§1.11 对称多项式第一章 多项式对称多项式是多元多项式中常见的一种，也是一 类比较重要的多元多项式，它的应用比较广泛，对称 多项式的来源之一以及它应用的一个重要方面，是一 元多项式根的研究，下面我们从一元多项式的根与系 数的关系谈起设 是 的一个多项式，如果在F中有n个根（重根按重数计算），则 可分解为把上式展开，比较两边系数，得根与系数关系如下：第一章 多项式由此看出，多项式的系数是对称地依赖于方程的根的，改写上述方程组得第一章 多项式—（1）所得n个n元多项式是对称地依赖于文字下面给出对称多项式的概念定义1.11.1：对于n元多项式 如果对任意的都有则称这个多项式为对称多项式第一章 多项式例如：是一个三元对称多项式，是一个n元对称多项式都是n元对称多项式，（1）中的 称为初等对称多项式并非每一个多项式都是对称多项式，例如 这时第一章 多项式由定义可以推出：1、两个n元对称多项式的和、差、积仍是n元 对称多项式；2、如果一个对称多项式含有一项则 也一定含有一切形如的项这里是 的任意一个排列；3、如果是n元对称多项式，而 是任一多项式，那么是n元对称多项式第一章 多项式在对称多项式的理论中，初等对称多项式占有 一个很重要的地位。
下面将要证明，每一个n元对 称多项式都可以唯一地表示成初等对称多项式 的多项式这是对称多项式的基本定理下面不加证明给出一个引理引理1.11.1：设是数域F上一个n元多项式，以代替得关于的一个多项式如果则有第一章 多项式定理1.11.1：数域F上每个n元对称多项式都可以表成关于初等对称多项式的多项式且这种表示方法是唯一的证明：1、设对称多项式按字典排列的首项是—（2）则这一项的幂指数必满足不等式：第一章 多项式不然，设有某个i，使由于是对称多项式，故也含有项—（3）而按字典排列法，（3）项应在（2）项之前， 这与（2）项是首项矛盾2、令由 知，每一个的幂指数都是非负整数，而作为一些初等对称的幂的乘积， 是 的一个对称多项式， 的首项是第一章 多项式它等于f的首项因此令是一个n元对称多项式，且的首项，对的首项小于f对称多项式重复上述消去首相的方法，我们得到是F上的初等对称多项式的幂的乘积， 的首项小于 的首项如此继续作下去，这个过程一定在有限步后终 止，即存在一个自然数m，使第一章 多项式这是因为，若—（4）是某个的首项由于是对称多项式所以这一项的幂指数必须满足不等式另一方面，（4）项小于项（2），故且 是有限数，满足这样的数组只能是有限多组。
因此经过有限步后，必有一于是我们得一串等式第一章 多项式把这一串等式相加，即得这里每一都是F上关于初等对称多项式的幂的乘积，可是f可以表成的多项式下证表方法是唯一的如果多项式有两种表达式：和 都是的多项式第一章 多项式由引理1.11.1：故 因此基本定理的证明同时给出一个用初等对称多 项式来表示对称多项式的方法例1：用初等对称多项式表示n元对称多项式f的首项是对应的n元数组为故取于是第一章 多项式故 对于复杂的对称多项式，可以利用待定系数法来求设 是F上一个单项式，用符号—（5）表示这个单项式经过的一切置换所得的所有不同项的和第一章 多项式1、（5）式是一个对称多项式，并且是齐次的例如例2：用初等对称多项式表示n元对称多项式由定理1.11.1的证明知道，所求的表示式的各项完全取决于相应的对称多项式的首项，第一章 多项式这些首项必须满足以下条件：1. 每个的首项都小于f的首项，如果i>j，则的首项小于的首项；2. 每一首项的指数组满足不等式3. 每一首项的次数都等于4（因为f是一个四次齐式，因此每一也是四次齐次）；由f的首项的指数组开始，写出满足上述条件 的一切可能的指数组，以及对应的第一章 多项式的幂的乘积，列表如下：指数组对应的的幂的乘积于是多项式f可以表成其中a、b是待定系数，要确定a、b的值，只要对取一些特殊值代入即可求出。
第一章 多项式例如对例2，可以先取对于这组值，而 由于得 再取这时故由得 于是2、如果所给的对称多项式不是齐次多项式，则可以先把它写成一些齐次多项式的和，然后第一章 多项式再对每一齐次多项式应用待定系数法考虑的差积的平方D是一个重要的对称多项式由基本定理， D可以表示成的多项式由根与系数的关系知，是 的根第一章 多项式于是若则 在C上有重根，反之也成立故 为一元多项式的判别式例：设求 的判别式解：设的根为。