中小学教育资源站（)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 5.35.3（（1 1）同角三角比的关系与诱导公式）同角三角比的关系与诱导公式上海市杨浦高级中学上海市杨浦高级中学上海市杨浦高级中学 江海涛江海涛江海涛一、教学内容分析一、教学内容分析当我们把角的概念推广到任意角以后，给出了任意角的三角比的定义，为了求任意角的三角比的值，由三角比的定义探求同角三角比的关系和诱导公式，成为本节我们要研究的课题同角三角比间的八个关系式，主要用于：（1）已知某角的一个三角比的值，求它的其余各三角比的值；（2）化简三角比的关 系式；（3）证明三角恒等式（4）解三角方程鉴于八个关系式的应用如此之广，因此要牢固掌握，并能灵活运用记一个公式时，还要灵活地写出这个公式的某些变形，熟记这些公式对以后的学习是必要的诱导公式沟通了任意角三角比与锐角三角比以及终边有特殊位置关系的角的三角比之间的联系．在求任意角的三角比的值，解决有关的三角变换等方面有重要的作用由角的终边的某种对称性，导致终边与单位圆的交点也具有相应的对称性，这样就产生了“”、“”、“”等诱导公式，我们知道，角的终边与2角的终边关于 y 轴对称；角的终边与角的终边关于原点对称，，角的终边与角的终边关于 x 轴对称，所以、、、各角22的三角函数值与角的三角比的绝对值相同，符号由各角所在象限的原三角比的符号来确定，诱导公式有很多，但是抓住终边的对称性及三角比定义，明白公式的来龙去脉也就不难记忆了。
诱导公式可以帮 助我们把任意角的三角比化为锐角三角比，在求任意角的三角比时起很大作用，但是随着计算器的普及，诱导公式更多地运用在三角变换中，特别是诱导公式中的角可以是任意角，即，它在终边具有某种对称性的角的三角比变换中，应用R广泛，如后续课中，画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移个长度单位而得2到的在教学中，提供给学生的记忆方法一定要重在理解、重在思考，以达到优化思维品质的功效．用一句话归纳概括诱导公式一、二、三、四、五并能正确理解这句话中每一词语的含义，是本节教材的难点．讲清每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并把公式与中小学教育资源站（)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 相应图形对应起来，是突破这个难点的关键二、教学目标设计二、教学目标设计1.复习巩固三角比的定义m]2.由三角比的定义,找出同角三角比的基本关系式;3.理解同角公式都是特定意义的恒等式;4. 会简单应用同角公式.三、教学重点及难点三、教学重点及难点重点: 同角公式的推导与应用难点: 三角比符号的确定及公式的变形应用四、教学流程设计四、教学流程设计讨论公式的特点及 变形式，探讨记忆 的方法创设问题情景， 提出问题 复习三角的定 义运用定义确定三角比 的符号运用定义讨论同角 三角比的关系。
课堂小结， 布置作业同角三角比的关系 的简单应用 课堂练习五、教学过程设计五、教学过程设计一、一、 情景引入情景引入1 1．背景．背景: :如果，为第一象限的角，如何求角的其它三角比值；53sin 2 2．思考．思考中小学教育资源站（)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 问题 1:已知角终边上一点，，则角的六个三角比分别是什 ),(yxP22yxr 么yr xr xy yx rx ry csc;sec;cot;tan;cos;sin问题 2:当角分别在不同的象限时，的符号分别是怎样的？ cottancossin、 、、 、、 、3 3．讨论．讨论: :由于的三角比都是由表示的，则角的六个三角比之间有什么关 ryx、 、、 、 系？二、学习新课二、学习新课1 1．探求公式．探求公式（板书课题：同角的三角比的基本关系）1.由三角比的定义，我们可以得到以下关系：1cossin22 理论证明：（采用定义） tancossin)(221cossincos,sin122222 xy xr ry rx ryZkkrx ryryx、 、、 、、 、、 、（1）倒数关系： 1cottan1seccos1cscsin （2）商数关系： sincoscotcossintan（3）平方关系： 222222csccot1sectan11cossin[ [说明说明] ]①①注意注意““同角同角”” ，至于角的形式无关重要，如，至于角的形式无关重要，如, ,等；等；14cos4sin22 2tan2cos2sin 中小学教育资源站（)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 ②②注意这注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；；),2( 1cottanZkk ③③对这些关系式不仅要牢固掌握，还对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用）要能灵活运用（正用、反用、变形用） ，如，如，，，， 等等 2sin1cos 22cos1sin tansincos ④④据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值，且因为利用据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值，且因为利用““平平方关系方关系””公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）一次） 。
2 2．例题分析．例题分析3.例题 1：已知且为第四象限的角，求的其他三角比的值；,54cos 解：为第四象限的角， 35csc,45sec,34cot,43sintan53cos1sin2 coa提问：(1)如果去掉为第四象限的角这个条件，应如何求的其他三角比的值？ (2)练习:已知,求的其他三角比的值？178cos 4.例题 2：已知 ，求和；125tan cossin 、 、 cot解:512 tan1cot ∵,∴ 22sectan1 2 22)1312(tan11cos ∵,∴是第一或第三象限角0125tan 中小学教育资源站（)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 当是第一象限角时, 0cos, 0sin 135cos1sin,1312cos2 当是第三象限角时, 0cos, 0sin 135sin,1312cos 提问：你能用学过锐角三角比来解答上述问题吗?(1)利用直角三角形计算三角比的值;(2)利用象限角确定三角比的符号.[ [说明说明] ]已知一个角的某一个三角比的值，便可运用基本关系式求出其它三角比的值。
在已知一个角的某一个三角比的值，便可运用基本关系式求出其它三角比的值在求值中，确定角的终边位求值中，确定角的终边位置是关键和必要的有时，由于角的终边位置的不确定，因此解置是关键和必要的有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种的情况不止一种解题时产生遗漏的主要原因是：解题时产生遗漏的主要原因是：①①没有确定好或不去确定角的终边位置；没有确定好或不去确定角的终边位置；②②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根5.例题 3：已知 ，求；、 、、 、0cot kk cos,sin解:[来222 11 cot11sink ∵,∴角的终边不在坐标轴上.)0(cot kk 当是第一象限或第二象限角时 ,[2221111sinkkk 2211cotsincoskkk 当是第三象限或第四象限角时 ,2211sinkk 2211coskkk [ [说明说明](1)](1)如果已知角如果已知角的一个三角比和它所在的象限的一个三角比和它所在的象限, ,那么角那么角的其他三角比就可以的其他三角比就可以 唯一确定唯一确定. .如果仅知道如果仅知道的一个三角比的一个三角比, ,那么就应该根据角那么就应该根据角的终边的所有可能的情况分别求出其的终边的所有可能的情况分别求出其 他三角比他三角比. .(2)(2)例例 1 1 是给出一个三角比的值是给出一个三角比的值, ,并给出了角并给出了角所在的象限所在的象限, ,这样的题目只有一组解这样的题目只有一组解; ;例例 中小学教育资源站（)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 2 2 是给出一个三角比的值是给出一个三角比的值, ,未给出角所在的象限未给出角所在的象限, ,要先确定角所在的象限要先确定角所在的象限, ,然后分情况求解然后分情况求解, ,这样的题有两组解这样的题有两组解; ;例例 3 3 是给出了一个三角比的值是给出了一个三角比的值, ,但但是字母是字母, ,因此先要根据字母的取值确因此先要根据字母的取值确定定所在的位置所在的位置. . 3 3．归纳总结：．归纳总结：总结解题的一般步骤：①确定终边的位置（判断所求三角函数的符号） ；②根据同角三角函数的关系式求值三、巩固练习三、巩固练习练习练习 5.3(1)5.3(1)21P四、课堂小结四、课堂小结1.同角三角函数基本关系式及成立的条件；2.根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；3.在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值。
五、作业布置五、作业布置习题 5.3A 组:2,4(3)(4),7;B 组:2,七、教学设计说明七、教学设计说明本节课主要以下几个层次教学:第一层次：复习三角比的定义，为学习同角公式打下基础；第二层次：运用三角比的定义，探求同角公式第三层次：这八个公式的特点是同一个角不同的三角比之间的关系，因此要注意公式的 特点在记忆公式中，还要注意它们变形形式的应用；此外，在公式的记忆上，根据学生的情。