称轴为 ；顶点坐标为〔2，-10〕．〔3〕将〔m，m〕代入 ，得 ，解得 ．∵m＞0，∴ 不合题意，舍去．∴ m=6．∵点P与点Q关于对称轴 对称，∴点Q到x轴的距离为6． 抛物线抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：的符号问题：〔〔1〕〕a的符号：的符号：由抛物线的开口方向确定由抛物线的开口方向确定（（2））C的符号：的符号：由抛物线与由抛物线与y轴的交点位置确定轴的交点位置确定（（4））b2-4ac的符号：的符号：由抛物线与由抛物线与x轴的交点个数确定轴的交点个数确定（（3））b的符号：的符号： 由对称轴的位置确定由对称轴的位置确定（（5））a+b+c的符号：的符号： 由由x=1时抛物线上的点的位置确定时抛物线上的点的位置确定（（6））a-b+c的符号：的符号： 由由x=-1时抛物线上的点的位置确定时抛物线上的点的位置确定（（7））2a±±b的符号：的符号： 对称轴与直线对称轴与直线x=1 或或x=-1的位置确定的位置确定小结小结 。