三垂线定理及其应用三垂线定理及其应用a a A AP Po o α α三线概念三线概念: :平面的斜线、垂线、射影平面的斜线、垂线、射影a a A AP Po o α αPO PO是平面是平面α α的斜线的斜线, , OO为斜足为斜足; ; PA PA是平面是平面α α的垂线的垂线, A, A为垂足为垂足; ; AO AO是是POPO在平面在平面α α内的射内的射影影. .三垂线定理三垂线定理性质定理判定定理性质定理线面垂直① 线线垂直② 线面垂直③ 线线垂直PO 平面PAOa⊥PO③三垂线定理：在三垂线定理：在平面内平面内的一条直线的一条直线(a)(a)，如果和这个平面，如果和这个平面 的一条斜线的一条斜线(PO)(PO)的射影的射影(AO)(AO)垂直，那么它垂直，那么它(a)(a)也和这条斜线垂直也和这条斜线垂直PA⊥α a α① PA⊥a AO⊥a PA∩AO=A②a⊥平面PAO三垂线定理三垂线定理P Pa a A Ao oα α已知:如图,PO为平面α的斜线, PA⊥α ,a在平面α内且垂直PO的射影AO. 求证:a⊥PO 证明:1 1、三垂线定理描述的是、三垂线定理描述的是斜线、、射影、、直线之间之间 的垂直关系的垂直关系. . 2 2、、a a与与POPO可以相交，也可以异面可以相交，也可以异面. . 3 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理平面内的一条直线垂直的判定定理. .三垂线定理的说明：三垂线定理的说明：三垂线定理三垂线定理4 、转化思想、转化思想: :空间空间两直线的垂直问题转化为两直线的垂直问题转化为平面平面内内两直线的垂直问题两直线的垂直问题. .a a A AP Po o α α1 1、判定下列命题是否正确、判定下列命题是否正确(1) (1)若若a a是平面是平面αα的斜线、直线的斜线、直线b b垂直于垂直于a a在平面在平面αα内的射影，则内的射影，则a⊥ba⊥b。
( ) ( ) 2° 2°定理的关键找定理的关键找“ “平面的垂线平面的垂线” ”. .强调强调：：1°1°四线是对同一个平面而言四线是对同一个平面而言. . (2) (2)若若a a是平面是平面αα的斜线，的斜线，b b是平面是平面αα内的直线，内的直线，且且b b垂直于垂直于a a在在ββ内的射影，则内的射影，则a⊥ba⊥b ( ) ( ) × ×× ×三垂线定理三垂线定理a a A AP Po o α α定理应用 • 例1. 如图,PD⊥⊥平面ABC,AC=BC,D为AB的 中点,求证AB⊥⊥PC. PA BCD证明: ∵∵ PD⊥⊥平面ABC,∴∴ DC为PC在平面的射影,而△ABC为等腰三角形,D为AB的中点,∴∴ AB ⊥⊥ CD∴∴ AB ⊥⊥PC PC (由三垂线定理) 例例2.2.如图，已知正方体如图，已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，连结中，连结BDBD1 1，，ACAC，，CBCB1 1，，B B1 1A A，求证：，求证：BDBD1 1⊥⊥平面平面ABAB1 1C C∵DD ∵DD1 1⊥⊥平面平面ABCD ABCD ∴BD ∴BD是斜线是斜线D D1 1B B在平面在平面ABCDABCD上的射影上的射影∵∵ABCDABCD是正方形是正方形∴∴ACAC⊥⊥BDBD (AC (AC垂直射影垂直射影BD)BD)，，∴∴AC⊥AC⊥BDBD1 1 A1D1C1B1ADCB同理同理: :BABA1 1是斜线是斜线BDBD1 1在平面在平面ABBABB1 1A A1 1上的射影上的射影 , AB, AB1 1 ⊥⊥ BDBD1 1而AC ∩ABAB1 1=A ∴BD∴BD1 1⊥⊥平面平面ABAB1 1C C证明：证明：连结连结BDBD，，( ( 请思考：如何证明请思考：如何证明D D1 1B⊥ABB⊥AB1 1) )连结连结A A1 1B B三垂线定理三垂线定理定理应用关于用三垂线定理证明空间两直线垂直问题，关键是找出关于用三垂线定理证明空间两直线垂直问题，关键是找出 或作出平面的垂线或作出平面的垂线, ,至于射影则是由垂足和斜足来确定的。
至于射影则是由垂足和斜足来确定的 证明证明a⊥b(a⊥b(线线垂直线线垂直) )的一个程序：的一个程序：一垂、二射、三证一垂、二射、三证 即即第一、找或作平面垂线第一、找或作平面垂线. .第二、找射影线，这时第二、找射影线，这时a a、、b b便成平面上的一条直线与便成平面上的一条直线与一条斜线一条斜线三垂线定理三垂线定理第三、证明第三、证明直线直线a a与与射影线射影线垂直，从而得出垂直，从而得出a a与与b b垂直1. 如图,PA垂直⊙O所在平面,AB为圆的直径,C 为 圆上的 任意一点(不同于A,B),则图中有多少个直角三角形?练习:PABCO答:有4个,分别是: △PAB,△PAC,△ACB,△PCB.例例3,3,道路旁有一条河，彼岸有电塔道路旁有一条河，彼岸有电塔ABAB，高，高15m15m，只有，只有测角器测角器 和皮尺和皮尺作测量工具，不过河能否求出电塔顶作测量工具，不过河能否求出电塔顶A A与道路的距离与道路的距离 ？？( (测角器只能测水平面角测角器只能测水平面角) ) 解：解：在道路边取一点在道路边取一点C C，， 使使BCBC与道边所成水平角等于与道边所成水平角等于90°90°，，B BA AC C90°90°三垂线定理三垂线定理定理应用∵∵BCBC是是ACAC的射影的射影, ,且且CDCD⊥⊥BC,BC,∴∴CDCD⊥⊥AC (AC (三垂线定理三垂线定理) )因此斜线因此斜线ACAC的长度就是电塔顶的长度就是电塔顶A A与道路的距离。
与道路的距离B BA AC C90°90°∴BC= ∴BC= a a米米，，在直角在直角△△ABCABC中中, ,ACAC2 2=AB=AB2 2+BC+BC2 2，， AC= 15AC= 152 2+a+a2 2 米米答：电塔顶答：电塔顶A A与道路的距离是与道路的距离是 米米再在道路边取一点再在道路边取一点D D，使，使∠∠CDB=45°,CDB=45°,则CD=CB可测得可测得C C、、D D的距离等于的距离等于a a米米, ,●D45°45°2.如图,AB是异面直线a,b的公垂线段,AB=2,a,b成30o角,在a上取点P使AP=4,则点P到直线b的距离:____.ABPCD练习:ab例4.如图,长方体 ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AB=AD=2 ,AA1= , E,F分别为AB和AD的中点,求平面A1EF和平面ABCD所成二面角的大小?ABCDEFA1B B1 1C1D1解:连接BD,AC,AC交EF于G,G连接A1G ∵∵底面底面ABCDABCD是正方形，是正方形，∴∴ACAC⊥⊥BD, BD, 而而E,FE,F为为AB和AD中点中点, , ∴∴EFEF∥∥BD,BD, ∴∴ EF EF⊥⊥ACAC又因为AG为A1G在平面ABCD 上的射影.(由三垂线定理三垂线定理) ) ∴∴ EF EF⊥⊥A A1 1G,G,则则∠∠A A1 1GAGA为为二面角的平平 面角面角. .计算得:二面角的大小为:60o定理应用3.如图.在一个45o的二面角的一个平面α内有一条直线PA与二面角棱成45o,则此直线与二面角的另一个平面β所成角为______.PAOBαβ1.在直线上取点P,过P点作平面β的垂线PO.2.过点O作交线的垂线OB.3.连接PB.练习:30o三垂线定理：在平面内的一条直线，如果三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
和这条斜线垂直 小小 结结2. 2.定理的主要应用定理的主要应用: :证明线线垂直证明线线垂直, ,线面垂直线面垂直, ,求点到线的距离求点到线的距离, ,二面角大小二面角大小, ,1. 1.定理中四条线均针对同一平面而言定理中四条线均针对同一平面而言, ,3. 3.证明程序分三个步骤证明程序分三个步骤:“:“一垂二射三证一垂二射三证” ”, ,计算程序分三个步骤计算程序分三个步骤:“:“一作二证三算一作二证三算” ”. .三垂线定理三垂线定理再 见！再 见！20052005年年1111月月分时图 yrk068sqz 。