空间中的平行关系题型1：共线、共点和共面问题例1．（1）如图所示，平面ABD平面BCD ＝直线BD ，M 、N 、P 、Q 分别为线段AB 、BC 、CD 、DA 上的点，四边形MNPQ 是以PN 、QM 为腰的梯形试证明三直线BD 、MQ 、NP 共点证明：∵ 四边形MNPQ 是梯形，且MQ 、NP 是腰，∴直线MQ 、NP 必相交于某一点O ∵ O 直线MQ ；直线MQ 平面ABD ，∴ O 平面ABD同理，O 平面BCD ，又两平面ABD 、BCD 的交线为BD ，故由公理二知，O 直线BD ，从而三直线BD 、MQ 、NP 共点αDCBAEFHG（2）如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线证明：∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β．又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，αbadcGFEAabcdαHK图1图2∴E，F，G，H四点必定共线例2．已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面。
证明：1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，但AÏd，如图1所示：∴直线d和A确定一个平面α又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，G∈α∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα同理可证bα，cα∴a，b，c，d在同一平面α内2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2所示：∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α又 H，K∈c，∴c,则cα同理可证dα∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．题型2：异面直线的判定与应用例3．已知：如图所示，a b ＝a ，b b ，a b ＝A ，c a ，c ∥a 求证直线b 、c 为异面直线证法一：假设b 、c 共面于g ．由A a ，a ∥c 知，A c ，而a b ＝A，a b ＝a ，∴ A g ，A a又c a ，∴ g 、a 都经过直线c 及其外的一点A，∴ g 与a 重合，于是a g ，又b b又g 、b 都经过两相交直线a 、b ，从而g 、b 重合∴ a 、b 、g 为同一平面，这与a b ＝a 矛盾∴ b 、c 为异面直线．证法二：假设b 、c 共面，则b ，c 相交或平行。
1）若b ∥c ，又a ∥c ，则由公理4知a ∥b ，这与a b ＝A 矛盾2）若b c ＝P ，已知b b ，c a ，则P 是a 、b 的公共点，由公理2，P a ，又b c ＝P ，即P c ，故a c ＝P ，这与a ∥c 矛盾综合（1）、（2）可知，b 、c 为异面直线证法三：∵ a b ＝a ，a b ＝A ，∴ A a ∵ a ∥c ，∴ A c ，在直线b 上任取一点P（P 异于A），则P a（否则b a ，又a a ，则a 、b 都经过两相交直线a 、b ，则a 、b 重合，与a b ＝a 矛盾）又c a ，于是根据“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”知，b 、c 为异面直线例4．（1）已知异面直线a,b所成的角为70，则过空间一定点O，与两条异面直线a,b都成60角的直线有( )条A．1 B．2 C．3 D．4（2）异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O，过点O有3条直线与a,b所成角都是60，则的取值可能是（ ）A．30 B．50 C．60 D．90解析：（1）过空间一点O分别作∥a,∥b。
将两对对顶角的平分线绕O点分别在竖直平面内转动，总能得到与 都成60角的直线故过点 O与a,b都成60角的直线有4条，从而选D2）过点O分别作∥a、∥b，则过点O有三条直线与a,b所成角都为60，等价于过点O有三条直线与所成角都为60，其中一条正是角的平分线从而可得选项为C题型3：线线平行的判定与性质例5．设和为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）. 【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理真命题的序号是(1)(2)例6．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°∴Rt△MCP≌Rt△NBQ∴MP=NQ，故四边形MPQN为平行四边形∴MN∥PQ∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，∴MN∥平面BCE。
证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，∴连结NH，由BF=AC，FN=AM，得∴ NH//AF//BE由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE∴MN∥平面BCE题型4：线面平行的判定与性质例7．（本小题满分12分）E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点1） 证明：直线EE//平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE//平面FCC.（3） 因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵∴, 在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值为.解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,,0）,E1（,-1,1）,所以,,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE//平面FCC. （2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,,, 所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为. 例8．如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，，∥，∥．（Ⅰ）证明：、、、四点共面；（Ⅱ）设，求二面角的大小．BACDEF解析：（Ⅰ）∵面面，∴面．∴以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，，，则，，，，，．∴，，∴，∴，∵，∴，∴C、D、E、F四点共面．（Ⅱ）设，则，∴，，．设平面的法向量为，由，得，设平面的法向量为由，得，由图知，二面角为锐角，∴其大小为．题型5：面面平行的判定与性质例9．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1 的棱长为a。
证明：平面ACD1 ∥平面A1C1B 证明：如图，∵ A1BCD1 是矩形，A1B ∥D1C 又D1C 平面D1CA ，A1B 平面D1CA ，∴ A1B ∥平面D1CA同理A1C1 ∥平面D1CA ，又A1C1 A1B ＝A1 ，∴ 平面D1CA ∥平面BA1C1 ．例10．P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心1）求证：平面A′B′C′∥平面ABC；（2）S△A′B′C′∶S△ABC的值解析：(1)取AB、BC的中点M、N，则∴A′C′∥MNA′C′∥平面ABC同理A′B′∥面ABC，∴△A′B′C′∥面ABC.(2)· A′C′=MN=·AC=AC，· 同理 ∴友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！ / 。