定积分的计算方法摘要定积分是积分学中的一个基本问题，计算方法有很多，常用的计算方法有四种：(1) 定义法、(2)牛顿—莱布尼茨公式、(3)定积分的分部积分法、(4)定积分的换元积分 法以及其他特殊方法和技巧本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法，并在系 统总结中简化计算方法！并注重在解题中用的方法和技巧关键字：定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法Calculation method of definite integralAbstractthe integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention to problem in using the methods and skills.Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method目录目录 21绪论 3定积分的定义 3定积分的性质 42 常用计算方法 5定义法 5牛顿-莱布尼茨公式 6定积分的分部积分法 7定积分的换元积分法 73 简化计算方法 错误!未定义书签。
含参变量的积分 错误!未定义书签有理积分和可化为有理积分的积分 错误!未定义书签4总结 9致谢 10参考文献 101绪论定积分的定义定积分就是求函数f(x)在区间［a,b］中图线下包围的面积，如图所示即由y=O,x二a,x二b,y二f(X)所围成图形的面积［1］这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形设函数f (x)在区间［a,b］上连续，将区间［a,b］分成n个子区间［x ,x ］, (x ,x ］,0 1 12(x ,x ］,…，(x ,x ］,其中x二a,x二b可知各区间的长度依次是:△x =x -x , △x =x -x ,…,2 3 n-1 n O n 110221△x二X-X在每个子区间(x ,x ］中任取一点£ (1,2,...,n),作和式n n n-1 i-1 i i设入二max{Axr Ax?,…，△xj (即入是最大的区间长度)，则当入T0时，该和式 无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间［a,b］的定积分⑵，记为其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间［a, b］叫做积分区间，函数f(x)叫做被 积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，J叫做积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函 数根据上述定义，若函数f(x)在区间［a,b］上可积分，则有n等分的特殊分法:f (工”龙特别注意，根据上述表达式有，当［a,b］区间恰好为［0,1］区间时，^ 1」［0,1］区间积分表 达式为：定积分的性质性质1b［f (x) 土 g (x)］dx 二 aJ" f (x)dx ±fabg(x)dxa性质 2 \怙(x)dx = kPf (x)dx,(k为常数)aa性质 3 假设 a 0，则 J f (x)dx > 0. (a
以I = J bf (x)dx为例：任意分割，任意选取E作积分和再取极限任意分割任意取E所计算 a k k出的I值如果全部相同的话，则定积分存在如果在某种分法或者某种E的取法下极限值k不存在或者与其他的分法或者E的取法下计算出来的值不相同，那么则说定积分不存在k如果在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计算定积分是相当困难的，涉及到怎样才是任意分割任意取E但是如果根据上述三类可积函数判断出被积函数可积，那么就可以根 k据积分和的极限唯一性可作［a,b］的特殊分法，选取特殊的P，计算出定积分［4k第一步：分割.将区间［a,b］分成n个小区间，一般情况下采取等分的形式h = 口 ,那么分割点的 n坐标为(a,0), (a + h,0), (a + 2h,0) (a + (n- 1)h,0), (b,0), g 在Lx ,x ］任k k-1 k意选取，但是我们在做题过程中会选取特殊的g，即左端点，右端点或者中点经过分割k将曲边梯形分成n个小曲边梯形我们近似的看作是n个小长方形第二步：求和.计算 n 个小长方形的面积之和，也就是兰 f (g )hkk=1第三步：取极限.I = lim工f (g L = hlim工f (g ) , nAn 曰％△砧土冲k k , h T 0即n Ta，也就是说分的越细，hTO … hT0 ,.k=1 k=1那么小曲边梯形就越接近小长方形，当n趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方形，那么 小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值。
例1、用定义法求定积分『 1 xdx 0解：因为/(x) = x在［o，l］连续所以f (x) = x在［0,l］可积令h =匕0 = 1nn将［0,l］等分成n个小区间，分点的坐标依次为0 < h < 2h <... < nh = 1取2k是小区间［(k-呱创的右端点，即2k二kh于是［1J1 xdx = lim khh = lim20 ns nT8 厶n(n +1) (1 ¥ 丁 n(n +1) 1 + 石 1 — =lim = lim——-=-…2n 2 …2 2所以，J1 xdx = 202牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式很好的把定积分与不定积分联系在一起利用此公式，可以根据不定积分的计算计算出定积分这个公式要求函数f (x)在区间［a, b ］内必须连续求连续函数f (x)的定积分只需求出f (x)的一个原函数，再按照公式计算即可定理：若函数f (x)在区间［a,b］连续，且F(x)是f (x)的原函数，则Jb f (x)dx = F(b) 一 F(a)a证明：因为F (x)是f (x)的原函数，即Vx eta, b］有F'(x)二f (x)积分上限函数Jxf (t)dt也是f (x)的原函数a()所以 Y xf (t )dr = f (x)a所以 Jxf (t)dt- F(x)二 Ca令 x = a 有 Ja f (t)dt - F (a) = C 即 C = 一F (a)a再令 x = b 有 Jbf (x)dx = F (b) - F (a)a我们知道，不定积分与定积分是互不相关的，独立的。
但是在连续的条件下，微积分基 本定理把这两个互不相关的概念联系起来，这不仅给定积分的计算带来极大的方便，在理论上把微分学与积分学沟通起来，这是数学分析的卓越成果，有着重大的意义例1、用牛顿莱布尼茨公式计算定积分J 1 xdx 04 、1 1 1解：原式二2 x 2 = 20同样的一道题目，用牛顿-莱布尼茨公式明显比定义法简单，容易计算定积分的分部积分法公式：函数u(x) , v(x)在［a,b］有连续导数则Jbu( x)dv (x)=au(x)v(x) |b 一aJbv( x) du (x)a证明：因为u(x)，v(x)在［a,b］有连续导函数Jb [u (x)v( x)] =u (x)v( x) |b = Jb [u( x )v'( x) + v( x)u'( x) ] dx = u (x)v( x) |ba所以 k (x)v( x)] 二 u (x)v' (x) + v( x)u' (x)所以 _a a a即 Jbu(x)v'(x)dx = u(x)v(x)|b -fbv(x)u'(x)dxa a a或fbu(x)dv(x) = u(x)v(x)|b -fbv(x)du(x)a a a例1、求定积分f 2 In xdx。
1f 2ln xdx = x In x |2 -f2 xd In x = 2ln 2 - 0 - x |2 = 2ln 2 -1 解：1 i 1 i定积分的换元积分法应用牛顿-莱布尼茨公式求定积分，首先求被积函数的原函数，其次再按公式计算一 般情况下，把这两步截然分开是比较麻烦的，通常在应用换元积分法求原函数的过程中也相 应交换积分的上下限，这样可以简化计算公式：若函数f (x)在区间［a,b］连续，且函数x = p (t)在［a,卩］有连续导数，当a < t < P 时，有a <9 (t) < b则:Jbf (x )dx = J卩 f [(p(t)lp'(t)dt = J" f [cp(t) (t)a a a证明：Jb f (x)dx = F(x)|b = F(b) - F(a)a aJ卩 f [p(t)lp'(t)dt = F [p(t)片二 F [p(P)]-F [p(a)]= F(b) - F(a) a a即 Jbf (x)dx = JP f [(p(t)Ip (t)dtaa这个公式有两种用法：(1)、若计算Jbf(x)dxaG、选取合适的变换x = p(t)，由a,b通过b = p(t), a =9 (t)分别解出积分限卩与a ；Q、把 x = 9(t)代入 Jb f (x)dx 得到 Jp f [p(t)b(t)dtaaG3 、计算.例1、计算定积分Ja Ha2 - x2dx。
0解：设 x = a sin t 有 dx = a cos tdta2 , sin 2t、«-2x = 0 时，t = 0 ； x = a 时,Ja \： a2 - x2 dx = a2 J 2 cos2 tdt = — (。