第二节 向量的线性相关性,一 线性相关性,三 应用举例,二 判别准则,一、向量的线性相关性,1、基本概念,定义Ⅰ 给定向量,，对于任何一组数,,称向量,为向量组,的一个线性组合（Linear Combination）.,为组合的组合系数（Combination Coefficient）.,定义Ⅱ 设向量组,及向量β有关系,则β称为向量组的一个线性组合，或称β可由向量组Ａ,线性表示(线性表出)（Linear Expression）.,称为β在该线性组合下的组合系数.,① 若α＝kβ，则称向量α与β成比例．,② 零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．,④ 任一n维向量,都是基本向量组,的一个线性组合．,⑤ 向量β可由,线性表示，,即方程组,事实上，有,③ 向量组中每一向量都可由该向量组线性表示．,有解.,定义Ⅲ 设n维向量组,为零的数,，使得,则称向量组,,如果存在不全,线性相关（Linear Dependent）.,反之，若当且仅当,，才有,则称向量组,线性无关（Linear Independent）.,② 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量．,③ 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量．,④ 一向量组中存在一个Ｏ向量，则一定线性相关．,① 对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关．,⑤ 一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组都线性无关．,⑧ 几何上：两向量线性相关两向量共线；,⑥ 两向量线性相关两向量对应成比例,三向量线性相关三向量共面.,⑦ 两向量线性无关两向量不对应成比例,注意：向量组,线性相关性完全由,方程组,的解决定.,二、线性相关性的判断准则,定理 向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；,定理 向量组线性相关齐次线性方程组有非零解.,推论 n个n维向量线性相关 .,推论 n个n维向量线性无关 .,向量组线性无关任何一个向量都不能由其向量线性表示．,定理,向量组线性相关至少有一个向量可由其余向量线性表示．,定理,证,∵Ａ线性相关，,得证,至少有一个系数不为零，不妨设,定理,如果向量组,线性相关，则α可由Ａ唯一线性表示.,线性无关，而向量组,证,设,∵Ａ线性无关，而向量组B线性相关，,∴k≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾）,∴α可由Ａ线性表示.,下证唯一性：,两式相减有,∵Ａ线性无关，,即表达式唯一.,即有,设,定理,设向量组,若Ａ线性相关,则向量组B也线性相关；反之，若,向量组B线性无关，则向量组Ａ也线性无关.,定理,设向量组,若Ａ线性无关，则向量组B也线性无关；反之，若,向量组B线性相关，则向量组Ａ也线性相关.,其中,注意：以上两个定理完全不同，千万不要混淆，第一个定理中是向量的个数变，在方程组中体现在未知数的个数变；第二个定理中是向量的维数变，在方程组中体现在方程的个数变.,1、设向量组,线性相关，则 .,2、设向量组,三、应用举例,则（ ）,A、 必可由 线性表示；,B、 必可由 线性表示；,C、 必可由 线性表示；,D、 必不可由 线性表示.,。