第二章 单自由度系统的自由振动第一节 导引单自由度系统（Single-Degree-Freedom systems）是最简单的振动系统，又是最基本的振动系统这种系统在振动分析中的重要性，一方面在于很多实际问题都可以简化为单自由度系统来处理，从而可直接利用对这种系统的研究成果来解决问题；另一方面在于单自由度系统具有一般振动系统的一些基本特性，实际上，它是对多自由度系统、连续系统进行振动分析的基础所研究的振动都是微幅振动问题（微振动）所谓微振动是指系统受到外界干扰后，系统各个质点偏离静平衡位置，仅作微小的往复振动系统在振动过程中所受到的各种力将认为只与位移、速度等成线性关系，可以忽略可能出现的高阶微小量例如单摆，其运动微分方程为把单摆作为线性系统研究，则令故有第二节 无阻尼自由振动的运动微分方程及其解自由振动（free vibration）是指在外界干扰下依靠系统本身的弹性恢复力所维持的振动一、运动方程及其解最简单的单自由度振动系统-----有一个质量和一根弹簧（弹簧的刚度系数为，它是弹簧每伸长或缩短一个单位长度所需施加的力，单位为）组成的弹簧质量系统弹簧原长为当系统在没有振动时，系统处于平衡状态，称为静平衡。
此时，系统在重力的作用下产生拉伸变形，称为系统的静变形由静力平衡条件有当系统受到外界某种初始扰动（例如用力将质量块偏离静平衡位置后突然释放，或给质量块以突然一击使之得到一个初始速度），使系统的静平衡状态遭到破坏，则弹簧力不再与重力平衡，从而产生不平衡的弹性恢复力，系统就依靠这种弹性恢复力在其静平衡位置做往复运动，称为自由振动建立坐标系：取静平衡位置为坐标原点，用表示质量块由静平衡位置算起的垂直位移，且规定方向向下为正质量块在振动过程中任一瞬时位置的受力：不变的重力：弹簧力 ：根据牛顿运动定律，有则有 （2-1）单自由度无阻尼系统自由振动的运动方程两点讨论：（1）质量块的重力只对弹簧的静变形有影响，即的大小只改变质量块的静平衡位置，而不影响质量块在静平衡位置附近作振动的规律因此，当取静平衡位置为坐标原点建立运动微分方程时，在方程式（2-1）中就没有重力项，同时也没有由静变形引起的弹簧力这一项2）方程式（2-1）中 称为弹性恢复力它的大小和位移的大小成正比，方向始终与位移方向相反因此，弹性恢复力的方向始终指向静平衡位置，这是弹性恢复力的一个特点令 则方程（2-1）可写为 （2-2）其通解为 （2-3）式中为任意常数它由初始条件时和来确定。
将初始条件代入方程中，得 （2-4）它是由两个相同频率的简谐运动组成，称为系统对于初始条件为和的响应经变换方程（2-4）该写为 （2-5）----- 自由振动的振幅（amplitude），它表示质量块离开静平衡位置的最大位移 初相位（initial phase）由上式可见，振幅和相位都取决于初始条件这是自由振动的共同特点系统的固有圆频率（natural circular frequency）系统的固有频率（natural frequency）系统的固有周期（period）固有频率和周期决定与系统本身的物理性质：质量和弹簧刚度，而与自由振动的初始条件无关因此，一旦确定了系统的质量和弹簧刚度，则系统的固有频率就有一个确定的值固有频率是振动系统的一个重要参数，是进行振动分析或动态结构设计必不可少的参数注：方程（2-5）也可写成如下形式例题1： 一卷扬机，通过钢索和滑轮吊挂重物（如图a所示）重物重量W=147000N，以v=0.025m/s等速下降如突然制动，钢索上端突然停止这时钢索中的最大张力为多少？钢索弹簧常数为k=5782×103 N/m (a) (b) (c)注意：解题时各物理量的单位要统一。
解： 在正常工作时，重物以等速下降，系统处于静平衡状态，钢索的张力为T1=kΔ=W=147000 N由于钢索是一弹性体，系统可表示为图（b）的形式 突然停止，把这一时刻作为事件的起点t=0，并以这一时刻重物静平衡的位置作为坐标原点，则系统可简化为图（c）的模型系统的振动微分方程为系统的固有频率为施加于系统的初始条件为 代入 ，得A=0.00128 (m)则由振动引起钢索中的动张力为 T2=kA=7400.96 (N)钢索中的最大张力为T=T1+T2=154400.96 (N)例题2： 有一弹簧-质量系统，如图所示有一质量m从高度h处自由落下，落在质量m1上假设为弹性碰撞，且没有反弹试确定系统由此而发生的自由振动a） （b） （c） （d）注： 图（c）是振动起始时刻；图（d）是振动系统的静平衡位置，也即系统坐标原点位置解：以m与m1碰撞这一时刻，作为时间的起点 取质量m和m1与弹簧k形成的新系统的静平衡位置为坐标原点，如图（d）所示 质量m自由落下距离h，其速度为质量m与m1 发生无反弹的弹性碰撞（动量守恒）后，质量m和m1的速度为则初始速度为 初始位移为系统的固有频率为由初始条件所确定的系统的自由振动为二、静变形法---- 计算固有频率的一种方法∵ （是弹簧在质量块处的静变形）∴ （2-6）故只要知道弹簧在质量块处的静变形，就可以直接计算系统的固有频率。
这在一些实际问题中，不能直接给出系统的弹簧刚度时，利用它计算固有频率是比较方便的例由材料力学挠曲线方程，得静变形为∴ 三、等效弹簧刚度对于实际的机械系统，尽管其外形各不相同，但都可把它们简化成弹簧质量系统，其运动微分方程为 --- 等效质量 --- 等效刚度1. 等效刚度的定义刚度的定义：使系统的某点沿指定的方向产生单位位移（或角位移）时，在该点沿同一方向所要施加的力（或力矩），就称之为系统在该点沿指定方向的刚度设某点沿指定方向的位移为，在该点同一方向所施加的力为，则刚度为1）杆的拉伸刚度（压缩刚度）为求杆的拉伸刚度，可设在点处作用一拉力此时杆作拉伸变形由材力知点的拉伸变形为 则点沿方向的拉伸刚度为（2）梁的弯曲刚度由材力知，点的 静挠度为 则点沿方向的弯曲刚度为（3）轴的扭转刚度确定等直轴绕轴的转动方向的刚度，在点处绕轴的转动方向施加一扭矩，这时轴作扭转变形，产生扭转角根据材力扭转角公式式中 则点绕方向的扭转刚度为由上可见，即使是机械中的同一个元件，根据所要研究的不同方向的振动，是会有不同刚度的2. 弹簧的串并联的等效刚度（教材1.5）振动系统中常常会遇到把若干个弹簧串联或并联在一起使用。
这种用组合弹簧组成的系统可用单一的具有等效刚度的弹簧表示1）串联弹簧的等效刚度两根刚度分别为和的弹簧串联在一起的系统，它可用等效刚度为的一根弹簧来代替在串联弹簧的点加一垂直力，显然两根弹簧所受到的力均相同，但伸长不同，分别为和 ，则点的位移为两根弹簧的总伸长：则弹簧的串联的等效刚度为或写成可见，串联弹簧的作用可使系统中的弹簧刚度降低根弹簧串联，其等效刚度为（2）并联弹簧的等效刚度两根刚度分别为和的并联弹簧可用一根等效刚度为弹簧来代替在并联弹簧的点加一垂直力，必须使两根弹簧和具有相同的位移，但两根弹簧的受力不同，分别为和 ，根据静力平衡条件，有 则弹簧的并联的等效刚度为可见，并联弹簧的刚度是原来弹簧刚度之和，比原来各个弹簧刚度都要大根弹簧并联，其等效刚度为例题：计算系统固有频率弹簧串联，其等效刚度为∴ 思考题：图示系统固有频率？注：一个系统，由于所处的位置不同，则系统的等效刚度也不同例如对于图（a），根据牛顿第二运动定律，系统的运动方程因系统作微幅振动，故 则其等效刚度为 图（a）对于图（b），系统的运动方程则其等效刚度为 图（b）对于图（c），系统的运动方程即 则其等效刚度为 图（c）四、 扭转振动一根扭转刚度为的垂直轴，下端固定着一个转动惯量为的圆盘。
根据牛顿运动定律，系统的扭振方程为令 则由此可见，除了选择的坐标系不同之外，扭转振动与直线振动的数学描述是完全相同的故弹簧质量系统的有关结论完全适用于扭转振动例题3：确定图示扭转系统的固有频率解：因轴1和轴2有相同的扭转角，故属于弹簧并联∴ 根据 和 ，则 和 ∴ 19。