1.2 解的存在惟一性,对于给定的微分方程，它的通解一般有无限多个，,而给定初始条件后，其解有时惟一，有时不惟一.,给定初始条件的微分方程解的存在惟一性?,(一)它是数值解和定性分析的前提;,(二)若实际问题中建立的方程模型的解,不是存在且惟一的，该模型就是一个坏模型.,1,例1,:,初值问题 有解,:,.它的存在区间为,例2:初值问题,的解为:,存在区间为,初值问题 的解,:,2,例3:初始值问题:,有无穷多解,存在区间为:,3,例子和思路,例 4:证明初值问题,的解存在且惟一,证：若,是初始值问题的解,两端积分,满足,反之，若一个连续函数,满足,则它是,的解,4,取,来证明,构造迭代序列,有解,5,由于,收敛，且,代入验证函数,为初值问题,的解,这就得到解的存在性惟一性证明:设有两个解,则,可微，且满足,这就证明了惟一性6,1.2.2 存在惟一性定理及其证明,设,在矩形区域,上连续，如果有常数 L0,使得对于所有的,都有:,考虑微分方程:,Lipschitz,条件:,(1.2.3),7,L,称为 Lipschitz 常数则称,在R上关于,y,满足 Lipschitz 条件注:若,关于,y,的偏导数连续,则,在R上关于,y,满足 Lipschitz 条件。
8,一的解，其中,上存在惟,证明：,定理1:,在,R,上连续且关于,y,满足,若,（）,将初值问题解的存在惟一性化为,积分方程解的存在惟一性,思路：,在区间,Lipschitz条件，则初值问题,(1.2.3),9,（）构造积分方程迭代函数序列.,（）证明该序列的极限是积分方程的解,（）证明惟一性,仅考虑,上存在.,详细证明：,(1),等价积分方程,的解等价初值问题,与积分方程,(1.2.3),（）证明该迭代序列收敛,10,（2）构造 Picard 迭代数列,这样就得到一个连续函数列,Picard迭代序列它称为,11,（3)Picard 序列的收敛性,引理1.1 对于一切,续且满足,连,.,则,证明:,显然对一切的,都有,有定义且,上满足:,设,在区间,连续,12,证明：考虑函数项级数,估计级数通项:,于是,的一致收敛性与级数的一致收敛性等价引理 1.2,上一致收敛函数列,它的前,项的部分和为:,13,其中第二个不等式由Lipschitz条件可以得到，,设：,对,有,14,于是，由数学归纳法得，对于所有自然数,k,，有,级数在,上一致收敛因为正项级数,收敛,由Weiestrass判,别法知，,设,:,由,的连续性和一致收敛性可得,:,在,上连续,.,15,（4）Picard 迭代数列的极限函数就是,积分方程的连续解。
引理1.3,是积分方程定义于,上的连续解证明：由 Lipschitz 条件,以及,在,上的一致收敛，,得出函数序列,在,一致收敛于函数,.,上,16,因而对,取极限，得,即,这表明,是积分方程的连续解17,（5）解的惟一性,证明：,则,引理 1.4,上的,连续解，则必有,是积分方程在,设,和,令,18,19,注1:,定理中,的几何意义:,故取,.,注2:,函数,的连续性保证解的存在性,Lipschitz条件保证解的惟一性,注:,定理的结论只是在局部范围内给出解的,存在惟一性可反复使用该定理，,使,解的范围延拓到最大的区间,在,解有可能跑到,之外,20,的解,证明：取,在矩形区域：,连续，且它关于y有连续的偏导数例证明初始值问题：,计算,21,对,等价的积分方程得,故由解得存在唯一性定理可知，初始值问题的,内存在唯一当然也在,内存在唯一，,解,22,内连续，且对,有连续的偏导数,因,任意先取,使,最大,对于任意的正数,函数,在,解：,的解存在唯一的区间,例讨论初始值问题,23,显然,使得,最大，且,取,则由定理得解的存在惟一区间为：,再使用依次存在惟一性定理：,，以,令,为区域的中心，,讨论新的初始值问题：,24,当,时，,取得最大值,此时,故取,可得到解在,上存在，事实上，初值问题的解是：,存在区间为：,25,26,内容小结,微分方程解的存在惟一性,P.22 2，3（1，4）,作 业,迭代法构造解的思想,27,。