第十三章轴对称一、 知识框架：二、 知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫 做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线 对称.(4) 线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的 直线，叫做这条线段的垂直平分线.(5) 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶 角，底边与腰的夹角叫做底角.(6)等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分 线.②对称的图形都全等.③ 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这 两个图形关于这条直线对称④ 两个图形关于某条直线成轴对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 ⑵线段垂直平分线的性质：① 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.② 与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点（x,y）关于 x 轴对称的点的坐标为（x,-y）. ②点（x,y）关于 y 轴对称的点的坐标为（-x,y）. ③点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）⑷等腰三角形的性质：① 等腰三角形两腰相等.② 等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③ 等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高 相互重合.④ 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1 条）. ⑸等边三角形的性质：① 等边三角形三边都相等.② 等边三角形三个内角都相等，都等于 60°③ 等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3 条）.(6)三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：① 有两条边相等的三角形是等腰三角形.② 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也 相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：① 三条边都相等的三角形是等边三角形.② 三个角都相等的三角形是等边三角形.③ 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴ 做已知直线的垂线：⑵ 做已知线段的垂直平分线：⑶ 作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线. ⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之 和最短.常考例题精选1.(2015·三明中考)下列图形中，不是轴对称图形的是 ( )2.(2015·日照中考)下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是 ( ) 3.(2015·杭州中考)下列“表情图”中，属于轴对称图形的是 ( ) 4.(2015·凉山州中考)如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋 中，那么击打白球时，必须保证∠1 的度数为( )A.30° B.45° C.60° D.75°5.(2015·德州中考)如图，动点 P 从(0，3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到 矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 P 第 2013 次碰到矩形的边时， 点 P 的坐标为 ( )A.(1，4) B.(5，0) C.(6，4) D.(8，3)6.(2015·南充中考)如图，△ABC 中，AB=AC，∠B=70°，则∠A 的度数是( ) A.70° B.55°C.50° D.40°7. (2015·玉溪中考)若等腰三角形的两边长分别为 4 和 8，则它的周长为( ) A.12 B.16 C.20 D.16 或 208. (2014·海门模拟)如图，在边长为 1 的正方形网格中，将△ABC 向右平移两个 单位长度得到′B′C′，则与点 B′关于 x 轴对称的点的坐标是 ( ) A.(0，-1) B.(1，1) C.(2，-1) D.(1，-1)9. (2015·绵阳中考)如图，AC，BD 相交于 O，AB∥DC，AB=BC，∠D=40°，∠ACB= 35°，则∠AOD= .10. (2015·丽水中考)如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC 的平 分线与 AB 的中垂线交于点 O，点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，则∠CEF 的度数 是 .1 ．(2015· 遵义)观察下列图形，是轴对称图形的是( )2 ．点 P(5，－4)关于 y 轴的对称点是( )A．(5，4)B．(5，－4)C ．(4，－5)D．(－5，－4)3．如图 ABC 与△ADC 关于 AC 所在的直线对称，∠BCD＝70°，∠B ＝80°，则∠DAC 的度数为( )A．55°B．65°C．75°D．85°,第 3 题图)4．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE 垂直平分 AB 交 BC 于点 E，BE＝4，则 AC 长为( )A．2B．3C．4D．以上都不对,第 4 题图)5．如图，AB＝AC＝AD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝( ) A．80°B．100°C．140°D．160°,第 5 题图)6．如图是一台球桌面示意图 ，图中小正方形的边长均相等 ，黑球放在如图 所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是 ( )A．①B．②C．⑤D．⑥,第 6 题图)7．(2015· 玉林) 如图，在△ABC 中，AB＝AC ，DE∥BC，则下列结论中不 正确的是( )A．AD＝AEB．DB＝EC C．∠ADE＝∠CD．DE＝BC,第 7 题图)8．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为 D，交 AC 于点 E，∠A＝∠ABE，AC＝5，BC＝3，则 BD 的长为( )A．1B．1.5C．2D．2.5ABC,第 8 题图)9．如图，已知 S ＝12，AD 平分∠BAC，且 AD⊥BD 于点 D，则 S△的值是( )△ADCA．10B．8C．6D．4,第 9 题图)10．如图，C 为线段 AE 上一动点(不与点 A，E 重合)，在 AE 同侧分别作正 三角形 ABC 和正三角形 CDE，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连接 PQ.以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ； ④DE＝DP;⑤∠AOB＝60°.其中正确的结论的个数是( )A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个,第 10 题图)12．如图，D，E 为△ABC 两边 AB，AC 的中点，将△ABC 沿线段 DE 折 叠，使点 A 落在点 F 处，若∠B＝55°，则∠BDF 等于 ．,第 12 题图)13．如图，在 3×3 的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中 其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有 种．,第 13 题图)14．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，垂足 为 E.若∠B＝35°，则∠DAC 的度数为 ．,第 14 题图)15 ．在△ABC 中，AC＝BC，过点 A 作△ABC 的高 AD，若∠ACD＝30°， 则∠B＝ ．16 ．如图 ABC 中，D，E 分别是 AC，AB 上的点，BD 与 CE 交于点 O. 给出下列三个条件：①∠ EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO ；③ BE＝CD. 上述 三个条件中 ， 哪两个条件可判定△ ABC 是等腰三角形 ( 用序号写出一种情 形)： ．,第 16 题图)17．如图是由 9 个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的 边长是 2，则六边形的周长是 ．,第 17 题图)18．如图，已知∠AOB＝30°，OC 平分∠AOB，在 OA 上有一点 M，OM ＝10cm ，现要在 OC，OA 上分别找点 Q，N ，使 QM＋QN 最小，则其最小值 为 ．,第 18 题图)19 ．如图，某校准备在校内一块四边形草坪内栽上一棵银杏树，要求银杏树 的位置点 P 到边 AB，BC 的距离相等，并且点 P 到点 A，D 的距离也相等．请 用尺规作图作出银杏树的位置点 P.(不写作法，保留作图痕迹)20 ．如图，在平面直角坐标系中，A(－2，2)，B(－3，－2)．(1) 若点 D 与点 A 关于 y 轴对称，则点 D 的坐标为 ；(2) 将点 B 先向右平移 5 个单位再向上平移 1 个单位得到点 C，则点 C 的坐 标为 ；(3) 求 A，B，C，D 组成的四边形 ABCD 的面积．21．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 为上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°.(1)求∠DAC 的度数； (2)求证：DC＝AB.22 ．(2015· 潜江)我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四 边形 ABCD 是一个筝形，其中 AB＝CB，AD＝CD，请你写出与筝形 ABCD 的 角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论．23 ．如图，△ABC，△ADE 是等边三角形，B，C，D 在同一直线上． 求证：(1)CE＝AC＋DC；(2)∠ECD＝60°.24 ．如图，在等腰 ABC 中，∠ACB＝90°，D 为 BC 的中点，DE⊥AB， 垂足为 E，过点 B 作 BF∥AC 交 DE 的延长线于点 F，连接 CF.(1) 求证：AD⊥CF；(2) 连接 AF，试判断△ ACF 的形状，并说明理由．25．如图，已知 AE⊥FE，垂足为 E，且 E 是 DC 的中点．(1) 如图①，如果 FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为 C，D，且 AD＝DC，判 断 AE 是∠FAD 的角平分线吗？(不必说明理由)(2) 如图② ，如果 (1)中的条件“ AD＝DC”去掉 ，其余条件不变 ，(1)中的结 论仍成立吗？请说明理由；(3) 如图③ ， 如果(1)的条件改为“ AD∥FC”， (1) 中的结论仍成立吗？请说 明理由．。