1鲁教版初三数学知识点编辑人 :鲁东大学 08 级经济系 李建鹏第一章 分式一、分式1．分式的概念：如果整式 A 除以整式 B, 可以表示成 的形式,且除式 B 中含有字母，那A么称式子 为分式其中, A 叫分式的分子, B 叫分式的分母B注意：①判断一个代数式是否为分式,不能将它变形,不能约分后去判断,即使它约分后是整式也不能说它就是整式,约分之前是分式这个式子就是分式如:x 2／x 是分式,虽然约分之后等于 x 是整式,但约分前是分式②π 是常数 ,所以 a/π 不是分式 而是整式2．有理式：整式和分式统称有理式整式的分母中不含有字母)3．关于分式的几点说明:(1)分 式 的 分 母 中 必 须 含 有 未 知 数 ；(2)分式是两个整式相除的商式,对任意一个分式，分母都不为零；(3)分数线有除号和括号的作用,如： 表示（ a＋ b）÷( c－ d)；dc(4)“分式的值为零”包含两层意思：一是分式有意义(分母≠0)，二是分子的值为零，不要误解为“只要分子的值为零，分式的值就是零” 4．一般的，对分式 A／B 都有：①分式有意义 B≠0；②分式无意义 B=0；③分式的值为 0 A=0 且 B≠0；④分式的值大于 0 分子分母同号；⑤分式的值小于 0 分子分母异号。
5．基本性质：分 式 的 分 子 和 分 母 同 乘 以 （ 或 除 以 ） 同 一 个 不 为 0 的 整 式 ， 分 式 值 不变 二、分式的乘除法1.分式的乘除法则:分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘分式的乘方是把分式的分子、分母各自乘方，再把所得的幂相除2.约分:把 一 个 分 式 的 分 子 和 分 母 的 公 因 式 (不 为 1 的 数 ） 约 去 ， 这 种 变 形 称 为 约 分 注意:①当分式的分子分母都是单项式或 者 是 几 个 因 式 乘 积 的 形 式 时,直接约分；②分 式 的 分 子 和 分 母 都 是 多 项 式 时 ， 将 分 子 和 分 母 分 解 因 式 再 约 分 3.最简分式: 一 个 分 式 的 分 子 和 分 母 没 有 公 因 式 时 ， 这 个 分 式 称 为 最 简 分 式 约 分 时 ，一 般 要 将 一 个 分 式 化 为 最 简 分 式 三、分式的加减法1.通分:利用分式的基本性质 ,把异分母的分式化为同分分母的过程通分原则:异分母通分时, 通常取各分母的最简公分母作为它们的共同分母。
通 分 步 骤 :先 求 出 所 有 分 式 分 母 的 最 简 公 分 母 ， 再 将 所 有 分 式 的 分 母 变 为 最 简 公 分母 ， 同 时 各 分 式 按 照 分 母 所 扩 大 的 倍 数 ,相 应 扩 大 各 自 的 分 子 2最 简 公 分 母 的 确 定 方 法 :系 数 取 各 因 式 系 数 的 最 小 公 倍 数 、 相 同 字 母 的 最 高 次 幂 及单 独字母的幂的乘积2.法则:同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,再按同分母分式的加减法法则进行计算四、分式方程1.概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程2.分 式 方 程 的 解 法 :① 去 分 母 (方 程 两 边 同 乘 以 最 简 公 分 母 ， 将 分 式 方 程 化 为 整 式 程 若遇 到 互 为 相 反 数 时 ， 不 要 忘 了 改 变 符 号 )；② 按 解 整 式 方 程 的 步 骤 求 出 未 知 数 的 值 ； ③ 验 根 3.分 式 方 程 的 增 根 :在 方 程 变 形 时 ， 有 时 会 产 生 不 适 合 原 方 程 的 根 即 代 入 方 程 后 分 母的 值 为 ０ 的 根 ， 叫 做 原 方 程 的 增 根 。
例题： 取 时，方程 会产生增根(或说无解) m32xm(思路)在这里增根就是 x=3,但不能直接带入方程求 m,所以要先去分母再将 x=3 带入求 m第二章 相似图形一、线段的比1.概念:在同一单位长度下,两条线段的长度的比叫这两条线段的比在 a:b 或 中,a 叫ab比例的前项,b 叫比例的后项2.注意:①若 a:b=k,说明 a 是 b 的 k 倍；②两条线段的比与所采用的长度单位无关,但求比时两条线段的长度单位必须一致；③两条线段的比值是一个没有单位的正数；④除 a=b 外,a:b≠b:a, a/b 与 b/a 互为倒数二、比例线段1.概念:四条线段 a,b,c,d 中,如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比 , 即 a:b=c:d (或 a/b=c/d), 那么这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段 ,简称比例线段a、b、c、d 叫比例的项,其中,a、d 叫外项,b、c 叫内项2.比例中项:当 a:b=b:c 时,称 b 为 a 与 c 的比例中项b 2=ac)3.性 质 :① 内 项 之 积 等 于 外 项 之 积 若 a/b=c/d 则 ad=bc ② 合 比 性 质 若 a/b=c/d 则 (a+b)/b=(c+d)/d ③ 分 比 性 质 若 a/b=c/d 则 (a-b)/b=(c-d)/d ④ 等 比 性 质 若 a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)， 则 (a+c+…+m)／ (b+d+…+n)=a/b⑤ 合 分 比 性 质 若 a/b=c/d 则 (a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d) ⑥ 更 比 性 质 若 a/b=c/d 则 c/a=d/b(当 然 也 就 有 a/c=b/d)⑦ 反 比 性 质 若 a/b=c/d 则 b/a=d/c 三、形状相同的图形3例如:两个半径不相等的圆；所有的等边三角形；所有的正方形；所有的正六边形。
一个图形各点的横坐标、纵坐标都乘以或除以同一个数，则连接所得到点的图形与原图形形状相同四、相似三角形1.概念:对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形(相似符号为“∽”)平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似AB CD ED EOB C相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比2.全等一定相似,相似不一定全等(全 等 △是 相 似 △中 相 似 比 为 1 时 的 特 殊 情 况 )五、探索三角形相似的条件1．定义判定：对应角相等、对应边成比例2．判定 1：两个角对应相等判定 2：两边对应成比例且夹角相等判定 3：三边对应成比例Rt△相似的判定:(除上述三个外 )斜边与一直角边对应成比例的两直角三角形相似3.三 角 形 相 似 的 判 定 定 理 推 论 推 论 一 ： 顶 角 或 底 角 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 相 似 推 论 二 ： 腰 和 底 对 应 成 比 例 的 两 个 等 腰 三 角 形 相 似 推 论 三 ： 有 一 个 锐 角 相 等 的 两 个 直 角 三 角 形 相 似 推 论 四 ： 直 角 三 角 形 被 斜 边 上 的 高 分 成 的 两 个 直 角 三 角 形 和 原 三 角 形 都 相 似 。
推 论 五 ： 如 果 一 个 三 角 形 的 两 边 和 其 中 一 边 上 的 中 线 与 另 一 个 三 角 形 的 对 应 部 分 成比 例 ， 那 么 这 两 个 三 角 形 相 似 推 论 六 ： 如 果 一 个 三 角 形 的 两 边 和 第 三 边 上 的 中 线 与 另 一 个 三 角 形 的 对 应 部 分 成 比例 ， 那 么 这 两 个 三 角 形 相 似 4.(补充)射 影 定 理 : 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90 0，CD 是斜边 AB 上的高,则AC2=AD·AB BC2=BD·AB CD2=AD·BD5.(补充)三角形的重心①概念:三角形三条中线的交点叫做三角形的重心；②三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍4六、相似三角形的性质1．相似三角形的三个对应角相等，三边对应成比例；2．相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，3．相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方 七、测量旗杆的高度(略)八、相似多边形1.概念:对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
2.性质:性质 1：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；性质 2：相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方九、位似图形1.概念:如果两图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比2.性质:位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 3.探索:①利用位似可以把一个图形放大或缩小；②对应点连线都交于位似中心,对应线段平行或在一条直线上；③在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为 k,那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或-k.第三章 证明(一)一、定义与命题1.定义的概念:能清楚地规定某一名称或术语的句子叫做该名称或术语的定义2.命题的概念:一般地,判断一件事情的句子，叫做命题(命题必须是对某事作出判断) 3.命题的特征:每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项一般地,命题都可以写成“如果……，那么……”的形式其中,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论4.真假命题:如果条件成立，那么结论成立(正确的命题),像这样的命题叫做真命题；条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立( 错误的命题 )，这样的命题叫做假命题。
二、证明的必要性三、公理与定理1.公理:通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理2.定理:通过推理得到证实的真命题叫做定理,可以作为判断其它命题真假的依据本教科书选用如下命题作为公理：①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行5也可以简单说成：同位角相等，两直线平行②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等也可以简单说成：两直线平行，同位角相等③两边及其夹角对应相等的两个三角形全等④两角及其夹边对应相等的两个三角形全等⑤三边对应相等的两个三角形全等⑥全等三角形的对应边相等，对应角相等此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理例如“在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替” ，简称为“等量代换” 4、平行线的判定定理五、平行线的性质定理把一个命题的条件和结论交换后,就构成了一个新的命题如果把原来的命题叫做原命题,那么这个新的命题就叫做原命题的逆命题一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题六、三角形内角和定理三角形三个内角之和为 1800 ； 直角三角形的两个锐角互余关于辅助线：①辅助线是为了证明需要在原图上添画的线(辅助线通常画成虚线)；②它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用；③添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定,平时做题时要注意总结。
第四章 数据的收集与处理一、普查和抽样调查1.普查:为了一定的目的而考察对象进行的全面调查,称为普查其中,所要考察的对象的全体称为总体,而组成总体的每一个考察对象称为个体普查的优点及缺陷:可以直接获得总体情况,但总体中个体数目很多时,工作量大,无法一一考察；有时受客观条件的限制,无法对个体一一考查；有时调查具有破坏性,不允许对个体一一考查2.抽样调查:从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查,其中从总体中抽取的一部分个体叫做。