高等数学考研辅导练习重积分曲线积分与曲面积分

《高等数学》考研练重积分及其应用1．改变积分顺序：（1）20dxx5 25x2f (x, y)dy dx2425 25x2f (x, y)dy ；（2）140dyyyf (x, y)dxdyf (x, y)dx ；121412y2． 计算二重积分域3． 计算二重积分平面区域4． 求I (xeD2(y yxeD122(x y )2)d，这里的D: y  x, y  1以及x 1围的平面区2，这里的以及曲线围的D: x  2, y  0, y  2yd x   2y yDy2)sin(x2 y2)d，这里的D: x2 y2d，这里的D: y  aa2 x2(a  0)和y  x所围区域5． 求Dx2 y24a2 x2 y26． 求I eDmax x2,y2d，这里的D: 0  x 1, 0  y 17． 设D是xOy平面上以(1,1),(1,1),(1,1)围顶点的三角形区域，D1是D在第一象限部分，则(xycosxsin y)d等于（）D(A)2cosxsin ydxdy；(B )D1D1；2yx y d x dD1(C)4(xycosxsin y)dxdy；(D )222。

0x2y28． 设D: x  y  R，求I (22)dabD9． 求球面x  y  z  R10． 求I 11 ． 填空＇2222(R  0)被平面z aa与z 所夹部分的面积42Dy x2dxdy，这里的D: x 1, 0 y  2(x2y3)dxdy ，其中D:Dbxx  y 112． 已知f (x)在[a,b]上连续，试证对于大于 1 的自然数n，有adx(x y)n2f (y)dy a1bn1(b y)f (y)dyan113． 求I 2222，这里与围成的立体x z)dVV : z x  yz  1 x  yV14． 求I 体15． 计算zVx2 y2dV，这里V : x2 y2 z2 2的上半球面与z  x2 y2所围立222222222V : z  x  yx  y  z  R，这里与上半曲面所围立(x  y  z )dVV体(R  0)16． 计算17． 计算2222V : x  y  z  2z这里x dVV222222V : z  x  yx  y 1以及z 0所围立体。

这里与(x  y  z)dVVy2 2z18． 求(x  y  z)dV，这里V :由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面x  0V22z  4所围的立体19． 设函数f (x)连续，且恒大于零，F(t) (t)f (x2 y2 z2)dVD(t)f (x  y )d22222, G(t) D(t)f (x2 y2)dt，tf (x )dx2其中(t)  (x, y,z)| x  y  z t2, D(t) (x, y)| x2 y2t22（1） 讨论F(t)在(0,)内的单调性；（2） 证明，当t  0时，F(t) 练习 12曲线积分与曲面积分1． 设是锥面z ＝2．设是由锥面z 个边界外侧则G(t)x2 y2(0  z 1)的下侧，则xdydz2ydzdx3(z1)dxdyx2 y2和半球面z R2 x2 y2围成的空间区域，是的整xdydz ydzdx zdxdy＝3． 计算曲线积分sin2xdx2(xL21)ydy，其中L是曲线y  sin x上从点(0, 0)到点(,0)的一段。

4 ． 设 曲 面是 锥 面z 4 x  y＝22的 上 侧 ， 则d zx y d y2x d z d xx d x d y5． 设r x2 y2 z2，则div(gradr)|(1,2,2)6．计算曲线积分I L(y2 z2)dx(z2 x2)dy(x2 y2)dz，其中L是用平面3x y z 截立方体(x, y,z)|0 x 1,0 y 1,0 z 1的表面所得截痕，若从Ox2轴的正向看去，取逆时针方向x2y21，其周长记为a，则(2xy3x24y2)ds 7． 设L为椭圆L43 x2 y218． 计算曲线积分(z  y)dx(x z)dy(x y)dz，其中L是曲线，从Lx y z  2Oz轴正向往Oz轴的负向看去，取顺时针方向9． 计算曲线积分Lydx(x1)dy：22(x1)  y222（1）L为圆周x  y 2y  0的正向； （2）L为椭圆4x  y 8x  0的正向10． 设曲线L是正向圆周(xa) (y a) 1，(x)是连续的正函数，证明222xL(y)dy  y(x)dx  2。

11． 设函数f (x)在(,)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y  0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a,b)，终点为(c,d)记I 1x(1 y2f (xy))dx2(y2f (xy)1)dy，LyLy（1）证明曲线积分I与路径L无关；（2）当ab  cd时，求I的值12． 求Sxyz dS，S为抛物面z  x2 y2(0  z 1)13． 求具有连续二阶导数的函数f (x)，使得y(ln x f (x))dx f (x)dy  0，其中LLx为xOy平面上第一象限内任意一条光滑闭曲线14． 求a的值， 使e (e (x y 2)ay)dxe (e (x y)1)dy为某一函数u  u(x, y)的全微分，并求u(x, y)xyxy15． 计算针方向y 4)dx(x3)dyC(x3)2(y4)2，C为以O为心，边长为 12 的正方形的四边，取逆时16．设f (u)具有一阶连续的导数， 证明对任意光滑闭曲线L， 有Lf ( x y ( ) y d x x d y ) 0 17．已知曲线积分1(x)是一可导函数，(1)1。

(xdy  ydx)  A，A为常数，L(x) y2L是绕原点(0,0)一周的任意正向闭曲线试求出(x)及A18． 计算I axdydz(za)2dxdy1，其中为z   a2 x2 y2(x2 y2 z2)2(a  0)的上侧。