本文格式为Word版，下载可任意编辑线性代数习题与答案第五章(东大绝版) 第五章 习题解答 习题A 1. 判断下述集合对于所指的运算是否构成实数域上的线性空间: (1) 全体二次实系数多项式的集合,对于多项式的加法和数与多项式的乘法; (2) 非齐次线性方程组Ax?β的全体解向量,对于向量的加法和数与向量的乘法; (3) 全体n阶实可逆矩阵,对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法; (4) 全体三阶实对称矩阵(实反对称矩阵)对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法; (5) 全体与A???1?00??可交换的矩阵,对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法,称矩阵X与A可2?交换是指XA?AX. 解 (1)否.对加法不封闭,例如2x2?x?1,?2x2?3x?1和为4x?2,不是二次多项式. (2)否.对加法,乘法不封闭,例如η1,η2是Ax?β的解向量,但η1?η2不是Ax?β的解向量, kη1,kη2(k?1)也不是Ax?β的解向量. ?1(3)否.对加法不封闭.例如,??02???1?,?3??0?2??均可逆,但其和为零矩阵,不成逆. ?3?(4)是. (5)是.设X,Y是两个与A可交换的矩阵,择 A?X?Y??AX?AY?XA?YA??X?Y?A,A?kX??kAX??kX?A,零元为 ?0??00??,负元为?X,其它条件轻易验证. 0?2. 求第1题线性空间的一组基和维数. ?1??0??0?000000dbf0??0??0,E2?0????00??1??0??0,E23?0????00??0100010??0??0,E33?0????00??0000??0, ?1??解 (4)中实对称阵E11E12?0??1??0?dbf1000??0??0,E13?0????10??0??1为一组基,任意实对称阵 ?0???a?d??e?e??a??f可以表示为d????ec??e??f?aE11?bE22?cE33?dE12?eE13?fE23,维数为6,?c??实反对称矩阵E12?0???1??0?d0?f1000??0??0,E13?0?????10??000d0?f1??0??0,E23?0????00??00?10??1为一组基,任一实?0???0?反对称矩阵?d???e?e??0??f可以表示为?d?????e0??e??f?dE12?eE13?fE23,维数为3. ?0??0??0?,?0??00??,维数为2. 1?(5)中与??1?00??x可交换的矩阵都是??2??00??1的外形,所以基为??2y??0?1??2??5??2?????????3?1163.求由向量组α1???,α2???,α3???,α4???生成的子空间的一组基,和维数. ?1???1???1??2??????????147?3????????解 以α1,α2,α3,α4为列向量组成矩阵A,那么 ?1?3?A??1???12?1?1451?172??1??60????02????3??02?7?365?14?6122??1??00????00????1??0210052022??0?. ?1??0?可见α1,α2,α3,α4是一组基,维数为3. 4.下述集合中哪些是Kn的子空间: (1)V1???0,x2,?,xn??Tx2,?,xn?K; T?(2) V2?(3) V3?(4) V3?(5)V5??1,x2,?,xn?x2,?,xn?K; T???x1,x2,?,xn???x1,x2,?,xn?Tx1?x2???xn?0,x1,x2,?,xn?K; x1?x2???xn?1,x1,x2,?,xn?K; x?K; ?T???x,2x,?,nx???x,y,?,y?T?(6) V5?x,y?K. ?解 (1)(3)(5)(6)中的V1,V3,V5,V6是Kn的子空间.(2)中的V2本身不是线性空间(对加法和乘法不封闭),所以不是Kn的子空间.(4)中的V4也是如此. 5.求第4题中的子空间的一组基和维数. 解 对于(1)中的V1,α1??0,1,0,?,0?,α2??0,0,1,?,0?,?,αn??0,0,0,?,1?是一组基,维数为n?1. 对于（3）中的V3,方程组x1?x2???xn?0的一个根基解系 TTT?1???110?0?,?2???101?0?,?n?1???100?1?是一组基， 维数为n?1。
对于(5)中的V5,α??1,2,?,n?是一组基,维数为1. 对于(6)中的V6,α1??1,0,?,0?,α2??0,1,?,1?为一维基,维数为2. ?1??1???1???1?????????2?12?16.设α1???,α2???,α3???,α4???. ??1??1??1??0?????????0111????????TTT(1)证明: α1,α2,α3,α4是线性空间K4的一组基; ?1????5?在基α,α,α,α下的坐标. (2)求向量β??1234?0???4??解 (1)以α1,α2,α3,α4作列向量构成矩阵A,那么 ?1?2?A???1??0?1?0???0??011001?111?11?21?1211?1??1???10????00???1??011001?321?1110?1401?1??1??10????0?1???1??01100?11?27?1??1? ?3??4??1??1??10????0?3????5??0?1??1?,可见α,α,α,α线性无关,所以它们是K4的 1234?5???13?一组基. (2)用α1,α2,α3,α4,β为列向量构成矩阵B,那么 ? 1 1?1?1 1?? 1 1?1?11??10????? 2?1 2?1?50?3 4 1701?????B?????1 1 1 0 0??0 2 0?11??00????? 0 1 1 1 40 1 1 14?????00?2?3?? 1 1 4? ?2?3?7?? 7 4 5??2?10?01???00??00 0 4??100?? 1 1 4010????001 1?5?16????2?3?7??000 1 4??1000?? 6 202200????0010?5 ?16????13?39??0001 1 1?? 2?. ?1?? 3??1???2所以β?α1?2α2?α3?3α4,即β在基α1,α2,α3,α4下的坐标为??. ??1???3??7.设a是一个实数,证明1,x?a,?,?x?a?f(x)?1?x???xn?1n?1是线性空间R[x]n的一组基,并求向量 在此基下的坐标. 解 R[x]n为实数域上全体次数小于n的一元多项式的集合,不难验证 ?1?A,其中A?????0*???, ??1??1,x?a,?,?x?a?n?1???1,x,?,xn?1?1?是主对角元素均为1的上三角方阵.由于1,x,?,xn?1线性无关,也是R[x]n的一组基,且A?1?0,所以1,x?a,?,?x?a?n?1线性无关,也是R[x]n的一组基. 把f(x)开展成(x?a)的泰勒多项式,得, 12!2f(x)?f(a)?f?(a)?x?a??f??(a)?x?a????1(n?1)!f(n?1)(a)?x?a?n?1, ??? f(a)???? f?(a)???1n?1?. f??(a)可见f(x)在基1,x?a,?,?x?a?下的坐标为? 2!??? ????1??(n?1)f(a)?(n?1)!????1??2??1??0???1??1?????????????8.设α1??0?,α2??1?,α3??1?;β1??1?,β2??1?,β3??2?, ??1??1??1??1??0??1?????????????(1)在K中求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵; 3?2???(2)求向量α?5在这两组基下的坐标. ???3???解 (1)以α1,α2,α3,β1,β2,β3为列向量构成矩阵A,那么 ? 1210?11??1???A? 0111 12?0?????1111 01??0????10??01??00??1 1 1?2 1 2?3 1 42?11??1??111 12?0????0321?12?? 0?1 2 1?3 410210 1 1?1 0 1?2?1 1?4 1?? 2 ??4???3??100?? 2?010????001 4??1?341???2， ?4?? 1???2,由此得 ? 4???β1,β2,β3??0???α1,α2,α3??1??2??0?可见所求过渡矩阵为??1?2?1?3421???2. ?4??1210 1 1?1 2??10?? 5?01????00?10???1?8?? 0?5 ? 110??? 1212??1???(2)由? 0115???0??1113??0????100 2????010?5, ???00110???2??1??115?0???0?325???2???得α?2α1?5α2?10α3即α在基α1,α2,α3下的坐标为??5?. ?10????0?由?1?1??11 1 0212??1??5?0????03?? 03??1013??1001?????? 112?0112?0100, ???????????112??0024??0012?1?1???得α?β1?2β3,即α在β1,β2,β3下的坐标为?0?. ?2???9.下述的映射哪些是线性空间K2?2的线性变换. — 5 —。