矩阵的定义及其运算规则矩阵的定义 矩阵的定义及其运算规则 1、矩阵的定义 一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为mn阵 矩阵通常是用大写字母a 、b …来表示例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为：，或 即： （2-3） 我们称（2-3）式中的为矩阵a的元素，a的第一个注脚字母 ，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数 当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示当矩阵（aij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵 设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为a＝b 2、三角形矩阵 由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素 如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵例如，以下矩阵都是三角形矩阵： ， ，， 3、单位矩阵与零矩阵 在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如： 则称为对角矩阵，可记为。
如果在对角矩阵中所有的彼此都相等且均为1，如： ，则称为单位矩阵单位矩阵常用e来表示，即： 当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示 4、矩阵的加法 矩阵a＝（aij）mn和b＝（bij）mn相加时，必须要有相同的行数和列数如以c＝（cij）m n表示矩阵a及b的和，则有： 式中：即矩阵c的元素等于矩阵a和b的对应元素之和 由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设a、b、c都是mn矩阵）： （1）交换律：a＋b＝b＋a （2）结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 5、数与矩阵的乘法 我们定义用k右乘矩阵a或左乘矩阵a，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵如： 由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设a、b都是mn矩阵，k、h为任意常数，则： （1） k（a＋b）＝ka＋kb （2）（k＋h）a＝ka＋ha （3） k（ha）＝kha 6、矩阵的乘法 若矩阵乘矩阵，则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义矩阵的元素的计算方法定义为第一个矩阵第i行的元素与第二个矩阵第j列元素对应乘积的和。
若： 则矩阵的元素由定义知其计算公式为： （2-4） 【例2-1】 设有两矩阵为：， ，试求该两矩阵的积 【解】由于a矩阵的列数等于b矩阵的行数，故可乘，其结果设为c： 其中：【例2-2】 已知：a＝，b＝，求a、b两个矩阵的积 【解】计算结果如下： 矩阵的乘法具有下列性质： （1）通常矩阵的乘积是不可交换的 （2）矩阵的乘法是可结合的 （3）设a是mn矩阵， b、c是两个nt矩阵，则有：a（b＋c）＝ab＋ac （4）设a是mn矩阵，b是nt矩阵则对任意常数k有：k（ab）＝（ka）b＝a（kb） 【例2-3】 用矩阵表示的某一组方程为： （2-5） 式中： （2-6） 试将矩阵公式展开，列出方程组 【解】现将（2-6）式代入（2-5）式得： （2-7） 将上式右边计算整理得： （2-8） 可得方程组： 可见，上述方程组可以写成（2-5）式的矩阵形式上述方程组就是测量平差中的误差方程组，故知（2-5）式即为误差方程组的矩阵表示式。
式中称为改正数阵，称为误差方程组的係数阵，称为未知数阵，称为误差方程组的常数项阵 【例2-4】 设由n个观测值列出r个条件式如下，试用矩阵表示 【解】现记： （2-9） 则条件方程组可用矩阵表示成： （2-10） 上式中称为条件方程组的係数阵，称为改正数阵，称为条件方程组的闭合差列阵。