本文格式为Word版，下载可任意编辑2022北京高考理科数学试题及答案 2022年普遍高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 第I卷 选择题（共40分） 一、 本大题共8小题，每题5分，共40分在每题列出的4个选项中，选出符合 题目要求的一项 1， 集合P??x?Z|0?x?3?,M??x?R|x2?9?，那么P?M? （A）?1,2? （B）?0,1,2? （C）?x|0?x?3? （D）?x|0?x?3? 2，在等比数列?an?中，a1?1，公比q?1.若am?a1a2a3a4a5，那么m? （A）9 （B）10 （C）11 3，一个长方体去掉一个小长方体，所得集合体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，那么该几何体的俯视图为 正（主）视图 侧（左）视图 （D）12 （A） （B） （C） （D） 4，8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法总数为 （A）A88A92 （B）A88C92 （A）两个圆 （C）A88A72 （B）两条直线 （D）一条直线和一条射线 （D）A88C92 5，极坐标方程(??1)(???)?0(??0)表示的图形是 （C）一个圆和一条射线 ????????6，a,b为非零向量，“a?b”是“函数f(x)?(xa?b)?(xb?a)为一次函数”的 （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 ?x?y?11?0?7，设不等式组?3x?y?3?0表示的平面区域为D，若指数函数y?ax的图象上存在区 ?5x?3y?9?0?域D上的点，那么a的取值范围是 （A）(1,3] （B）?2,3? （C）(1,2] （D）[3,??) 8，如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分 ED1 EC1 F 别 ?F11在 ,棱 A,DC上D，若 A1 P zPB1 A?E,x?,y,zy大DD,（Qx?D Q C 于零），那么周围体PEFQ的体积 （A） 与x,y,z都有关 （B） 与x有关，与y,z无关 （C） 与y有关，与x,z无关 （D） 与z有关，与x,y无关 A B 第II卷 （共110分） 二、 填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。
2i1?i9，在复平面内，复数 对应的点的坐标为______ 2?310，在?ABC中，若b?1,c?3,?C?，那么a?________ 11，从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），由图中数据可知a?________.若要从身高在[120,130),[130,140三)组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人加入一项活动，那么从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________. 12，如图，?O的弦ED,CB的延长线交于点A，若BD?AE,AB?4,BC?2,AD?3，那么DE?_____;CE?_____ 13，已知双曲线 x2xa22?yb22?1的离心率为2，焦点与椭圆 25?y29?1的焦点一致，那么双曲线的焦点坐标为______； 渐近线方程为_______. 14，如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点P(x,y)的轨迹方程是y?f(x)，那么函数f(x)的最小正周期为_____；y?f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为_______. 说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以 顶点B为中心顺时针旋转，如此持续.类似地，正方形PABC沿x轴负方向滚动. 三、 解答题。
本大题共6小题，共80分解允许写出文字说明，演算步骤或证明过程 15，（本小题共13分） 已知函数f(x)?2cos2x?sin2x?4cosx, （I） （II） 求f()的值； 3?求f(x)的最大值和最小值. 16，（本小题共14分） 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面彼此 垂直，CE?AC，EF∥AC，AB?2,CE?EF?1. （I） （II） 求证：AF∥平面BDE； 求证：CF?平面BDE； （III） 求二面角A?BE?D的大小. 17，（本小题共13分） 某同学加入3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得的优秀劳绩的概率为，其次、 54第三门课程取得优秀劳绩的概率分别为p,q(p?q)，且不同课程是否取得优秀劳绩相互独立，记?为该生取得优秀劳绩的课程数，其分布列为 ? 0 61251 a 2 b 3 24125P （I） （II） 求该生至少有1门课程取得优秀劳绩的概率； 求p,q的值； （III） 求数学期望E?. 18，（本小题共13分） 已知函数f(x)?ln(1?x)?x?（I） （II） BPk2x(k?0). 2当k?2，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； 求f(x)的单调区间. 19，（本小题共14分） 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(?1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与的斜率之积等于?. 31（I） （II） 求动点P的轨迹方程； 设直线AP和BP分别与直线x?3交于点M,N，问：是否存在点P使得?PAB与 ?PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 20，（本小题共13分） A?已知集合 Sn??X|X??x1,x2,...,xn?,xi??0,1?,i?1,2,...,n?(n?2)B1,b?b?,n,bA.与.B.S,，定义的差为： .对于 ?1,a2a,n.?.a.??,2n A?B??a1?b1,a2?b2,...,an?bn?;n A与B之间的距离为d(A,B)??i?1ai?bi. （I） （II） 证明：?A,B,C?Sn，有A?B?Sn，且d(A?C,B?C)?d(A,B)； 证明：?A,B,C?Sn，d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数； （III） 设P?Sn，记P中全体两元素间距离的平均值为d(P).P中有m(m?2)个元素， 证明：d(P)? mn2(m?1) 参考答案 本答案解析来自学而思高考研究中心邓杨老师。
一， 选择题 1，B． 解析：P??0,1,2?，M???3,3?，因此P?M??0,1,2? 2，C． 解析： 2341010am?a1a2a3a4a5?q?q?q?q?q?a1q，因此有m?11 3，C． 解析：很轻易看出这是一个面向我们的左上角缺了一小块长方体的图形，不难选出答案 4，A． 解析：根本的插空法解决的排列组合问题，将全体学生先排列，有老师插入9个空中，共有5，C． 解析：原方程等价于6，B． 解析： f(x)?(xa?b)?(xb?a)?(a?b)x?(b22A88种排法，然后将两位 A92种排法，因此一共有 A8A982种排法 ??1或 ???，前者是半径为1的圆，后者是一条射线 ?a)x?a?b2，如 a?b，那么有a?b?0，假设 同时有b?a，那么函数恒为0，不是一次函数，因此不充分，而假设f(x)为一次函数，那么 a?b?0，因此可得a?b，故该条件必要 7，A． x解析：这是一道略微生动的线性规划问题，作出区域D的图象，联系指数函数y?a的图 象，能够看出，当图象经过区域的边界点（2,9）时，a可以取到最大值3，而鲜明只要a大于1，图象必然经过区域内的点。
8，D． 解析：这道题目延续了北京高考近年8，14，20的风格，即在变化中探索不变，从图中可以分析出，?EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的，而当P点变化时，它到面A1B1CD41的距离是变化的，因此会导致周围体体积的变化 二、填空题 9，（-1，1）. 解析：1?i?(1?i)(1?i)?i(1?i)??1?i 2i2i(1?i) 10， 1 3sinB?sinCc1?b?2?1?23B??6解析： 11，0.030， 3 ，因此 ,A??6?Ba?b?1，故 a?0.030解析：由全体小矩形面积为1不难得到，而三组身高区间的人数比为3:2:1，由分 层抽样的原理不难得到140-150区间内的人数为3人 2712，5， AB?AC?AD?AEAE?8,DE?5BD?AE解析：首先由割线定理不难知道，于是，又 ，故BE222为直径，因此?C?90?，由勾股定理可知CE?AE?AC?28，故CE?27 13，??4,0?，y??3x 解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为??4,0?，又双曲线离心率为2，即a?2,c?4，故a?2,b?23，渐近线为y??14， 4，??1 解析：不难想象，从某一个顶点（譬如A）落在x轴上的时候开头计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4。
下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开头运动的时候，首先是围绕A点运动4个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下： 1bax??3xc P P P A B C P 因此不难算出这块的面积为 ??1 三、解答题 15 （I）（2） f(x)?2(2cosx?1)?(1?cosx)?4cosx?3cosx?4cosx?1?3(cosx?23)?2222f(?3)?2cos2?3?sin2?3?4cos?3??1?34?2??94. 73 ,x?R 由于cosx???1,1?,所以当cosx??。