-成 绩： 科技师大学毕业论文 题 目：浅谈中学几种常用证明不等式的方法〔外文〕：On the method monly used in Middle School to prove inequality院〔系〕： 数学与计算机科学学院 专 业： 数学与应用数学 学生： 吴丹 学 号： 20211741 指导教师： 樊2021年3月20日目录1引言12放缩法证明不等式12.1放缩法12.2〔改变分子分母〕放缩法12.3拆补放缩法22.4编组放缩法32.5寻找"中介量〞放缩法43反正法证明不等式43.1反证法定义43.2反证法步骤54．换元法证明不等式64.1利用对称性换元，化繁为简64.2三角换元法74.3和差换元法84.4分式换元法85． 综合法证明不等式95.1综合法证明不等式的依据95.2用综合法证明不等式的应用95.3综合法与比拟法的在联系106.分析法106.1分析法的定义106.2分析法证明不等式的方法与步骤116.3分析法证明不等式的应用117．构造法证明不等式137.1构造函数模型137.2构造数列模型148．数学归纳法证明不等式158.1分析综合法158.2放缩法168.3递推法169.判别式法证明不等式1710.导数法证明不等式1810.1利用函数的单调性证明不等式189.2利用极值〔或最值〕1911比拟法证明不等式2011.1差值比拟法2011.2商值比拟法2111.3比拟法的应用围2112完毕语：22参考文献22. 优选-. -浅谈中学常用几种证明不等式的方法 摘要：中学数学有关不等式的证明的题型多变，技巧性很强，同时它也没有固定的程序加以规定。
因而他是中学数学考试的难点不等式的证明的方法很多本文将列举出中学数学常用的几种方法：放缩法、反正法、换元法、分析法、综合法、构造法、数学归纳法、判别式法、导数法、比拟法 关键词：不等式 证明方法1引言不等式，渗透在中学数学各个分支中而不等式的证明在不等式中占有极其重要的地位不等式的证明的方法是中学数学的重要知识，也成为了中学数学考试的热点问题本文针对以上的情况，提出了中学几种常见的不等式的证明方法来和大家一起分享，希望不仅能够对我们今后碰到类似的问题起到指导的作用，而且还能够培养分析和解决问题的能力2放缩法证明不等式2.1放缩法放缩法的定义：在不等式的证明中，有时可把不等式中的*些项或因式换成数字较大或较小的数或式，以到达证明的目的，这种证明方法称为放缩法放缩法的形式：欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得再利用传递性，到达欲证的目的2.2〔改变分子分母〕放缩法在不等式有分式时，长放大或缩小分式的分子或分母，从而到达"以小代大〞或"以大代小〞的目的例1：求一切 证明： = =2.3拆补放缩法在证有些不等式的时候，常将其中*些项拆开和或合并以完成证明。
例2：求证：证明：2.4编组放缩法证明不等式有时把*项拆开，重新编组，利用根本不等式完成证明例3：求证:.证明：左2.5寻找"中介量〞放缩法当两式难以比拟大小时，可寻找"中介量〞牵线搭桥，利用不等式的传递性完成证明例4：求证：证明：小结:放缩法是不等式证明中常见的变形方法之一，具有较高的技巧性放缩必须有目标，而且要恰到好处，需要细心观察，目标往往要从证明的结论中寻找3反正法证明不等式3.1反证法定义"证明*个命题时，先假设它的结论的否认成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和的真命题，经过推理，得出与事实〔条件、公理、定义、定理、法则、公式等〕相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否认不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立〞.这种证明的方法，叫做反证法．3.2反证法步骤1、 假设命题的结论不成立；2、 从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；3、 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确，即：提出假设——推出矛盾——肯定结论．例5：：都是小于1的正数；求证：中至少有一个不大于分析：采用反证法证明．其证明思路是否认结论从而导出与或定理的矛盾从而证明假设不成立，而原命题成立．对题中"至少有一个不大于〞的否命题是"全都大于〞。
证明：假设都是小于1的正数 又 故与上式矛盾，假设不成立，原命题正确说明：反证法是利用互为逆否命题具有等价性的思想进展推证的．反证法必须罗列各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证都是不完全的，遇到"至少〞、"至多〞、"唯一〞等字句的命题常用反证法．例6：假设，求证：证明：假设，则，即因为，所以故 又即 所以 故与假设不成立，原命题正确总结：反证法是根据"正难则反〞的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现用反证法证明不等式就是最好的应用4．换元法证明不等式4.1利用对称性换元，化繁为简例7:设求证:.分析:把中的两个互换,不等式不变,所以这是一个对称不等式,令 则原不等式等价于： .证明:令,则,.时,有；当时,有(否则中必有两个不为正值,不妨设,,则,这与矛盾), 因此,, 综上所述, 把代入上式得:4.2三角换元法三角换元法的根本思想是根据条件，引进新的变量---三角函数，把一个复杂的不等式问题转化为三角不等式的问题，再利用三角函数的性质及三角恒等式去证明，从而使不等式得证。
例8：，求证分析：由，令，则证明：令，说明:换元法是将较为复杂的不等式利用等价转换的思想转换成易证明的不等式．常用的换元法有(1)假设，可设，；(2) 假设，可设；(3)假设，可设，4.3和差换元法在题中有两个变量，可设，这称为和差换元法，换元后有可能简化代数式例9:对任意实数，求证：分析：对于任意实数与，都有令，则有证明：设， 下面只须证： ∵不等式右边—不等式左边=∴ 即说明：利用"和差换元〞可以简证难度较大的不等式.4.4分式换元法例10： 分析：此题的证明方法很多，下面我们利用分式换元来进展证明证明：设 当且仅当说明：不等式的证明中，我们知道证明不等式时，可以利用分式换元，使其分式构造变得简单，分母变为单项式，然后把逐项别离，便于利用均值不等式5． 综合法证明不等式5.1综合法证明不等式的依据〔1〕条件和不等式性质；〔2〕根本不等式："＝〞号〕．5.2用综合法证明不等式的应用例11：是不全等的正数，求证：．分析：观察题目，我们很容易想到利用性质．证明：，① 同理可得：②③是不全等的正数，①，②,③至少有一个不等式不能取等号①+②+③5.3综合法与比拟法的在联系由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比拟法证出的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比拟法来证明；摆在我们面前的问题恐怕是方法的选择．方法选择不当，不是证不出来就是难度加大；方法合理使用，会使题目难度大大下降．因此我们不要学过*种方法就抱定不放，要善于观察，根据题目的特征选择证题方法。
6.分析法6.1分析法的定义从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题如果能够肯定这些充分条件都已具备，则就可以断定原不等式成立，这种证明方法叫做分析法6.2分析法证明不等式的方法与步骤用分析法论证"假设A则B〞这个命题的格式是： 欲证命题B为真， 只需证命题B1为真， 只需证命题B2为真，…… 只需证命题Bn为真， 只需证命题A为真， 令命题A为真， 故命题B为真6.3分析法证明不等式的应用例12：假设，求证：分析：采用分析法证明． 证明：原不等式成立说明：从这道题目我们不难看出"分析法〞的证明格式，是用"〞符号，不断用充分条件代替前面的不等式6.4综合法与分析法的综合应用条件和结论之间的关系比拟复杂,根据既定法则和事实条件,由因导果,一直推究下去,有时会在中途迷失方向,使解题无法进展下去.在这种情况下,可以同时运用综合法与分析法的解题方法,执行.例13：假设是不全相等的正数，求证 分析：利用对数的性质，所要证的不等式等价于，所以只要证，于是我们可以利用不等式的性质：即可得证。
证明：，，，且这三个不等式的等号不能同时成立〔它们是3个不全等的正数〕说明：分析法和综合法是对立统一的两个方面．在这道题目中，前面是分析法，后面是综合法，两种方法结合使用，使问题较易解决．分析法的证明过程恰恰是综合法的分析、思考过程，综合法的证明方法是分析思考过程的逆推7．构造法证明不等式构造法作为一种数学思维方法，在解题过程过观察分析给出式和欲证式，充分挖掘题目的隐含信息，并进展联想与思考，恰当地构造出一个与题目相关的数学模型，将欲证的问题转化到我们所熟悉的情景之中，从而到达证题的目的，这是构造法证题的解题模式本文以证明不等式为例，介绍几种常见的构造法7.1构造函数模型我们常常利用一次函数的线性性质、二次函数的最值以及函数的单调性等性质证明*些不等式问题在证明不等式时，抓住不等式与函数的密切关系，以问题的构造特征为起点，构造相应函数，从函数的思想和方法来解决问题例14：: 求证: 证明: 构造函数,此图象为一条直线.∵∴又例15:都是正数,；求证 证明: 在(0,1)上的值域为所以,.7.2构造数列模型对于*些自然数的不等式问题，与数列有着密切的联系，这时可构造有关数列模型，利用其单调性解决。
例16： 求证：证明: 构造数列模型则有，所以数列为递增数列又因为，故。