斜椭圆锥坡解析法放样吴静姜明文陈东( 沈阳中百科技有限公司 ,沈阳 110015)( 阜新市公路管理处 ,阜新 123000)( 辽阳市公路设计室 ,辽阳 111000)摘要本文通述路中心线及其垂线与台帽横轴线间的几何关系 ,建立坐标系 ,并将椭圆 分成对称的四部分弧 ,用解析法计算坐标 ,进行斜椭圆锥坡放样 关键词斜椭圆解析法坐标系1 概述桥梁工程中 ,桥梁中心线与河水主流方向线或 与被交道路中心线经常不垂直 ( 路线中心线与洪水流向或与被交道路斜交成Φ 角 ,Φ = 90°) ,这时桥头 锥坡平面图形为斜椭圆形 ,斜椭圆形锥坡放样比较 复杂 ,且有一定难度 ,其形状正确与否 ,不仅影响排水或通行顺畅 ,而且影响美观 斜椭圆形锥坡常用 放样方法为 :按正椭圆计算坐标 ,根据正斜椭圆的关 联关系 ,用坐标量距法放机关 或做图法放样 ,在工程施工中 ,我们经常用另一种方法进行斜椭圆锥坡 放样 ,现介绍给大家 ,供工作中参考 2 原理根据路中心线 、 路中心线的垂线 、 桥台盖梁或台 帽横轴线间的几何关系 ,建立直角坐标系 ,在直角坐 标系中计算椭圆上各点坐标 , 用坐标量距法放橛 。
本方法与常规放样方法的本质区别在于坐标系中建 立了两条直线方程 ,将椭圆分为四段圆孤 ,在本坐标 系下计算椭圆坐标 ,不须变换直接用于量距法放样 , 结合具体实例介绍如下 :2 . 1 坐标系路基边坡坡度线垂直于路中心线 ,坡度比为 1 : m ,顺路基方向坡度比为 1 : n ( 可通过桥头路基横向 最小坡度计算而得) ,桥头处路基填方高 H ,路基边 坡坡度方向与路中心线垂直 ,以这两条相垂直的直 线做为纵横轴建立直角坐标系 ,并以边坡坡度线方 向为横轴 ,路中心线方向为纵轴 一般情况 m > n , (当 m = n 时为圆弧) ,所以长半轴 a = m H ,短半轴 b= nb ,椭圆的标准方程为 x2 / a2 + y2 / b2 = 1 2 . 2 计算坐标 在锥坡放样中 ,利用一盖梁或台帽横轴线与所 建坐标系间的几何关系 ,这条直线平移通过坐标点 , 此直线与 X 轴交角为 180° ± α( 图中为 180° 2 α) 根 据几何关系 ,过原点做一条与盖梁或台帽中心线交角为 90° ±2α的直线 ( 图中为 90°- 2α) 两条直线 的方程分别为 y = x ×t g ( 180° ± α) 和 y = x ×t g ( 90°±2α) ,这两条直线与椭圆相交四个点 ,并将椭圆分 成两组对称的四段弧线 ,此四段弧线即为四个锥坡 的坡脚线 。
计算交点坐标如下 : 椭圆方程与两条直线方程 组成两个方程组 :x2 / a2 + y2 / b2 = 1 y = t g (180° ± α) xx2 / a2 + y2 / b2 = 1 y = t g (90° ± α) x 解上述两方程组得四个交点坐标 A ( Xa 、Ya ) ,B( Xb 、Yb) ,C ( Xc 、Yc) ,D ( Xd 、Yd) 计算弧线各点支距 ,以 AB 弧和 BC 弧为例计算 如下 :(1) AB 弧 : 在 X 轴上将 Xa 与 Xb 分成若干个 点 ,各点之间的间距根据弧线长短和曲率大小而定 , 一般弧线长或曲率小者间隔较大 ,弧线短或曲率大 者间 隔 较 小 , 间 隔 越 小 , 弧 线 越 精 确 , y = b/ aa2 - x2 ,将各点横坐标 XI 代入后得各对应点支距a2 - x2 y = b/ a1( 2) BC 弧 :在 y 轴上将 Yb 与 Yc 间分成若干点 ,b2 - y2 得b2 - y2 根各点纵坐标为 Y1 ,同理将 Y1 代入 = b/ a各相应点在 x 轴方向的支距 X1 = b/ a 据支距 Y1 和 X1 即可放样 。
2 . 3放样(1) AB 弧线放样 : 在 Y 轴上过 M 做 X 轴平行线 L 1 ,平行线 L 1 到 X 轴距离为 m (一般 m > b) 在 L 1 上量出对应于 x 轴上各点 X1 的位置 ,在各点上量取 Y 方向的距离 YI , YI = m - YI ;(2) BC 弧线放样 :在 x 轴上过 N 点做 y 轴的平行线 L 2 ,平行线 L 2 到 y 轴的距离为 n ( 一般 n > a) ,·4 ·辽 宁 交通 科 技2002 . 6在 L 2 上量出对应于 y 轴上各点 Y1 位置 ,在各点上 量取 x 方向的距离 XI , XI = n - XI 各点连成圆滑 弧线 ,即为斜椭圆锥坡坡脚线 ,坡脚线上各点与锥坡 顶点挂线 ,即形成斜椭圆锥坡坡面 3 实例3 . 1 计算图 1 中 , H = 297 mm ,L 1 = 342 mm , L 2 = 446 m , 即 :H 为锥坡处路基填高 ,L 3 、L 4 分别为坡脚线在 x轴 、y 轴方向距锥坡顶点距离a = 446 ,b = 322 ,代入锥圆标准方程 :x2 / a2 + y2 / b2 = 1 ,得方程组 (1) 、(2)x2 / 4462 + y2 / 3222 = 1过锥坡顶做中心线的平地线 ( y 轴平行线) ,在 y 轴玟向量 m = 400cm ,得 M 点 ,过 M 点做 X 轴平行 线 l1 在 l1 上确定 AB 弧放样数据 ( 计算表中点位坐 标 Xi) ,左右方向与 X 坐标对应 ,在各点位 Xi 上沿 Y 轴方各量取 YI 得相应各点 ,圆滑连接各点即得 AB 弧线 。
同理 ,过锥坡顶点 ( 另一侧) 做路中心线的垂 线( X 轴平行线) , 在 X 轴上量取 n = 500cm , 得 N 点 ,过 N 点做 Y 轴平行线 l2 ,在 l2 上确定 BC 弧放样 数据 (计算表中点位坐标 Yi ) ,左右方向与 Y 坐标对 应 ,在各点 YI 上沿 X 轴方向量取 XI 得相应各点 , 圆滑连接各点即得 BC 弧线 4 优点本方法的优点是避免查表 ,不受表格数据间隔 所限 ,根据锥坡曲线情况任意选择各点间隔 ,曲线精 度高 ;本方法的关键是路中心线 ,台盖梁或台帽横轴 线及边坡坡度方向线三者之间的几何关系 1)y = t g (180°- 23°) x解方程组 (1) ,得 A 、C 点坐标 ,A ( - C (384 , - 163) x2 / 4462 + y2 / 3222 = 1 y = t g (90°- 2 ×23°) x384 ,163) ,(2)解方程组 ( 2) , 得 B , C 点坐标 ,B ( 267 , 258) , C( - 267 , - 258) 3 . 2放样AB 弧在 x 轴下的长度为 651cm , 取 100cm 为 一个间距 ,零数在 A 点处 ,计算各点在 X 轴上的支 距及其它相关数据 ,见表 1 ( m 取 400cm) 。
图 1表 1AB 弧放样数据计算表单位 ( cm)点位12345678横坐标 纵坐标- 384 - 300 - 200 - 100163 238 288 3140322100314200288258258YI = n - yi 237 162 112 86 78 86 112 142 BC 弧在 Y 轴下的投影长度为 421cm ,取 50cm为一个间隔 ,零数在 X 轴上 ,计算各点在 Y 轴上的 支距及其它相关系数 ,n 取 500cm ,详细计算见表 2 : 表 2B C 弧放样数据计算表单位 ( cm)点位12345 6 7 8 9 10 11横坐标258 208 158 108 〗58 28 0 23 63 113 163图 2 X I = n - xi 233 160 111 80 61 56 54 55 62 82 116 。