第一节第一节 函数及其表示函数及其表示基础梳理基础梳理1. 函数的概念设A、B是非空的 ,如果按照某种 ,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有 和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数.记作 .其中,所有输入值x组成的集合A叫做函数的 ;对于A中的每一个x都有一个 与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的 .数集对应法则f唯一的元素yy=f(x),x∈A定义域输出值y值域 2. 构成函数的三要素: 、 和 3. 两个函数相等函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域B和对应关系f.定义域和对应关系为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的 和 · 都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.4. 常用的函数表示法(1) (2) (3) .5. 分段函数若一个函数的定义域分成了若干个 ,而每个 的 · 不同,这种函数称为分段函数.定义域对应法则值域定义域对应关系解析法列表法图象法子区间解析式子区间6. 映射的概念一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的 元素,在集合B中都有 的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射.记作 。
每一个唯一“f:A→B” 典例分析典例分析题型一题型一 函数的概念函数的概念【【例例1 1】】设函数f(x)= 求f(-4);f( )=8,求分析 这是分段函数的变换问题，需要结合定义域作数值代换解 综上所述，学后反思 本题是在已知分段函数的解析式的前提下，通过给出自变量（函数值），确定函数值（函数值）这也是在近几年高考中考查函数概念的常见题型，解决这类问题的关键是要理解函数的定义：自变量确定，有唯一的函数值与之对应，函数值确定，可能有多个自变量与之对 应，同时，面对分段函数一定要结合定义域分段考虑举一反三举一反三1.已知符号函数sgnx= ,则不等式（x+1）sgn的解集是 解析： 不等式（x+1）sgn x>2,可化为 或 或解得x>1或x<-3, 解集为｛x|x<-3或x>1｝答案： ｛x|x<-3或x>1｝ 题型二题型二 判断两个函数是否相同判断两个函数是否相同【【例例2 2】】试判断以下各组函数是否表示同一函数..xxg(x), 1xx(x)(4)*);N(n)x(g(x),x(x)(3)0);1(x-0),1(g(x),|x|(x)(2);xg(x),x(x)(1)21n-21n21n21n2332+=+=Î==îíì<³====-++ffxxff分析 根据定义域、值域和对应关系是否相同来判断. 解 （1）由 故它们的对应关系不相同,所以它们不是同一函数.(2)由于函数 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而的定义域为R,所以它们不是同一函数.(3)由于当n∈N*时,2n±1为奇数,∴ 它们的定义域、值域及对应关系都相同,所以它们是同一函数.xxf====-1++1n-2n21n21n2)x(g(x),x(x)(4)由于函数 的定义域为{x|x≥0},而 的定义域为{x|x≤-1或x≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数. 学后反思 对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应关系都相同时,y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数.若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然.对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同,则这两个函数就不可能是同一函数.2- t4-tg(t),2-x4-x(x)Z)1(x2xg(x)R),1(x-2x(x)x g(x),)x((x)1)a0,(aag(x),alog(x)22332xlogxaa==Î-=Î===¹>==ffff④③②①举一反三举一反三2.下列四组函数,表示同一函数的是 . 解析 ①中两函数定义域不同,②中两函数定义域不同,③中两函数定义域不同,④中两函数定义域相同，对应法则也相同.答案：④f(x).3x,x1f2f(x)f(x)(3)f(x);lgx,1)2(f(2)f(x);,x1x)x1f(x(1)22求）（满足已知求已知求已知=+=++=+x题型三题型三 求函数解析式求函数解析式【【例例3 3】】 分析 (1)用配凑法;(2)用换元法;(3)用方程组法.解(1)①把①中的x换成 学后反思 函数解析式的常见求法有:(1)配凑法.已知f [h(x)]=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理成或配凑成只含h(x)的式子,用x将h(x)代换.(2)待定系数法.若已知函数的类型(如一次函数、二次函数），比如二次函数可设为f(x)= +bx+c(a≠0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条件列出方程组,解出a、b、c即可.(3)换元法.已知f [h(x) ]=g(x),求f(x)时，往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元，便可求解.(4)方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他未知量,如 等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). 举一反三举一反三3.(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x);（2）已知g(x)=1-2x, .解析 (1)设f(x)=ax+b(a≠0),由3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,得3［a(x+1)+b］-2［a(x-1)+b］=2x+17∴ax+5a+b=2x+17， (2)令g(x)=1-2x= ,得题型四题型四 分段函数的应用分段函数的应用【【例例4 4】】我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水,某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分水费加收200%,若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应缴多少水费？ 分析 在本题中，用水量（自变量x）属于不同范围时有不同的缴费办法，所以应分段计算水费.解 用y表示本季度应交水费（单位：元）.当0＜x≤5时， =1.3x………………………………………………3′当5＜x≤6时，应把x分成两部分：5与(x-5)分别计算，第一部分收基本水费1.3×5，第二部分由基本水费与加价水费组成，即1.3(x-5)+1.3(x-5)×200%=1.3(x-5)(1+200%)，∴ =1.3×5+1.3（x-5）(1+200%)=3.9x-13………………………7′当6＜x≤7时,同理： =1.3×5+1.3(1+200%)+1.3(x-6)(1+400%)=6.5x-28.6…………11′综上可能 学后反思 对于分段函数，应分别求出各区间内的函数关系，再结合在一起，注意要使各区间的端点既不重复又不遗漏.举一反三举一反三4.为刺激消费，某商场开展让利促销活动，规定：顾客购物总金额不超过1000元，则享受一定的折扣优惠，折扣按下表累计计算： 20% 超过500元的部分 10% 不超过500元的部分 折扣率可以享受折扣优惠的金额（购物金额超出1000元的部分） 例如，某人购物1300元，则享受这口优惠的金额为（1300-1000）元，优惠额300 10%=30，实际付款1270元。
1）某顾客购买了1800元的商品，它实际应付款多少元？（2）设某人购物总金额为x 元，实际应付款y 元，求y 关于x 的函数解析式解析 （1）若顾客购买了1800元的商品，则实际付款为 100+500（1-10%）+（1800-1500） （1-20%）=1690（元）（2）当 元时，应付款 x 元; 当 元时，应付款 当 【例例】已知 错解 由已知得 易错警示易错警示错解分析 在使用直接配凑法或换元法求函数解析式时,没有考虑定义域的变化致错.也就是说,在采用换元法求函数解析式时一定要保持等价变换.正解 由已知得 10.如图,在边长为4的正方形ABCD上有一点P,沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动,设P点移动的路程为x,△ABP的面积为y=f(x).求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式.解析：由题易知函数的定义域为(0,12). 当0-2x的解集为（1，3）.若方程f(x) +6a=0有两个相等的实根，求f(x)的解析式. 12.经市场调查得知，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g(t) =80-2t（件），价格近似满足f(t)=20- (元）。
（1）是写出该种商品的日销售额y与时间（ ）的函数表达式；（2）球该种商品的日销售额y的最大值与最小值解析 由方程f(x)=a(x-1)(x-3)-2x= -(2+4a)x+3a因为方程f(x)有两个相等的实根，所以 -(2+4a)x+9a=0即 -4a-1=0,解得 a=1或a=-易知 a<0,故舍去a=1,将a=- 代入得 f(x)的解析式为f(x)= 解析 （1）y=g(t) f(t)=(80-2t)(20 )=(40-t)(40- )=(2)当 时，y 的取值范围是 ， 当t=5时，y 取得最大值为1225； 当 时，y的取值范围是 当t=20时,y取得最小值为600 所以日销售额的最大值为1225元，最小值为600元 第六节第六节 椭圆椭圆基础梳理基础梳理1. 椭圆的定义（1）平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件:①到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a;②2a F1F2.(2)上述椭圆的焦点是 ，椭圆的焦距是F1F2.2. 椭圆的标准方程和几何性质＞F1、F2 标准方程 图形性质 范围 ≤x≤a ≤y≤b ≤x≤b ≤y≤a对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点A1 ,A2B1 ,B2 A1 ,A2B1 ,B2 轴 长轴A1A2的长为 短轴B1B2的长为 .焦距 F1F2=离心率 e= ∈a,b,c的关系 c2=-a-a-b-b(-a,0)(0,-b)(a,0)(0,b)(0,-a)(-b,0)(0,a)(b,0)2a2b2c(0,1)a2-b2 典例分析典例分析题型一题型一 椭圆的定义及其标准方程椭圆的定义及其标准方程【例1】已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 和 ，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.分析 方法一：用待定系数法，设出椭圆方程的两种形式后，代入求解.方法二：先由椭圆定义，确定半长轴a的大小，再在直角三角形中，利用勾股定理求c,然后求b. 解 方法一：设椭圆的标准方程 或 ,两个焦点分别为F1、F2，则由题意知2a=PF1+PF2= , ∴a= .在方程 中,令x=±c,得｜y｜= ；在方程 中,令y=±c,得｜x｜= .依题意知 = ,∴b2= .即椭圆的方程为方法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,则PF1= ,PF2= .由椭圆的定义,知2a=PF1+PF2= ,即a= . 由PF1>PF2知，PF2垂直于长轴.故在Rt△PF2F1中，4c2=PF12-PF22= ,∴c2=53，于是b2=a2-c2= .又所求椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为学后反思 (1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程，分别计算；有时也可以直接设成（2）过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦通常叫做通径，其长度为 . 举一反三举一反三1. 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P(3,2),求椭圆的方程.解析: （1）当焦点在x轴上时，设椭圆方程为 (a＞b＞0),则 解得 此时所求的椭圆方程为 (2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为 (a＞b＞0)，则 解得 此时所求的椭圆方程为 综上，所求的椭圆方程为 或 题型二题型二 椭圆的几何性质椭圆的几何性质【例2】已知P是椭圆 (a＞b＞0)上一点，F1、F2分别是左、右两个焦点.（1）若 (0＜θ＜π)，求证:△F1PF2的面积为 (2)若存在点P,使 ，求椭圆离心率的取值范围.分析 （1） 为焦点三角形，设 , ,则m+n=2a,而 只要将mn用m+n表示出来即可.（2）若求离心率e的取值范围，则必须依据条件，得到关于e的不等式求解. 解 (1)证明：如图所示，设 , , 的面积为S，则 . ①在 中， ∵m+n=2a,1+cos θ≠0,∴ .②由①、②得 (2)当 时，由(1)得 又 (当且仅当m=n时取等号),∴ ∴ ∴e≥ , ∴e的取值范围为[ ,1). 学后反思 本题涉及到椭圆的顶点，长轴、短轴、离心率等几何性质，解题时应理清它们之间的关系，结合图形挖掘它们之间的数量联系，从而使问题得到解决.举一反三举一反三2. (2009·北京)椭圆 的焦点为 , ,点P在椭圆上，若|P |=4,求|P |及 的大小.解析: ∵ , ,∴ ∴ ,又|P |=4,且|P |+|P |=2a=6,∴|P |=2,又由余弦定理，得 ∴ 题型三题型三 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系【例3】(14分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.分析 (1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.（2）直线方程与椭圆方程联立后得到交点A、B的坐标关系，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点可得到两直线垂直，从而求得交点A、B的坐标关系，联立后可求k、m的关系. 解 （1）据题意设椭圆的标准方程为 ,由已知得a+c=3,a-c=1, ……………………………………….2′∴a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3,∴椭圆的标准方程为x24+y23=1. …………………………….4′(2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 y=kx+m， x24+y23=1，得（3+4k2）x2+8mkx+4(m2-3)=0, …………………………….6′则由题意得Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,即3+4k2-m2>0.又x1+x2= ，x1x2= ，∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= ………………………………………………………………8′ ∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),∴kAD·kBD=-1,即 ,∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,∴ ,即7m2+16mk+4k2=0.解得m1=-2k,m2= ,且均满足3+4k2-m2>0…………………12′当m1=-2k时,l的方程为y=k(x-2),直线过定点（2，0）,与已知矛盾；当m2=- k时,l的方程为y=k(x- ),直线过定点( ,0).所以直线l过定点，定点坐标为( ,0). …………………14′ 学后反思 (1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离的情况.（2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础.举一反三举一反三3. 若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C： 于A,B两点，且A,B关于点M对称，求直线l的方程. 解析： 设A,B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2，1）显然直线l的斜率存在,从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程，得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因为A,B关于点M对称，所以 ,解得k= .所以直线l的方程为y= (x+2)+1,即8x-9y+25=0. 【例4】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S.求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域. 题型四题型四 椭圆的实际应用椭圆的实际应用分析 建立坐标系后写出椭圆方程，求出y与x的关系式，从而求出S与x的函数式.解 依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如下图），则半椭圆方程为 (y≥0),解得 (0≤x≤r). ∴S= (2x+2r)· = (x+r),由S＞0和C与D不重合，得其定义域为{x｜0AB=2,由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆.以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为 易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD面积最大，则以C、D为此椭圆短轴的两端点，此时面积S= km2. 易错警示易错警示【例】若椭圆 的离心率 ,则k的值为 .错解 由已知 , ,又 ∴ ,解得k=4.错解分析 忽视了椭圆的焦点位置不确定，即焦点也有可能在y轴上的情况.正解 （1）若焦点在x轴上，即k+8>9时， , ,解得k=4;(2)若焦点在y轴上，即0b>0).∵c= ,∴ 由 ,消去y,得 设直线与椭圆相交于 , 两点，则 , 是上述方程的根，且有Δ>0,即 恒成立.∵ ∴ 即 ,∴ .故所求椭圆方程为 12. (2008·北京）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆 上，对角线BD所在直线的斜率为1.（1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（2）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值.解析：（1）由题意，得直线BD的方程y=x+1.因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由 ,得 因为A、C在椭圆上,所以 ，解得 设A，C两点坐标分别为 ， 则 , 又 , ，所以 所以AC的中点坐标为 由四边形ABCD为菱形可知，点 在直线y=x+1上，即 ,解得n=-2.所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(2)因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°,所以AB=BC=CA,所以菱形ABCD的面积 由（1）可得 所以 所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值 。